怎样用Excel画函数的图像

怎样用Excel画函数的图像     我们对使用Excel进行计算和统计并不陌生，华东师大版初中数学实验教材就详细介绍了利用它来处理数据的方法：求样本的平均数、中位数、众数、方差、差以及画统计图等。而鲜为人知的是，Excel对数据的拟合、变量的预测、控制及函数图像的绘制同样快捷方便。在实现数学教学目标的同时，如果我们把利用Excel选择拟合函数、绘制函数图像的方法也教给学生，并鼓励他们把这些技能用于解决实际问题，无疑更有利于学生的发展。本文以华东师大版实验教材的例题、习题和实验区中考试题为例介绍有关方法，供教师参考。     一、利用Excel确定拟合函数     数据拟合是用近似的函数关系式描述和研究两个变量之间关系的一种方法。利用数据拟合解决实际问题，首先要作出数据散点图，然后观察散点分布趋势，选用适当的函数模型近似地描述变量之间的关系，用所得的模型对某变量进行预测或控制。     例1（八年级下）为了研究某合金材料的体积V（cm3）随温度t（℃）变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如表1。 表1     能否据此求出V和t的函数关系？     通常我们先在平面直角坐标系描出各点，然后根据点的分布情况确定函数的类型，再选取几个点，运用待定系数法求出函数关系式。这样求得的函数，拟合程度由所取点的情况而定，常常不是最优的。Excel可以快速作出数据散点图，并提供多种待选的函数类型，利用它可以方便地选择一个最优的函数，使得所建立的函数解析式最贴近实际情形。操作程序如下：     （1）将上述数据输入工作表的单元格。     （2）选中以上数据，选择菜单“插入——图表”，出现“图表向导”对话框，点击“XY散点”，按向导提示得出散点图（图1）。     （3）选中散点图上的任意一点右击，出现“添加趋势线”对话框，在“趋势预测/回归分析类型”中出现“线性、对数、多项式、乘幂、指数、移动平均”六种函数模型，观察散点趋势，发现这些散点近似地位于一条直线上，因此选取“线性”函数模型来拟合；再点击“选项”，选中“显示公式”和“显示R平方值”两个复选框，点击“确定”，即可得到该类型拟合函数的图像及对应的函数关系式（图2），生成的函数关系式为V=0.0397t+999.95，其中R2=0.9983表示该函数与散点图的拟合程度，R2越接近1则拟合程度越好。     例2（2006年中山市中考题）　某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如表2。     （1）请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示其变化规律，并求出它的关系式。     （2）按照这种变化规律，若2005年已投入技改资金5万元,预计生产成本每件比2004年降低多少万元？如果打算在2005年把每件产品成本降低到3.2万元，则还需投入技改资金多少万元（结果精确到0.01万元）？     利用Excel选择拟合函数与绘制函数图像的操作方法如下：     （1）根据表中的数据，利用Excel作散点图（图3），分别选取线性函数、二次函数和乘幂函数作为拟合函数，求得函数关系式依次为y=-1.58x+10.955、y=0.4667x2-4.8467x+16?郾38、y=18x-1（图4－图6），从拟合程度R2的值0.9801、0.9994、1判断，反比例函数y=18x-1的拟合程度最佳。     （2）当投入技改资金5万元时，由x=5解得y=3.6,所以预计2005年生产成本每件比2004年的4万元降低0.4万元；令y=3.2，解得x=5.625≈5.63,2005年已经投入技改资金5万元，还需投入0?郾63万元。     用同样的方法可以求出关于下面问题（出自2005年呼和浩特中考数学试卷）的最佳拟合函数：     据统计，每年由于汽车超速行驶而造成的交通事故，是造成人员伤亡的主要原因之一。行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的原因还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离称为“刹车距离”。为了测定某种型号汽车的刹车性能（车速不超过140千米/小时），对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据如表3。请写出刹车距离与刹车时车速的函数关系。 表3     本题利用Excel求出的是二次函数，关系式为y =0.002x2+0.01x.     二、利用Excel绘制函数的图像     在函数教学中，我们经常要绘制函数图像来研究函数的性质，绘图是一件比较麻烦的事情，除一次函数外，用描点法作出准确函数图像比较困难；讨论参数的值对函数图像的影响，势必要画好几个函数的图像，现场画图更显得力不从心。利用Excel不但可以根据函数解析式直接作出静态的函数图像，还可以向学生演示参数变化引起图像变化的情况，大大提高课堂教学效率。     例3　绘制反比例函数y=k/x的图像。     选定一个单元格输入参数k的值，并注意将自变量取值限定在某一范围内。如在单元格A1输入k的值1，自变量取值范围设定在［-5，0）和（0，5］。接着进行如下操作：     （1）在工作表第2列产生自变量值。在单元格B1、B2内分别输入-5，-4.9，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下拖动“填充柄"，直到单元格内出现填充值5，就完成自变量值的自动填充。     （2）在工作表第3列产生反比例函数的对应值。在单元格C1内输入“=$A$1*B1^-1"，然后双击C1的填充柄，得到与第2列自变量相对应的函数值（注意删除自变量为0的一组值，因为反比例函数的自变量不等于0）。     （3）生成图像。选中第2、3两列中的数据，点击“插入-图表"，出现“图表向导"对话框，选择“XY散点图/无数据点平滑线散点图"，点击“完成"，就得到函数y=1/x的图像（图7）。     在单元格A1输入不同的参数就得到不同的反比例函数图像。如在单元格A1输入-2，就得到函数y=-2/x的图像。     例4　绘制二次函数y=ax2+bx+c的图像。     分析：二次函数的解析式中含有a、b、c三个参数，它们的值将影响函数图像的位置和形状。选定三个单元格分别输入参数a、b、c的值，如在单元格A1、B1、C1中分别输入1、4、5，就能画函数y=x2+4x+5的图像。这里同样要将自变量取值限定在某一范围，如［-10，10］，选定自变量范围时要尽量使画出的图像顶点位置居中。     操作过程与例3类似：在工作表第4列产生自变量在［-10，10］内的值，完成自动填充；再在工作表第5列产生二次函数的对应值——在第5列单元格E1内输入“=$A$1*D1^2+$B$1*D1+$C$1”，双击E1的填充柄即可完成；最后用与例3同样的方法生成二次函数y=x2+4x+5的图像（图8）。     改变单元格A1、B1、C1的值，学生可以看到二次函数的图像随着参数a、b、c的变化而发生的相应变化。     利用Excel还能方便地绘制三角函数的图像，因三角函数不属于初中数学的学习范围，本文就不介绍了。