无穷级数

第 7 讲 无穷级数 本讲共四次课,数项级数、幂级数分别各用两次课. 一、复习 数项级数 （1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质. （2）掌握正项级数的比值数别法。会用正项级数的比较判别法. （3）掌握几何级数 、调和级数 0 n n r ∞ = ∑ 1 1 n n ∞ = ∑ 与 p 级数 1 1 p n n ∞ = ∑ 的敛散法. （4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法. 幂级数 （1）了解幂级数的概念. （2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）. （3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的. （4）会运用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麦克劳林（Maclaurin）级数，将一 些简单的初等函数展开为x或x-x0的幂级数. 二、复习内容 （1）数项级数：数项级数的概念 级数的收敛与发散 级数的基本性质 级数收敛的 必要条件 （2）正项级数敛散性的判别法：比较判别法 比值判别法 （3）任意项级数：交错级数 绝对收敛 条件收敛 莱布尼茨判别法 （4）幂级数的概念：收敛半径 收敛区间 （5）幂级数的基本性质 （6）将简单的初等函数展开为幂级数 第一节 常数项级数的概念与基本性质 一、基本概念 1．定义:（1）形如 （其中每个 是实数）的式子叫做（实）常数 项无穷级数，简称（实数项）级数，简记为 1 2 nu u u+ + + +" " nu 1 n n u ∞ = ∑ ，即 1 n n u ∞ = ∑ = ，其中 叫做级数的一般项. 1 2 nu u u+ + + +" " nu （ 2）级数的前 项和n =ns 1 2 nu u u+ + +" 称为级数 1 n n u ∞ = ∑ 的前 项部分和；n 1 1,s u= 2 1 2 ,s u u= + 3 1 2 3 , ,s u u u= + + " 1 2 ,ns u u un= + + +" "称为部分和数列.记{ . }ns 2．定义：如果级数 的部分和数列{ 有极限 , 即 1 n n u ∞ = ∑ }ns s ssnn =∞→lim ，则称无穷级数 收敛,这时极限 叫做级数 的和.并写成 1 n n u ∞ = ∑ s 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n s ∞ = = u∑ ，如果{ 没有极限,则称无 穷级数 发散. }ns 1 n n u ∞ = ∑ 显然，当级数收敛时，其部分和是级数的和的近似值，它们之间的差值 1 2n n n nr s s u u+ += − = + +" 叫做级数的余项.用近似值 代替和 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 | . ns s |nr 级数与数列极限有着紧密的联系.给定级数 1 n n u ∞ = ∑ ，就有部分和数列 ；反 之，给定部分和数列{ ，就有以{ 为部分和数列的级数 1 { } n n i i s u = = ∑ }ns }ns 1 2 1 1 1 1 2 1 ( ) ( ) ( )n n n n n n s s s s s s s s u ∞ ∞ − − = = + − + + − + = + − = n∑ ∑" " 例 1 讨论等比级数(几何级数) 的收敛 性. "" +++++=∑∞ = n n n aqaqaqaaq 2 0 )0( ≠a 解 ，时如果 1≠q 12 −++++= nn aqaqaqas " q aqa n − −= 1 , 11 q aq q a n −−−= ,1时当 q ∞=∞→ n n qlim∵ ∴ lim nn s→∞ = ∞ 发散 时如果 1=q ， ,1时当 =q ∞→= nasn 发散 ,1时当 −=q "+−+− aaaa级数变为 ∴ 故发散 lim nn s→∞ 不存在 综上 ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ ≥ <∑∞ = 发散时当 收敛时当 ,1 ,1 0 q q aq n n . 例 2 证明级数 "" ++⋅++⋅+⋅ )1( 1 32 1 21 1 nn 是收敛的. 