带有成虫配对率的日本血吸虫病双宿主模型

第26卷 第1期 2009年02月 工 程 数 学 学 报 CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS Vol. 26 No. 1 Feb. 2009 文章编号:1005-3085(2009)01-0023-09 带有成虫配对率的日本血吸虫病双宿主模型∗ 朱天佳 (复旦大学 数学科学学院，上海 200433) 摘 要: 本文讨论血吸虫病的Barbour双宿主模型的稳定性。在此基础上，为讨论终宿主群体的平均虫 负荷，加入成虫配对率的概念，改进了这一模型。对于新模型，得到了其平衡点的存在性定理， 给出相应的阈值并对可能存在的 3种情形分类，得到了解的全局稳定性定理。本文还探讨了可能 的控制措施对阈值和平衡点的影响，以及阈值的生物意义。 关键词: 日本血吸虫病；双宿主模型；成虫配对率；基本再生数；全局渐近稳定性；合作系统 分类号: AMS(2000) 03C45 中图分类号: R532.21 文献标识码: A 1 引引引言言言 血吸虫病俗称“大肚子病”，是由于人或牛、羊、猪等哺乳动物感染了血吸虫所引起的一 种传染病和寄生虫病。血吸虫病在我国曾经造成严重的危害，是我国流行的主要寄生虫病。新 中国成立以来，开展了大量血吸虫病流行学调查研究和防治工作，取得了巨大的成就，但目前 血吸虫病仍然是我国部分地区重要的公共卫生问题。研究血吸虫病数学模型和传播动力学理 论，对我国血吸虫病流行病学和防治研究将具有理论和实践意义[1]。 在中国流行的血吸虫病为日本血吸虫病。该类血吸虫寄生在人或宿主动物的血管内，所产 虫卵由粪便排出，在水中孵化出毛蚴，感染中间宿主钉螺，在钉螺体内发育成熟后大量逸放出 尾蚴，尾蚴钻入人或动物宿主，又发育成为成虫，交配产卵，引起病害。其中，可感染并传播 日本血吸虫的动物宿主有牛、猪、羊等 40多种哺乳动物。 血吸虫病数学模型的研究，主要开始于上世纪六十年代，Macdonald[2]于 1965年发表了第 一个血吸虫病的确定性微分方程模型，为其后的血吸虫病传播动力学数学模型奠定了基础。上 世纪 90年代以来，血吸虫病数学模型进一步得到发展，1996年Barbour按Ross疟疾模型的思 路，修改了Macdonald模型，称之为Ross模型，之后又将单终宿主改为双终宿主，更适用于 日本血吸虫病[3]。模型方程如下。 dP1 dt = a1∆y(1− P1)− g1P1, dP2 dt = a2∆y(1− P2)− g2P2, dy dt = ( b1 ∑ 1 P1+b2 ∑ 2 P2 ∆ ) (1− y)− µy, (1) 其中的P1, P2及 y分别表示人，牛及钉螺的患病率，而其他参数意义为：a1–阳性钉螺对人的 传播力，a2–阳性钉螺对牛的传播力，∆–钉螺密度，b1–病人对钉螺的传播力，b2–病牛对钉螺 收稿日期: 2008-04-25. 作者简介: 朱天佳 (1983年1月生)，男，硕士生. 研究方向：传染病动力学. ∗基金项目: 国家自然科学基金重点项目 (10531030). 24 工 程 数 学 学 报 第26卷 的传播力，∑1–人密度，∑2–牛密度，g1–人体内血吸虫日死亡率，g2–牛体内血吸虫日死亡 率，µ–钉螺日死亡率。 Barbour得出了阈值 R = R1 +R2 = a1b1 ∑ 1 g1µ + a2b2 ∑ 2 g2µ . (2) 当R < 1时，仅存在无病平衡点，而当R > 1时存在正平衡点。 2 有有有关关关Barbour模模模型型型的的的分分析析结结结果果果 由P1, P2及 y的定义知我们考察的区域为D = {(P1, P2, y) | 0 ≤ P1, P2, y ≤ 1}。 定理1 区域D是系统 (1)的正向不变集。 证明 只需说明D的边界上轨线向内即可。事实上， 当P1 = 0时， dP1dt = a1∆y ≥ 0； 当P1 = 1时， dP1dt = −g1 ≤ 0； 当P2 = 0时， dP2dt = a2∆y ≥ 0； 当P2 = 1时， dP2dt = −g2 ≤ 0； 当 y = 0时， dydt = b1 ∑ 1 P1+b2 ∑ 2 P2 ∆ ≥ 0； 当 y = 1时， dydt = −µ ≥ 0。 记 t (j) MS = bj ∑ j /µ∆, t(j)SM = aj∆/gj , (3) 和 Rj = t (j) MSt (j) SM , j = 1, 2. (4) 显然系统 (1)总存在无病平衡点 (0, 0, 0)，记为M0。 