降落伞选购

降落伞的优化选择模型 摘要 本文对降落伞的选购问建立了一个优化模型,对所给数据采用计算机描点作图进行数据拟合,得出载重为300kg，半径为3米的降落伞从500米高空下降时的运动曲线，发现降落伞趋于做匀速直线运动.当降落伞作匀速直线运动时，由mg=f=kvs求出空气阻力系数 ,落地速度为.再通过隔离载重物体并进行受力分析，求出降落伞绳索长度 ,进而算出每种半径的降落伞的绳索费.最后根据每种降落伞的总成本. 关系把问题转化为整数线性规划问题，用LINGO解n1=n2=n4=n5=n6=0,n3=6 ，即要购买半径 r=3的降落伞数量为6把时总费用最少, 其他半径的降落伞都不需购买,总费用为C=4932元 一 半径 2m 2.5m 3m 3.5m 4m 购买数量 0 0 6 0 0 总额 4932 关键词: 数据拟合；运动曲线；阻力系数；整数线性规划 1. 问题的提出： 为向灾区空投救灾物资共2000kg，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20m/s。降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接着载重m，示意图如图1。               图1 每个降落伞的价格由3部分组成。伞面价格由半径r决定（见表1）；绳索每米为4元，其他费用200元。 降落伞在降落过程中受到空气的阻力，可以认为与降落伞速度和伞面积的乘积成正比.为了确定阻力的大小，用半径3m、载重300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各时刻的高度（表2）。 试确定降落伞的选购方案，即共需多少个，每个伞的半径多大（在表1中选择），在满足空投要求的条件下，使费用最低。 表二 半径r/m 2 2.5 3 3.5 4 费用/元 65 170 350 660 1000 表三   t/s 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 x/m 500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1 2. 模型的基本假设 1 降落伞下降过程中只受重力及空气阻力的作用,其他因素以阻力系数K代替 2 降落伞的质量和绳索质量忽略; 3 每个降落伞载的物重都不会超过降落过程中的最大载重; 4 阻力系数 是常数 5 降落伞的落地速度不会超过20m/s; 6 救灾物资2000kg可以任意分配; 7 假设空投物资的瞬时伞已打开. 3. 符号的约定 阻力系数 伞半径 空气阻力 半径为 的降落伞的最大载重 半径为 的降落伞的伞面面积 时刻降落伞的下降高度 时刻降落伞的下降速度 购买半径为 的降落伞数目 伞面费 绳索费 固定费用 降落伞每根绳索的长度 重力加速度, 表示第i种伞的个数,i=1,2,3,4,5 4. 模型的建立与求解 4.1 阻力系数 的确定 降落伞下降时对降落伞进行受力分析有 ,由于开始时不同时刻的加速度是不同的,即 ,设初始时 ,所以由上式有 即 解上述微分方程,过程见附录一, 解得 则从开始时刻到 时刻降落伞下降的高度 又当 降落伞从 高空下降时其运动轨迹可由计算机模拟出来,采用MATLAB的数据拟合函数并画图如下： 该程序见附录二 可得到其运动曲线如图所示 图（1） 可以发现降落伞在后期的运动曲线几乎是线性的,所以可以把降落伞后期的运动看成是匀速直线运动.对降落伞进行受力分析,有 EMBED Equation.3 ,而 其中 为降落伞的伞面面积. 取 ，估算出 由 把 代入上式， 可以用MATLAB作出速度与时间的图象， 如下图： 图（2） 可以发现降落伞 以后速度几乎不变，这说明降落伞后期是作匀速直线运动的，所以降落伞后期匀速运动的速度可以这样确定: 9秒以后的数据用最小二乘法进行线性拟合,设 ,其中 符合正态分布,采用Matlab的polyfit函数 程序见附录三， 因为降落伞为半球面,所以 由此解得 4.2 降落伞载重的确定 因为在高度一定时，物体在下落过程所用时间是不变的，因此可以把 关系式中的 看作一个定值，所以： 由 式可得 的函数 因为降落伞落地时, , 即 降落伞的最大载重当且仅当 达到最大,即 时取得,由此我们可以证明如下命题： 是关于 的增函数. 证明: 见附录四; 反之 关于 的函数 也是增函数. 令 EMBED Equation.3 则 式变为 把 , , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , 代入上式可以解得满足空投条件下的各种半径的降落伞的最大载重： 运算程序见附录五; 4.3 半径为 EMBED Equation.3 时降落伞的绳索费 因为载重 位于球心正下方球面处,所以载重到球心的距离等于降落伞球面的半径,由几何关系得到 EMBED Equation.3 ,其示意图如右图 解得半径为 的长度分别为 求得绳索费如下表: 2 2.5 3 3.5 4 2.83 3.53 4.24 4.95 5.66 180.12 225.92 271.36 316.80 362.24 则购买每把不同半径的降落伞的各需总费用C如下: 2 2.5 3 3.5 4 65 170 350 660 1000 180.12 225.92 271.36 316.80 362.24 200 200 200 200 200 446.1 595.9 821.4 1176.8 1562.2 447 596 822 1177 1563 4.4 确定降落伞的选购方案 要使总费用最小,则要取每种半径的总成本最小,则用LINGO可计算得： 5. 模型结果的说明 由上用LINGO解得 即要购买降落伞的方案为: 半径 2m 2.5m 3m 3.5m 4m 购买数量 0 0 6 0 0 总额 4932 6. 模型的检验与推广 1. 本模型在求阻力时，按题意简化其模型，即f=ksv^2简化为f=kvs在实际中运用中可能会有误差。但其模型简洁，合理，易于计算 2. 本模型对降落伞的运动作简化,即在后期,把降落伞的运动看作为匀速直线运动,则其运动方程为一次线形函数,对其求导,即可求得运动速度.从而可知运动速度与空投高度,运动时间无关.所以只要满足空投条件就可以降低空投高度,以减少空投难度. 3. 当降落伞的半径仍为2m,2.5m,3m,3.5m,4m 五种时,其它条件不变,现在救灾物资很多,超过 ,要求确定选购方案,则只需将(6)式的第二个不等式右端改为其它数据,如7000,8000等,就可求出相应的选购方案及总费用. 7. 参考文献 [1] 模型．姜启源．北京：高等教育出版社，2008 [2] MATLAB7.0数学应用．求是 北京：人民邮电出版社，2007 [3] 数值分析与实验．薛翼．北京：北京工业大学出版社，2007 附 录 附录一 >> clear >> v=dsolve('m*Dv+k*s*v-m*g=0','v(0)=0','t') v = g/k/s*m-exp(-k*s/m*t)*g/k/s*m >> pretty(v) k s t exp(- ------------) g m g m m --- - ----------------------------- k s k s >> 附录二 表一程序： >> x=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30]; >> y=[500 470 425 372 317 264 215 160 108 55 1]; >> plot(x,y) 表二程序： >> m=300; >> g=9.8; >> k=2.9; >> v=17; >> s=2*9*pi; >> x=[0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30]; >> V=m*g/(k*s)-m*g/(k*s)*exp(-k*s*x/m); >> plot(x,V) 附录三 >> clear >> X=(9:3:30); >> H=[128 183 236 285 340 392 445 499]; >> P=polyfit(X,H,1) P = 17.5794 -29.2976 附录四 命题： 是关于 的增函数. 