解 1 1 1 , ( 1) ( 1)n u n n n n n = = −+ +∵ ∴ ns = )1( 1 32 1 21 1 +⋅++⋅+⋅ nn" )1 11() 3 1 2 1( 2 1) 2 11( +−++−+−= nn" ),1 11( +−= n ∴ 1lim lim(1 ) 1nn n s n→∞ →∞ = − + ,1= ∴ , 1级数收敛 和为 . 二、无穷级数的基本性质 性质 1 级数 与它的任一余项级数同时收敛、同时发散．换言之，级数中去掉或 加上有限项不改变级数的敛散性． 1 n n u ∞ = ∑ 性质 2 （1）若级数 收敛,其和为 ，则 1 n n u ∞ = ∑ s 1 n n ku ∞ = ∑ 亦收敛，且其和为 ，k为常数. ks 结论：若 ，则级数 与0≠k 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n ku ∞ = ∑ 同时收敛、同时发散. （2）若级数 、 分别收敛于和 、 1 n n u ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ s σ ，即 1 n n s u ∞ = = ∑ ， 1 n n vσ ∞ = = ∑ 则级数 收敛,其和为 1 ( n n n u v ∞ = ±∑ ) σ±s . 结论：收敛级数可以逐项相加与逐项相减. 性质 3 对收敛级数的项加括号后所成的级数仍然收敛于原来的和. 注意：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. 例如, (1 1) (1 1)− + − +"收敛 ,但去括号后 "+−+− 1111 发散 推论 如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散. 性质 4 级数收敛的必要条件: 当 无限增大时,它的一般项 趋于零,即级数收敛n nu .0lim =⇒ ∞→ nn u 证明 ∑∞ = = 1n nus∵ ,1−−= nnn ssu则 ∴ 1lim lim limn n nsn n nu s −→∞ →∞ →∞= − ss −= .0= 注意: 1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散. "" ++−+−+− − 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n nn例如 发散 2.必要条件不充分. 例如调和级数 1 1 11 2 3 n + + + + +" " 有 lim 0,nn u→∞ = 但级数是否收敛? 讨论 nnn ss nn 2 1 2 1 1 1 2 +++++=− "∵ ,2 1 2 => n n 假设调和级数收敛,其和为 于是.s 2lim( )n n n s s →∞ − ss −= ,0= 便有 10 ( 2 n≥ → )∞ 这是不可能的 ∴级数发散. """" +++++++++++++++++++ + )2 1 22 1 12 1() 16 1 10 1 9 1() 8 1 7 1 6 1 5 1() 4 1 3 1() 2 11( 1mmm 每项均大于 1 2 ,即前 项大于1m+ 1( 1) 2 m + ∴级数发散. 由性质 3 推论,调和级数发散. 三、小结 常数项级数的基本概念，基本审敛法 1.定义,若 ,则级数收敛; ssn → 2.当 ,则级数发散; 0lim ≠ ∞→ nn u 3.基本性质. 思考题: 设 与 都收敛，且∑∞ =1n nb ∑∞ =1n nc nnn cab ≤≤ ),2,1( "=n ，能否推出 收敛？ ∑∞ =1n na 练习题 一、填空题: 1.若 1 3 (2 1) 2 4 2n nu n ⋅ −= ⋅ " " ,则 =____________； 5 1 n n u = ∑ 2.若 !n n nu n = ,则 =______________________； 5 1 n n u = ∑ 3.若级数为 "+⋅⋅+⋅+ 642422 xxxx 则 nu = _______； 4.若级数为 "+−+− 9753 5432 aaaa 则 nu = ________； 5.若级数为 "++++++ 6 15 4 13 2 11 则当 =n _____时 nu = _____；当 ______时 ________； =n nu = 6.级数 ,当_∑∞ =0n naq _ ___时收敛；当___ _时发散 . 