定理2 当R ≤ 1时，无病平衡点M0在D中全局渐近稳定；当R > 1时，在D中存在唯一 的有病平衡点，记为M1，它在D中全局渐近稳定。 证明 系统 (1)的 Jacobi矩阵为 J(P1, P2, y) =  −a1∆y − g1 0 a1∆(1− P1) 0 −a1∆y − g2 a2∆(1− P2) (1−y)b1 ∑ 1 ∆ (1−y)b2 ∑ 2 ∆ −b1 ∑ 1 P1−b2 ∑ 2 P2 ∆ − µ  . 易验证 J(P1, P2, y)中的每个元素关于P1, P2及 y分别是单调递减的，即此系统 (1)所对应的向 量场是凹的[4]。由文献 [ 5, 6 ]知，此时必定发生以下两种情况之一： • 若 J(0, 0, 0)处的特征值实部均非正，则每条正半轨线均趋于 0； • 在D内存在唯一正平衡点，使得每条非平凡 (初值非原点)的正半轨线均趋于此平衡点。 显然， J(0, 0, 0) =  −g1 0 a1∆ 0 −g2 a2∆ b1Σ1 ∆ b2Σ2 ∆ −µ  . 易知系统 (1)为合作系统，则由Perron-Frobenius定理 ([7]引理 2)知，J(0, 0, 0)的实部最大 的特征值是单重的实特征值，称为主特征值，记为S(J(0))。文献 [8]的定理 2.3说明 S(J(0)) ≤ 0⇐⇒ −g1 < 0, ∣∣∣∣∣∣ −g1 00 −g2 ∣∣∣∣∣∣ > 0, detJ(0, 0, 0) ≤ 0. 第1期 朱天佳：带有成虫配对率的日本血吸虫病双宿主模型 25 显然，上式右端的前两个不等式恒成立，又注意到 detJ(0, 0, 0) = a1b1Σ1g2 + a2b2Σ2g1 − g1g2µ = g1g2µ(R− 1), 易知 S(J(0)) ≤ 0 ⇐⇒ detJ(0, 0, 0) ≤ 0⇐⇒ R ≤ 1. 于是，当R ≤ 1时为第一种情况，(0, 0, 0)点全局渐近稳定；而当R > 1时为第二种情况，即存 在唯一的正平衡点，且全局渐近稳定。 3 改改改进进进的的的血血血吸吸吸虫虫虫病病病模模模型型型 3.1 模模模型型型的的的建建建立立立 Barbour双宿主模型能较好的分析人群的血吸虫感染率，但血吸虫病是否严重还需要考虑 感染度 (平均虫负荷)的大小。显然，相同的患病率，都是严重患者 (晚、急性病人)的情况要比 都是一般患者的情况严重。 为了研究平均虫负荷，对Barbour模型作如下改动 dP1 dt = a1∆y − g1p1, dP2 dt = a2∆y − g2p2, dy dt = ( b1 ∑ 1 P1ϕ1(P1)+b2 ∑ 2 P2ϕ2(P2) ∆ )(1− y)− µy, (5) 其中的P1及P2分别表示人及牛的平均虫负荷，y仍为钉螺的患病率，而其他参数意义为：a1– 阳性钉螺对人的传播力 (每平方水域内，1只阳性钉螺使一个人在单位时间内受到 1次感染 的概率)，a2–阳性钉螺对牛的传播力，∆–钉螺密度，b1–人体内已配对血吸虫对钉螺的传 播力 (1条成虫在单位时间中导致钉螺群体感染的比率)，b2–牛体内已配对血吸虫对钉螺的 传播力，∑1–人密度，∑2–牛密度，g1–人体内血吸虫日死亡率，g2–牛体内血吸虫日死亡 率，µ–钉螺日死亡率，ϕ1–人体内血吸虫配对率，ϕ2–牛体内血吸虫配对率。 文献 [9]中指出：ϕi(xi) = 1−e−xi [I0(xi)+I1(xi)]，其中 I0及 I1分别为 0阶及 1阶的Bessel函 数，而当xi ≤ 10时，ϕi(xi) ≈ 0.88xixi+1.73，见 [10,11]。 显然，区域 D˜ = {(P1, P2, y) | 0 ≤ P1 ≤ a1∆g1 , 0 ≤ P2 ≤ a2∆g2 , 0 ≤ y ≤ 1}是系统 (5)的正向不 变集。 当所有人体内血吸虫均能配对,即ϕ1(P1) ≡ 1时,不考虑牛的作用,系统(5)即化为Macdonald 模型  dP1 dt = a1∆y − g1P1, dy dt = ( b1 ∑ 1 P1 ∆ )(1− y)− µy. (6) 由于对血吸虫病一般人及牛平均虫负荷小于 10[12,13]，为简单起见，下面我们只考 虑ϕi(xi) = 0.88xixi+1.73的情况，即考虑系统 dP1 dt = a1∆y − g1P1, dP2 dt = a2∆y − g2P2, dy dt = ( b1 ∑ 1 P1 0.88P1 P1+1.73 +b2 ∑ 2 P2 0.88P2 P2+1.73 ∆ ) (1− y)− µy. (7) 26 工 程 数 学 学 报 第26卷 3.2 平平平衡衡衡点点点的的的存存存在在在性性性 系统 (7)的平衡点 (P¯1, P¯2, y¯)满足 f1(P¯1, P¯2, y¯) , a1∆y¯ − g1P¯1 = 0, (8) f2(P¯1, P¯2, y¯) , a2∆y¯ − g2P¯2 = 0, (9) f3(P¯1, P¯2, y¯) , (b1∑1 P¯1 0.88P¯11.73+P¯1 + b2∑2 P¯2 0.88P¯21.73+P¯2 ∆ ) (1− y¯)− µy¯ = 0. (10) 由 (8)及 (9)得 P¯1 = t (1) SM y¯, (11) P¯2 = t (2) SM y¯, (12) 其中 t(j)SM (j = 1, 2)由 (3)式给出。 将 (11)-(12)式代入 (3)式，得 y¯ = 0或 y¯应满足 0.88t(1)SMR1 1.73 + t(1)SM y¯ + 0.88t(2)SMR2 1.73 + t(2)SM y¯ = 1 (1− y¯)y¯ . (13) 由于 y¯ = 0时，P¯1, P¯2 = 0，从而无病平衡点M0 = (0, 0, 0)始终存在。 在 y¯ 6= 0时，将 (13)写为 (其中简记 tj = t(j)SM , j = 1, 2 ) (1.73 + t1y¯)(1.73 + t2y¯) + 0.88R1t1y¯(1.73 + t2y¯)(y¯ − 1) + 0.88R2t2y¯(1.73 + t1y¯)(y¯ − 1) = 0. 这是 y¯应满足的一个三次方程，它可写为 ψ(y¯) , C3y¯3 + C2y¯2 + C1y¯ + C0 = 0, (14) 其中 C3 = 0.88t1t2(R1 +R2), C2 = t1t2 + 0.88× 1.73(t1R1 + t2R2)− 0.88t1t2(R1 +R2), C1 = 1.73(t1 + t2)− 0.88× 1.73(t1R1 + t2R2), C0 = 1.732. 易知 ψ(0) = C0 = 1.732 > 0, ψ(1) = C3 + C2 + C1 + C0 = (1.73 + t1)(1.73 + t2) > 0. 此外，由 ψ′(y¯) = 3× 0.88t1t2(R1 +R2)y¯2 + 2[t1t2 + 0.88× 1.73(t1R1 + t2R2) −0.88t1t2(R1 +R2)]y¯ + [1.73(t1 + t2)− 0.88× 1.73(t1R1 + t2R2], (15) 有 ψ′(0) = C1 = 1.73(t1 + t2)− 0.88× 1.73(t1R1 + t2R2), ψ′(1) = 3C3 + 2C2 + C1 = (0.88R1 + 1)t1(1.73 + t2) + (0.88R2 + 1)t2(1.73 + t1) > 0. 第1期 朱天佳：带有成虫配对率的日本血吸虫病双宿主模型 27 由文献 [14]知，ψ(y¯) = 0有 3个实根要求 q24 + p 3 27 ≤ 0，其中 p = C1 C3 − C 2 2 3C23 , q = C0 C3 − C1C2 3C23 + 2C32 27C33 , 即要求成立 R˜1 , 18C0C1C2C3 − 4C0C32 − 4C31C3 + C21C22 27C20C 2 3 ≥ 1. (16) 上式在不等号成立时，ψ(y¯) = 0有三个相异实根；而在等号成立时，则有重根 (二重根或三 重根)。 - 6 0 1 y¯ ψ(y¯)ψ - 6 0 1 y¯ ψ(y¯)ψ 图 1：情形A，ψ′(0) = C1 < 0 图 2：情形B，ψ′(0) = C1 ≥ 0 若ψ′(0) = C1 < 0 (情形A，见图 1)，即 R˜2 , 0.88(R1t1 +R2t2) t1 + t2 > 1. (17) 此时，ψ(y¯)在 (0, 1)内必有极小值。 若ψ′(0) = C1 ≥ 0 (情形B，见图 2)。若ψ(y¯) = 0在 [0, 1]上有根，则必有极小值ψ(q) ≤ 0 (q ∈ (0, 1)，对应着ψ′(y¯) = 0的一个根)。又由ψ′(0) ≥ 0知，ψ(y¯)在 [0, q)上有极大值 (对应 着ψ′(y¯) = 0的另一个根)。于是，注意到ψ′(1) > 0，知ψ′(y¯) = 0的两根均在 [0, 1)上，且不能 为在 0处的重根。于是两根积必小于 1，而两根和大于 0， C13C3 < 1及 −2C23C3 > 0。 