证明: 因为 为严格单调减函数 又因为 EMBED Equation.3 由单调性的判别法, 为 的严格增函数 所以命题成立 附录五 在matlab中建立一个名位myfun的m文件,如下: function F=myfun(x) r=2.5; g=9.8;k=2.9458; s=2*pi*r^2; F=[x(1)^2*g/(k^2*s^2)*exp(-k*s*x(2)/x(1))+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)^2*g/(k^2*s^2)-500; g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1))-20]; 在matlab的commend window中输入以下命令: >> clear >> x0=[1;1]; >> options=optimset('Display','iter'); >> x=fsolve(@myfun,x0,options) 附录六 min =447*n1+596*n2+822*n3+1177*n4+1563*n5; 151*n1+237*n2+341*n3+464*n4+607*n5>2000; n1>=0; n2>=0; n3>=0; n4>=0; n5>=0; @gin(n1); @gin(n2); @gin(n3); @gin(n4); @gin(n5); 运行结果： Global optimal solution found at iteration: 43 Objective value: 4932.000 Variable Value Reduced Cost N1 0.000000 447.0000 N2 0.000000 596.0000 N3 6.000000 822.0000 N4 0.000000 1177.000 N5 0.000000 1563.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 4932.000 -1.000000 2 46.00000 0.000000 3 0.000000 0.000000 4 0.000000 0.000000 5 6.000000 0.000000 6 0.000000 0.000000 7 0.000000 0.000000 M� � � EMBED Equation.3 ���� EMBED Equation.3 ��� _1123415390.unknown _1124373078.unknown _1344431023.unknown _1344443941.unknown _1344446647.unknown _1344491682.unknown _1344491716.unknown _1344491734.unknown _1344491657.unknown _1344445017.unknown _1344432988.unknown _1344433098.unknown _1344431605.unknown _1344431651.unknown _1344431674.unknown _1344431638.unknown _1344431057.unknown _1124459542.unknown _1124459642.unknown _1124459736.unknown _1124459913.unknown _1344424193.unknown _1344430944.unknown _1124459951.unknown _1124459698.unknown _1124459566.unknown _1124459355.unknown _1124459423.unknown _1124459394.unknown _1124459240.unknown _1124459305.unknown _1124373112.unknown _1124453946.unknown _1124369716.unknown _1124370993.unknown _1124371038.unknown _1124371489.unknown _1124372084.unknown _1124372091.unknown _1124372023.unknown _1124372075.unknown _1124371527.unknown _1124371328.unknown _1124371012.unknown _1124371029.unknown _1124371005.unknown _1124370951.unknown _1124370982.unknown _1124369977.unknown _1124370290.unknown _1124368931.unknown _1124369203.unknown _1124369680.unknown _1124369188.unknown _1123847561.unknown _1123847834.unknown _1123848164.unknown _1123847732.unknown _1123515927.unknown _1123781888.unknown _1123515526.unknown _1123420542.unknown _1123333960.unknown _1123401575.unknown _1123407724.unknown _1123410641.unknown _1123410680.unknown _1123410728.unknown _1123410743.unknown _1123413679.unknown _1123410706.unknown _1123410653.unknown _1123410270.unknown _1123410313.unknown _1123409101.unknown _1123410214.unknown _1123401827.unknown _1123402434.unknown _1123402448.unknown _1123402353.unknown _1123401807.unknown _1123401815.unknown _1123401715.unknown _1123335068.unknown _1123399510.unknown _1123400875.unknown _1123401544.unknown _1123400705.unknown _1123335639.unknown _1123399422.unknown _1123335612.unknown _1123334174.unknown _1123334219.unknown _1123334299.unknown _1123334187.unknown _1123334047.unknown _1123334104.unknown _1123334009.unknown _1123333657.unknown _1123333774.unknown _1123333809.unknown _1123333844.unknown _1123333794.unknown _1123333733.unknown _1123333758.unknown _1123333712.unknown _1123333555.unknown _1123333602.unknown _1123333622.unknown _1123333585.unknown _1123333466.unknown _1123333540.unknown _1123333442.unknown