, , 年 呼 月 计 算 机 学 报 第 呼 期
多 值 逻 辑 与 范 布 尔 代 数
唐 桂 明
福建三明师范专科学校
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宫。 , “ 。
多值逻辑的广泛应用 , 越来越引起人们的关注 本文提出在满足 良序关系的多值逻
辑系统中 , 用二值范布尔代数
示多值逻辑变量分量系数的方法 该方法使用二值逻辑
运算来处理多值逻辑问题 在多元多值的情况下 , 亦能方便地借助计算机进行辅助设计
与分析
多值逻辑变量的矢量分解
。 , , ⋯ , 。 一 为多值变量的取值集合 , , , 一 为二值变
量的取值集合 , 并建立有序关系 ⋯ 。 一
在多值逻辑系统中引人二元运算
与运算 一 一 ,
一
或运算 十 ,
模加运算 尸
引入一元运算
非运算 又 , 一 一
定义 多值变量 的任一取值 畏, 选取与之对应的 尹 〔 , 使得
时 , 当且仅 当 , 一 , 妙 护 一
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一 一
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时 , 当且仅 当 妙 。 一 , 砂 一 护
· ·
一 护
一 ‘ 一
一 ” 一 时 , 当且仅 当 ’ 一 , 一 一 , 二‘
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称 砂 为多值变量 的 友分量的系数 , 夜〔 。
由定义 , 多值变量 的任一取值 , 其分量系数必同时满足如下两个性质
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本文 年 月 日收到
计 算 机 学 报 年
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从 、 两式看出 , 当把 看成文献〔 中多状态系统中的变量时 , 砂 为状态变量 ,
则与文献【 中具有相同的数学模型 , 因此有下面定理成立
定理 , 尹 , ,
·
, 一 构成范布尔代数系统
其中对 砂 的非运算定义为
砂 一 十 ⋯ 砂一 , 砂 ⋯十 砂 一‘ 砂 〔
由定义 , 可把多值变量 写成矢量形式
一
· 砂
·
⋯ ‘ 一‘
· 。 一 一 习 砂
· 及 ,
有时又把分量系数写成 【 」冷形式
定理 多值逻辑函数 , , ⋯
, , , ⋯ , 、 可写成矢量形式
可用多值逻辑系统的表达式表出 , 则
, , , ⋯
, 一 艺 奄
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及, 其中 舜 。乙 ,
及〔乙 , 且 花 ‘
同样称 严为函数 及分量系数
推论 多值逻辑函数 , , ⋯ , 户 可写成矩阵形式
由 , , ⋯ ,
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, ‘ , ⋯ , 一 ,
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, , ⋯ , , 一 了
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从推论 看 出 , 不同函数的分量矩阵 是完全一样 , 其函数功能的差异仅体现在系
数矩阵 上 因而对多值逻辑函数的研究 , 只须研究其分量系数矩阵 卜
系数真值矩阵的范布尔代数表达式
由 式知 , 求出并化简 严的表达式是研究多值逻辑函数的关键 下面从函数真值
矩阵与分量系数真值矩阵的关系矩阵所表示的关系来求解 严的表达式 , 用范布尔代数化
简方法来得到最简的 严表达式
定义 多值逻辑函数 , , , ⋯
, 动 中的变量的 砂 个 重序元 之 即
, , ⋯ , 矽 分别对应着 , 个函数真值 叹 幼 〔乙 , 把 产 个真值按表 所
示顺序 , 构成 俨一‘ 矩阵 , 幼 , 称为函数的真值矩阵 , 记为 勺
定义 与 重序元 之中各元素 ‘ 的取值 友一一对应的分量系数 砂 , 按 之的
、
,
次序组成 重序元 碟 , 也对应着 砂 个系数真值 尸 斌 〔 , 及〔 。 同定义 一样构
成 。 , 一‘ 矩阵 九 之 , 称为系数真值矩阵 , 记为 材
定义 在给定的两个有限集 、 中 , 是 到 的二元关系 , 则有
” 一
,
如果 ‘ , 〔
如果 ‘ , , 必
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定理
良口尺套
征明 。 在
矩阵 怎式 中 , 关于不同 友值的关系矩阵所表示的关 系 生 、 ,
凌 一 左
〔, 尸 中 , 矩阵元 , 表示函数各分量的系数 , 由该矩阵得 出关于第 舜分量
呼 期 唐桂明 多值逻辑与范布尔代数
表 ,
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系数的关系矩阵 冬二 与原系数真值矩阵一样是一个 俨一 , 矩阵 , 其表示的关系为