但最后一式可化为 2t1t2 + 2× 0.88× 1.73× (t1R1 + t2R2) + 0.88t1t2(R1 +R2) < 0, 这不可能成立，从而情况B不可能存在。 定义1 序：X = (x1, x2, x3), Y = (y1, y2, y3) ∈ R3，X < Y ⇐⇒ x1 < y1, x2 < y2, x3 < y3。 注意到 (11)-(12)，P¯1, P¯2在 y¯ ∈ [0, 1]上严格单调增，不同平衡点之间有序，则此序完全可 由 y¯之序决定。 定理3 对系统 (7)，必存在以下三种情况的一种。 (a) 当 R˜1 > 1且 (17)成立时，存在无病平衡点M0和两个有病平衡点M1及M2，不妨 设M1 < M2； 28 工 程 数 学 学 报 第26卷 (b)当 R˜1 = 1且 (17)成立时，存在无病平衡点M0和一个退化的有病平衡点M1 (对应 于ψ(y¯) = 0的二重根)； (c) 其他情况，即 R˜1 < 1或 R˜2 ≤ 1时，仅存在无病平衡点M0。 证明 由上面的讨论知，ψ(y¯)在 (−∞, 0)上总有根，且 R˜2 > 1 ⇐⇒ ψ(y¯) = 0在 (0, 1)上有 极小值。 此时，因 R˜1 > 1 ⇐⇒ ψ(y¯) = 0有 3个相异实根，注意到ψ(0) > 0及ψ(1) > 0，必有 2个根 在 (0, 1)上，即为情形 (a)。 在 R˜1 = 1时，ψ(y¯) = 0有一个实根和一对在 (0, 1)上的二重根，即为情形 (b)。 在其它情况，均为情形 (c)。事实上，若 R˜1 < 1，则ψ(y¯) = 0只有唯一的实根在 (−∞, 0)上； 若 R˜2 ≤ 1，则ψ(y¯) = 0在 (0, 1)上无极小值，也就无实根。 3.3 平平平衡衡衡点点点的的的稳稳稳定定定性性性 定理4 系统 (7)的无病平衡点M0总是局部渐近稳定的。 证明 系统 (7)在M0处的 Jacobi矩阵为 −g1 0 a1∆ 0 −g2 a2∆ 0 0 −µ  . 其特征值均为负实数，故M0局部渐近稳定，为稳定结点。 定理5 若系统 (7)存在两个有病平衡点，即在情形 (a)时，平衡点M1总是不稳定的， 而M2总是局部渐近稳定的。 证明 系统 (7)在平衡点 (P¯1, P¯2, y¯)处的 Jacobi矩阵为 J(P¯1, P¯2, y¯) =  −g1 0 a1∆ 0 −g2 a2∆ ∂f3 ∂P¯1 ∂f3 ∂P¯2 ∂f3 ∂y¯  . 显然有 −g1 < 0, ∣∣∣∣∣∣ −g1 00 −g2 ∣∣∣∣∣∣ > 0. 又有 detJ(P¯1, P¯2, y¯) = g1g2 (∂f3 ∂y¯ + ∂f3 ∂P¯1 ∂P¯1 ∂y¯ + ∂f3 ∂P¯2 ∂P¯2 ∂y¯ ) = g1g2 df3 dy¯ , 而在平衡点处 f3(P¯1, P¯2, y¯) = y¯ψ(y¯), 于是 df3 dy¯ = −ψ(y¯)− y¯ψ′(y¯) = −y¯ψ′(y¯). 这说明了在正平衡点处，detJ(P¯1, P¯2, y¯)与ψ′(y¯)异号。 由图 1，在M1处，ψ′(y¯) < 0，易知该平衡点不稳定；在M2处，ψ′(y¯) > 0，该平衡点局部 渐近稳定。 定理6 若系统 (7)存在唯一的有病平衡点，即在情形 (b)时，平衡点M1总是不稳定的。 第1期 朱天佳：带有成虫配对率的日本血吸虫病双宿主模型 29 证明 系统 (7)的 Jacobi矩阵为 J(P1, P2, y) =  −g1 0 a1∆ 0 −g2 a2∆ 0.88b1Σ1(P 2 1 +2×1.73P1) (1.73+P1)2 (1− y) 0.88b2Σ2(P 2 2 +2×1.73P2) (1.73+P2)2 (1− y) − b1 ∑ 1 P1 0.88P1 P1+1.73 +b2 ∑ 2 P2 0.88P2 P2+1.73 ∆ − µ  . 易知系统 (7)为合作系统，且其 Jacobi阵不可约。于是系统 (7)的流强单调，从而为强保序 的[15]。又由于M0和M1之间没有其它平衡点，由连接轨道定理[16]知，存在单调的连接轨 道连接M0和M1。而定理 4已得M0是稳定结点，则该连接轨道必为自M1出发至M0的，从 而M1不稳定。 定理7 对系统 (7): 在情况 (a)时，无病平衡点M0和有病平衡点M2均局部渐近稳定，而有病平衡点M1为鞍 点。