欧拉公式

我们可以将棒球与球棒的击打过程看成材料力学中的压杆稳定问题。压杆稳定问题有很多情况，一般常见的有压杆两端同为铰支座，其他还有一端固定、另一端自由，两端固定，一端固定、另一端铰支。 对于两端铰支且长为 的压杆，其临界应力的大小为 其中E为弹性模量，I为惯性距。 对于一端固定、另一端自由且长为 的压杆，其临界应力的大小为 对于两端固定且长为 的压杆，其临界应力的大小为 对于一端固定、另一端铰支且长为 的压杆，其临界应力的大小为 于是我们可以统一写成 这是欧拉的普遍形式。式中 示把压杆折算成两端铰支杆的长度，称为相当长度， 称为长度因数。现把上述四种情况下的长度因数 列表如下： 压感的约束条件 长度因数 两端铰支 =1 一端固定，另一端铰支 =2 两端固定 =0.5 一端固定，另一端铰支 0.7 以上只是几种典型情形，实际问题中压杆的支座还可能有其他情况。例如杆端与其他弹性构件固接的压杆，由于弹性构件也将发生变形，所以压杆的端截面就是介于固定支座和铰支座之间的弹性支座。此外，压杆上的载荷也有多种形式。例如压力可能沿轴线分布而不是集中于两端。又如在弹性介质中的压杆，还将受到介质的阻抗力。上述各种情况，也可用不同的长度因数 来反映。这些因数的值可从有关的手册或中查到。 欧拉公式的适用范围 经验公式 前面已经导出了计算临界压力的公式，用压杆的横截面面积A除 ，得到与临界压力对应的应力为 称为临界应力。把横截面的惯性距I写成 式中i称为截面的惯性半径，这样，原式就可以写成 引用记号 是一个量纲的量，称为柔度或长细比。它集中的反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸和形状等因素对临界压力 的影响。由于引用了柔度 ，于是计算临界应力的公式可以写成 这是欧拉公式的另一种表达形式，两者并无实质性的差别。欧拉公式是由弯曲变形的微分方程 导出的，而材料服从胡可定律又是上述微分方程的基础，所以，只有临界应力小于比例极限 时，公式才是正确的。令 小于 ，得 或 可见，只有当压杆的柔度 大于或等于极限值 时，欧拉公式才是正确的。用 代表这一极限值，即 条件可以写成 这就是欧拉公式的适用范围。式中我们可以发现， 与材料的性质有关，材料不同， 的数值也就不同。满足条件 的压杆，称为大柔度压杆。前面经常提到的“细长”压杆就是指大柔度压杆。 若压杆的柔度 小于 ，则临界应力 大于材料的比例极限 ，这时欧拉公式已经不能使用，属于超过比例极限的压杆稳定问题。对超过比例极限后的压杆失稳问题，也有理论分析的结果。但工程中对这类压杆的计算，一般使用以实验结果为依据的经验公式。在这里我们介绍两种经常使用的经验公式：直线公式和抛物线公式。 直线公式把临界应力 与柔度 表示为以下的直线关系： 式中 与 是与材料性质有关的常数。 柔度很小的短柱，受压时不可能像大柔度杆那样出现弯曲变形，主要是因为应力达到屈服极限（塑性材料）或强度极限（脆性材料）而失效，这是一个强度问题。所以，对于塑性材料，应力最高只能等于 ，若相应的柔度为 ，则 这是用直线公式的最小柔度。如 ，就应该按压缩的强度计算，要求 对脆性材料，只需要把以上诸式中的 ，改为 。 总结以上的讨论，对 的小柔度压杆，应按强度问题计算，在图中表示为水平线AB。对 的大柔度压杆，用欧拉公式计算临界应力，在图中表示为曲线CD。柔度 介于 和 之间的压杆（ ），称为中等柔度压杆，用经验公式计算临界压力，在图中表示为邪直线BC。图中表示临界压力 随压杆柔度 变化的情况，称为临界压力总图。 _1343649511.unknown _1343719187.unknown _1343720477.unknown _1343720701.unknown _1343735143.unknown _1343735371.unknown _1343735611.unknown _1343735679.unknown _1343735777.unknown _1343735867.unknown _1343735881.unknown _1343735727.unknown _1343735667.unknown _1343735444.unknown _1343735513.unknown _1343735428.unknown _1343735249.unknown _1343735315.unknown _1343735192.unknown _1343734773.unknown _1343734903.unknown _1343734915.unknown _1343734871.unknown _1343721095.unknown _1343734515.unknown _1343720717.unknown _1343721069.unknown _1343720538.unknown _1343720571.unknown _1343719611.unknown _1343720434.unknown _1343720369.unknown _1343719383.unknown _1343719573.unknown _1343719290.unknown _1343649777.unknown _1343649996.unknown _1343718987.unknown _1343649829.unknown _1343649612.unknown _1343649742.unknown _1343649591.unknown _1343647363.unknown _1343649172.unknown _1343649335.unknown _1343649401.unknown _1343649319.unknown _1343647387.unknown _1343647927.unknown _1343647371.unknown _1343646567.unknown _1343647189.unknown _1343647354.unknown _1343647136.unknown _1343646522.unknown _1343646541.unknown _1343646502.unknown _1343645831.unknown