二、由定义判别级数 "" ++−++⋅+⋅+⋅ )12)(12( 1 75 1 53 1 31 1 nn 的收敛性. 三、判别下列级数的收敛性: 1. "" +++++ n3 1 9 1 6 1 3 1 ； 2. ) 3 1 2 1() 3 1 2 1() 3 1 2 1( 3322 +++++ ； 3. "" +++++++ nn 10 1 2 1 20 1 4 1 10 1 2 1 . 第二节 正项级数及其审敛法 一、正项级数及其审敛法 1.定义：如果级数 中各项均有 ，这种级数称为正项级数. 1 n n u ∞ = ∑ 0nu ≥ 2.定义：正项级数收敛的充要条件： "" ≤≤≤≤ nsss 21 部分和数列 为单调增加 数列. }{ ns 基本定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. ⇔ { }ns 二、基本审敛法 比较审敛法 1 ． 1 1 n n n n u v ∞ ∞ = = ∑ ∑设 和 是两个正项级数 （1）如果 收敛，且自某项起 1 n n v ∞ = ∑ n nu v≤ ,则 1 n n u ∞ = ∑ 收敛； （2）如果 发散，且自某项起 1 n n u ∞ = ∑ n nu v≤ ，则 1 n n v ∞ = ∑ 发散. 证明 1 (1) n n vσ ∞ = = ∑设 ,n nu v≤∵ 1 2n ns u u u= + + +"且 1 2 nv v v≤ + + +" ,σ≤ 即部分和数列有界 ∴ 1 .n n u ∞ = ∑ 收敛 )()2( ∞→∞→ nsn设 ，且 n nu v≤ ， nn s≥σ则 不是有界数列 ∞→ 1 .n n v ∞ = ∴ ∑ 发散 定理证毕. 比较审敛法的不便：需有比较用的级数，称基本级数. 例 1 判定级数∑∞ =2 ln 1 n n 的收敛性 解 由于当 nn n 1 ln 12 >≥ 时， ，而级数∑∞ =1 1 n n 是发散的，根据比较审敛法 1知级数∑∞ =2 ln 1 n n 发散． 例 2 讨论 P-级数 =∑∞ =1 1 n pn "" ++++++ pppp n 1 4 1 3 1 2 11 的收敛性. 解 ,1≤p设 ,11 nn p ≥∵ .级数发散则 −P ,1>p设 由于 ∫ −< nn pp xdxn 11 pppn n s 1 3 1 2 11 ++++= " ∫∫ −+++≤ nn pp xdxxdx 1 2 1 1 " ∫+= n pxdx11 )11(111 1−−−+= pnp 111 −+< p ,有界即 ns .级数收敛则 −P ⎩⎨ ⎧ ≤ >− 发散时当 收敛时当级数 ,1 ,1 p p P 作为比较用的重要级数: 几何级数 , P-级数∑∞ =1n naq ∑∞ =1 1 n pn , 调和级数∑∞ =1 1 n n . 例 3 判定级数∑∞ = +1 )1( 1 n nn 的敛散性. 证明 , 1 1 )1( 1 +>+ nnn∵ ,1 1 1 ∑∞ = +n n 发散而级数 .)1( 1 1 ∑∞ = +∴ n nn 发散级数 比较审敛法 2（极限形式）: 设 与∑ 都是正项级数，如果∑∞ =1n na ∞ =1n nb lb a n n n =∞→lim 有确定意义， 则 (1) 当 时，若∑ 收敛，则 收敛 +∞<≤ l0 ∞ =1n nb ∑∞ =1n na (2) 当 时，若 发散，则 发散 +∞≤< l0 ∑∞ =1n nb ∑∞ =1n na (3) 当 时，二级数有相同的敛散性 +∞<< l0 证明（略） 例 4 判别下列级数的收敛性： (1) ; 1 1 1 2∑ ∞ = −+n nn (2) ∑∞ = −1 23 1 n nn 解 (1) 因 2 2 111 1 1 1 nn nnn an −+ = −+ = ， 令 n bn 1= ， 则 因 n nn n b a n n n n 1 111 1 limlim 2−+= ∞→∞→ =1，而∑ ∞ =1 1 n n 发散，故由比较审敛法，推知∑∞ = −+1 2 1 1 n nn 发 散． (2)因 1 3 21 1lim 3 1 23 1 limlim = ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− =−= ∞→∞→∞→ nn n nn n n n n b a ，而∑∞ =1 3 1 n n 收敛，由比较审敛法，推知 ∑∞ = −1 23 1 n nn 收敛． 