过M1有一 2维稳定 (正向不变集)流形，上方轨线均收敛至M2，下方轨线均收敛至M0， 而稳定流形中轨线均收敛至M1； 在情况 (b)时，无病平衡点M0为稳定结点，有病平衡点M1退化。过M1有一 2维稳定流 形，下方轨线均收敛至M0，其他轨线均收敛至M1； 在情况 (c)时，无病平衡点M0全局渐近稳定。 证明 在定理 6的证明过程中已经得到系统 (7)为合作系统，且其 Jacobi阵不可约。又由 div(f1, f2, f3) = −g1 − g2 − b1 ∑ 1 P1 0.88P1 P1+1.73 + b2 ∑ 2 P2 0.88P2 P2+1.73 ∆ − µ < 0, 在正向不变集 D˜中的所有轨线均收敛至奇点 (文献 [17]定理 7)。这样， 在情况 (c)时，所有轨线均收敛至唯一的无病平衡点。 在情况 (a)时，由文献 [18]定理 2.1知，由于无病平衡点M0和有病平衡点M2均为局部渐近 稳定，有病平衡点M1必为鞍点。过M1有一 2维稳定流形，上方轨线均收敛至M2，下方轨线 均收敛至M0。同时，2维稳定流形作为正向不变集，其中的轨线只能收敛至M1。 在情况 (b)时，由文献 [18]命题 2.1知，无病平衡点M0的吸引域 (记为B0)为开集，边界为 过M1的二维稳定流形。此时正向不变集 D˜ \ B0中只有唯一的平衡点M1，所有轨线均收敛 至M1。 4 生生生物物物解解解释释释和和和一一一些些些特特特殊殊殊情情情况况况 4.1 采采采取取取措措措施施施对对对参参参数数数的的的影影影响响响 和Barbour双宿主模型一样，防止血吸虫病流行的一些措施也可以用模型中的参数来评 价，并由此估计可能产生的效果，如： • 实行行为干预，减少宿主与疫水的接触和减少宿主粪便对水体的感染，能分别通过减少 参数 ai和 bi的数值来体现。 • 灭螺使得∆的值减小。 • 长期的化疗能提高终宿主的康复率，即增大 g1及 g2的值。 30 工 程 数 学 学 报 第26卷 4.2 R˜2的的的生生生物物物解解解释释释 由定理 3和定理 7知，只要采取措施，控制血吸虫病地区的参数，使得阈值 R˜2 ≤ 1，则可 以完全消灭血吸虫病在该地区的发生。 阈值 R˜2 = 0.88(R1t1+R2t2)t1+t2 ≤ 1等价于 0.88(R1t1 + R2t2) ≤ t1 + t2。此不等式的两端都有着 较明显的生物意义，其右端是阳性钉螺传播给人及牛所带来的虫负荷的增加；而其左端则是这 些血吸虫再经过一个循环后最多能带来的虫负荷，如图 3所示。由观察知 0.88即为配对率函数 的上限。若 R˜2 ≤ 1则说明，在最好的情况下，单位数量的虫也繁殖不出单位数量的虫，则病 一定会消亡。 图 3：R˜2的生物解释 4.3 与与与Barbour模模模型型型有有有所所所不不不同同同的的的一一一些些些思思思考考考 • 短期的化疗是否有效？在Barbour模型中，短期的化疗只是临时降低了终宿主的患病 率，并没有改变参数的值，而平衡点是全局渐近稳定的。因此，对于病最终是否流行不 起作用，也不会改变平衡点的位置，即最终的流行水平。而在我们改进的模型 (7)中，若 能通过化疗，将终宿主的患病情况控制到稳定流形下方，则疾病最终就能消灭。 • 灭螺是否有效？同样地，在Barbour模型中，短期的灭螺也对病最终是否流行不起任何 作用。而在改进模型 (7)中，阈值 R˜1会随着∆变化而变化，说明灭螺是有影响的。同 时，当∆充分小时，易知不等式 (16)不能成立。这说明，如果能将钉螺密度控制到足够 低，也能使疾病消亡。 • 同步采取控制措施比只对一种宿主采取好。对两种模型都一样，减小 ai, bi都可能能使疾 病消亡，但若只控制一种终宿主则不一定。而两种模型都是对传播能力强的总宿主控制 效果更好。而对模型 (7)而言，ai对阈值的影响大，即控制终宿主与疫水的接触，比控制 他们的粪便入水效果要好。 • 同样地，同步化疗比只化疗一种宿主好。 5 总总结结 Barbour双宿主模型和文中改进后的双宿主模型，相对于一般的单宿主模型，更适合中国 很多地区主要是人及牛两种终宿主得病的情况。一般而言，牛的传播能力又比人高出许多。由 第1期 朱天佳：带有成虫配对率的日本血吸虫病双宿主模型 31 本文的结果，我们可以看出，对血吸虫病可存在两种情况，无病或者成为地方病流行。通过控 制阈值中的参数，最终能减少甚至消灭地方上的血吸虫病流行。在有了平衡点的稳定性后，我 们也就能严格地讨论各种措施对参数的影响，并对控制疾病传播所起的效果。这可为我们在一 定地区内对血吸虫病的预防与控制提供一定的依据。 