士 之, 赴 奋 〔 之〔 八 架 花
又因函数具有 , 个分量 , 因而存在 个这样分量系数的关系矩阵 各二 对于 嵘 〔
尹 , 由范布尔代数中状态变量正交性知 , 只有唯一的 尸〔 能使 嵘 , “ 〔砚 , 所以有
乞 ” , 即 生 付 一 及 一 女 成立
定理 多值逻辑函数的真值的关系矩阵与系数的真值的关系矩阵相等
即 袭 委二
证 在 汉 幼 中 , 矩阵元 乞〔 。 表示函数的各种取值 由该矩阵得 出关于
函数取值为 及的关系矩阵 各 , 与原矩阵一样是一个 。 俨一‘ 矩阵 , 所表示的关系为
天支 之, 奄 介 〔 。 之〔 黑 一 互
而 掩 及, 表示函数的取值 , 所以存在 。 个关系矩阵 罕
卜
由定理 中得 出的关系 此 与定 义 中 嵘 与 之的对应关系 , 即有 岌 轰,
成立
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由定理 , 可导出下面推论成立
推论 夕务 生 乏 ,
·
推论 是本文的一个重要结论 , 它反映出 务与 严
、
间的联系
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由于关系矩阵中的
元素均属于二值问题 , 因此只要知道 了函数的真值矩阵 , 便可用范布尔代数描述与简化其
系数表达式 才趁
例 , 一
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, , 〔乙 , 其分量系数的范布尔代数表达式求法
函数的真值矩阵与关系矩阵如下
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计 算 机 学 报 年
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利用文献 〔 给出的简化法则及推论 的结论 , 可写出分量系数的范布尔代数表达
式
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夕
一 砂
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尹 分
·
尹
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夕, 十 三
州
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则 , ‘, , 尹
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少 , · , , , 了
当 , 〔 。 时 , 其分量系数的一般公式
〔 · ,‘一落
, 花 落小
了 ‘, ‘。乙 ,
同样可写出二元 。 值“ 或 ”运算分量系数范布尔代数表达式
〔 ,‘一
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息
花
息一
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‘
例 设计一个三值
并对输人信号无约束
表
触发器 , 要求具有二值 触发器相应的置数 、 保持功能 ,
表
一竺里些二立二
一二竺一止匕二一止竺 ‘ 一一卜二 卜二
止竺生一二一半一
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保 持
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一一 ⋯⋯
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表 为该触发器激励表 考虑到 置 。 , 只须二值信号 根据激励表作出三值
触发器输出函数真值表 如表 所示 按例 方法 , 得分量系数表达式
‘ , · , , 尸
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综合以上三式 , 得出三值 触发器输出函数表达式
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·
亏
·
不难用表 验证 式的正确性 图 所示为三值 触发器的逻辑图 , 由 式
下转封三
上接第 页
画出 图中均为三值门器件
图
由上两例看 出 , 该方法是处理多值逻辑问题的一种有效工具
参 考 文 献
陈廷槐 , 四值逻辑与星算法 , 计算机学报 , , 一
刘志模 、袁由光 , 逻辑代数的矢量扩展变换 , 计算机学报 , , , ,一
, 了 , , 一 一
张南纶 、 肖奚安 、朱梧稠 , 范布尔代数公理体系 , 空军气象学院学报 , , 一
张南纶 , 范布尔代数在开关电路中的应用 , 电子学报 ,
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