致谢: 感谢李大潜教授对本文的悉心指导，以及蒋继发教授对于参考文献的导读和模型分析的指导 与建议。 参参参考考考文文文献献献：：： [1] 吴开琛. 血吸虫病数学模型和传播动力学及其应用[J]. 中国热带医学，2005, 5: 4 [2] Macdonald G. The dynamics of Helminth infections, with special reference to schistosomes[J]. Trans R Soc. Trop Med Hyg, 1965, 59: 489-506 [3] Barbour A D. Modeling the transmission of schistosomiasis: an introductory view[J]. Am J Trop Med Hyg, 1996, 55: 135-143 [4] Lajmanovich A, Yorke J. A deterministic model for gonorrhea in nonhomogeneous population[J]. Math. Biosci, 1976, 28: 221-236 [5] Hirsch M W. The dynamical systems apprach to differential equations[J]. Bull Am Math Soc, 1984, 11: 1-64 [6] Smith H L. Cooperative systems of differential equations with concave nonlinearities[J]. Nonlinear Analysis, 1986, 10: 1037-1052 [7] 蒋继发. 一类合作系统的渐近性态的代数判别[J]. 系统科学与数学，1990, 10: 46-56 [8] Smith H L. Competing subcommunities of mutuality and a generalized kamke theorem[J]. SIAM J App Math, 1986, 46: 856-874 [9] Nasell I, Hirsch M W. The transmission dynamics of schistosomiasis[J]. Comm on Pure and Applied Math, 1973, 26: 395-453 [10] 吴建宏等. 日本血吸虫病的传播动力学模型(I)定性分析[J]. 高校应用数学学报，1987, 2: 352-362 [11] 刘南根等. 易感地带的日本血吸虫病传播动力学模型及其定性分析[J]. 生物数学学报，1989, 2: 107-113 [12] 全国血吸虫病流行病学观测点(1990年年报)[M]. 中华任民共和国卫生部疾病控制司，1992, 10 [13] 全国血吸虫病流行病学观测点(1998年年报)[M]. 中华任民共和国卫生部疾病控制司，1999, 10 [14] 华罗庚. 高等数学引论[M]. 北京：科学出版社，1966, 1(1): 34-38 [15] Hirsch M W. Systems of differential equations that are competivitives or cooperative II: convergence almost everywhere[J]. SIAM J Math Anal, 1985, 16: 423-439 [16] Dancer E N, Hess P. Stability of fixed points for order-preserving discrete-time dynamical systems[J]. J Reine Angew Math, 1991, 419: 125-139 [17] Hirsch M W. Systems of differential equations that are competivitives or cooperative. V: convergence in 3-dimensional systems[J]. J D E, 1989, 80: 94-106 [18] Jiang Jifa, etc. Saddle-point behabior for monotone semiflows and reaction-diffusion models[J]. J D E, 2004, 203: 313-330 A Dual-host Model of Schistosomiasis Japonicum with Mating Ratio ZHU Tian-jia (School of Mathematical Sciences, Fudan University, Shanghai 200433) Abstract: In this paper, the asymptotic stability of the Barbour dual-host model for transmission of schistosomiasis japonicum is studied. Moreover, an improved model is presented by using the con- cept of mating ratio, the average number of schistosome per person, and the corresponding threshold value, existence and stability of equilibriums are given. Influence on threshold value and equilibriums by possible controlling measures, as well as biological meanings of the threshold value have also been discussed. Keywords: schistosomiasis japonicum; dual-host mode; mating ratio; basic reproduction rate; asymp- totic stability; cooperative system 带有成虫配对率的日本血吸虫病双宿主模型 作者： 朱天佳， ZHU Tian-jia 作者单位： 复旦大学,数学科学学院,上海,200433 刊名： 工程数学学报 英文刊名： CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS 年，卷(期)： 2009，26(1) 被引用次数： 0次 参考文献(18条) 1.吴开琛 血吸虫病数学模型和传播动力学及其应用[期刊论文]-中国热带医学 2005(04) 2.Macdonald G The dynamics of Helminth infections,with special reference to schistosomes 1965 3.Barbour A D Modeling the transmission of schistosomiasis:an introductory view 1996 4.Lajmanovich A.Yorke J A deterministic model for gonorrhea in nonhomogeneons population 1976 5.Hirsch M W The dynamical systems apprsch to differential equations 1984 6.Smith H L Cooperative systems of differential equations with concave nonlinearities 1986 7.蒋继发 一类合作系统的渐近性态的代数判别 1990(10) 8.Smith H L Competing subcommunities of mutuality and a generalized kamke theorem 1986 9.Nasell I.Hirsch M W The transmission dynamics of schistosomiasis 1973 10.吴建宏 日本血吸虫病的传播动力学模型(Ⅰ)定性分析[期刊论文]-高校应用数学学报a辑 1987 11.刘南根 易感地带的日本血吸虫病传播动力学模型及其定性分析 1989(02) 12.全国血吸虫病流行病学观点(1990年年报) 1992 13.全国血吸虫病流行病学观测点(1998年年报) 1999 14.华罗庚 高等数学引论 1966 15.Hirsch M W Systems of differential equations that are competivitivas or cooperative Ⅱ:convergence almost everywhere 1985 16.Dancer E N.Hess P Stability of fixed points for order-prcserving discrete-time dynamical systems 1991 17.Hirsch M W Systems of differential equations that are competivitives or cooperative.V:convergence in 3-dimensional systems 1989 18.Jiang Jifa Saddle-point behabior for monotone semiflows and reaction-diffusion models 2004 相似文献(4条) 1.期刊论文 修良昌.张强.尹治成.辜学广.XIU Liang-chang.ZHANG Qiang.YIN Zhi-cheng.GU Xue-guang Barbour双宿主模型简介及应用 -寄生虫病与感染性疾病2008,6(1) 目的 揭示血吸虫病的流行特征和不同监测点的流行特点.方法 应用Barbour双宿主模型计算传播动力学指标.结果 各监测点人和耕牛的基本繁殖率均较低,血吸虫对牛的传播速 率明显高于对人的传播速率,表明牛宿主或病牛在血吸虫病的传播中起着更重要的作用,各监测点亦表现出不同的传播特点.结论 Barbour双宿主模型较之其他单终宿主模型复杂,但更 能反映日本血吸虫病传播的情况. 2.期刊论文 周玲玲.ZHOU Ling-ling 关于日本血吸虫病动力学模型的周期解 -工程数学学报2008,25(5) 日本血吸虫病是在我国广为流传的传染病和寄生虫病,对人体的健康造成了极其严重的危害,关于日本血吸虫病的传播动力学模型引起了广泛的讨论.在吴建宏等建立的双宿主日 本血吸虫病的自治动力学模型的基础上,考虑到湖泊型地区钉螺数量的季节性变化因素,本文考察了相应的非自治的传播动力学模型,研究了其周期解的稳定性,并在此基础上进行了数 值模拟.研究表明,在一定的参数条件下,无论开始时疾病传播情况如何,疾病终将趋于消亡;否则,在一定的初始条件下,疾病传播形成周期性的地方病.数值模拟发现,在一定的参数条 件下,钉螺数量的季节性变化振幅充分大时,可使疾病趋于消亡;此外,同时对患病的人与牛进行治疗,也有利于使疾病消亡.本文中还研究了Barbour双宿主模型的非自治动力学模型,不 仅对其周期解的稳定性进行了讨论,还得到该系统周期解的存在性条件. 3.期刊论文 吴开琛.WU Kai-chen 通过数学模型预测和评价血吸虫病控制措施效应的理论探讨 -中国寄生虫学与寄生虫病杂志 2005,23(6) 目的通过数学模型对日本血吸虫病控制规律的理论探讨,试图为我国血吸虫病的防治提供理论参考.方法应用Barbour血吸虫病双宿主模型,以20世纪50年代上海郊区血吸虫病流行 水平高低不同的两个自然村为研究对象,通过计算机模拟,预测和比较有关控制措施的效应.结果在患病率较高时,人牛同步化疗可迅速降低各项疾病指标.化学灭螺可增强化疗的效果 .环境灭螺可获得持久降低人和牛宿主的基本繁殖率和平衡患病率,甚至阻断传播的良好效果.抗血吸虫产卵力的牛疫苗具有巩固人牛化疗效果的作用.在不进行灭螺的情况下,人牛化 疗合并人的行为干预和牛接种疫苗,同样可获得很好的控制传播效果.在传播速率、基本繁殖率和流行水平较低的地区,各项控制措施效果较上述3项指标高的地区好得多,控制也容易 得多.结论借助Barbour血吸虫病传播数学模型能够粗略地评价和比较控制措施的效应. 4.期刊论文 吴开琛.WU Kai-chen 血吸虫病数学模型和传播动力学及其应用 -中国热带医学2005,5(4) 本文详细介绍了血吸虫病传播数学模型,特别是适用于日本血吸虫病的Barbour双宿主模型,阐述了血吸虫病传播动力学理论;从基本繁殖率概念中提出了血吸虫病传播能量,即基 本传播速率的概念和算式;通过现场实例的计算,揭示了血吸虫病传播流行的特征;介绍了应用数学模型评价和预测各项控制措施效应的可能性. 本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_gcsxxb200901004.aspx 授权使用：西安交通大学(wfxajd)，授权号：261c0d86-0872-443d-989b-9dc500d4122a 下载时间：2010年8月1日