例 5 判别下列级数的敛散性 (1) n=1 sin (0 )x x n π∞ < <∑ (2) 1 (1 cos )( 0) n n α α∞ = − ≠∑ (3) 1 1ln(1 ) n n ∞ = +∑ 解 按比较审敛法推知： （1） n=1 sin (0 )x x n π∞ < <∑ 发散.因为当 时，n→∞ sin x xn n∼ ，而 1n x n ∞ = ∑ 发散； （2） 1 (1 cos )( 0) n n α α∞ = −∑ ≠ 收敛.因为当 时，n→∞ 2 211 cos 2n nα α− ∼ ， 从而级数 2 2 1 1 2n n α∞ = ∑ 收敛. （3） 1 1ln(1 ) n n ∞ = +∑ 发散.因为当n 时，→∞ 1 1ln(1 )n n+ ∼ ，而级数 1 1 n n ∞ = ∑ 发散. 比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 设 是正项级数,如果∑∞ =1n na )(lim 1 ∞+=+∞→ 为数或ρρ n n n a a 则 1<ρ 时级数收敛; +∞≤< ρ1 时级数发散; 1=ρ 时失效. 证明（略） 比值审敛法的优点:不必找基本级数. 两点注意: （1）当 1=ρ 时比值审敛法失效; 例如级数 1 1 n n ∞ = ∑ 发散,而级数 2 1 1 n n ∞ = ∑ 收敛. （2）条件是充分的,而非必要. , 2 3 2 )1(2 nnn n n vu =≤−+=∵例 ,2 )1(2 11 收敛级数 ∑∑ ∞ = ∞ = −+=∴ n n n n nu , ))1(2(2 )1(2 11 nn n n n a u u =−+ −+= + +但 , 6 1lim 2 =∞→ nn a ,2 3lim 12 =+∞→ nn a .limlim 1 不存在nn n n n a u u ∞→ + ∞→ =∴ 例 6 判别下列级数的收敛性: (1) ∑∞ =1 ! 1 n n ; (2) ∑∞ =1 10 ! n n n ; (3) ∑∞ = ⋅−1 2)12( 1 n nn . 解 )1( 1 1 ( 1)! 1 ! n n u n u n + +=∵ 1 1 += n ),(0 ∞→→ n 故级数 1 1 !n n ∞ = ∑ 收敛. )2( 1 1 ( 1)! 10 10 ! n n n n u n u n + + += ⋅∵ 10 1+= n ),( ∞→∞→ n 故级数 1 ! 10nn n∞ = ∑ 发散. )3( 1 (2 1) 2lim lim 1 (2 1) (2 2) n n n n u n n u n n + →∞ →∞ − ⋅= =+ ⋅ +∵ 比值审敛法失效, 改用比较审敛法. ,1 2)12( 1 2nnn <⋅−∵ ,1 1 2 收敛级数∑∞ =n n ∵ . )12(2 1 1 收敛故级数∑∞ = −⋅n nn 例 7 1 1 n n n ∞ = ∑判别级数 的收敛性 解 1 11 1 1 1( 1) (1 ) 01 1 n nn n n a n a n n → n + ++ += = − + (n→∞∵ ) ∴级数收敛. 例 8 讨论级数∑∞ =1n p n n a 的收敛性，其中 . 0>a 解 因 1 1 ( 1)lim lim n p n nn n n p a a n a aa n + + →∞ →∞ += = ，所以当 时级数收敛级数，故当时，原级数为时，级数收敛；当 111 >=< ppaa . 三、小结 1.正项级数的收敛的充要条件. 2.正项级数的审敛法:比较审敛法及其极限形式;比值审敛法. 思考题 设正项级数 收敛, 能否推得 收敛?反之是否成立? ∑∞ =1n nu ∑∞ =1 2 n nu 练习题 一、 填空题: 1. 级数当_______时收敛,当_______时发散； −p 2.若正项级数∑ 的后项与前项之比值的根∞ =1n nu ρ等于 ,则当________时级数收敛； ________时级数发散；____________时级数可能收敛也可能发散 . 二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛性: 1. "" ++ ++++ +++ ++ 222 1 1 31 31 21 211 n n ； 2. )0( 1 1 1 >+∑ ∞ = a an n . 三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性: 1. "" +⋅++⋅+⋅+⋅ n n n 2 3 23 3 22 3 21 3 3 3 2 2 ； 2.∑∞ = ⋅ 1 !2 n n n n n . 四、判别下列级数的收敛性: 1. "" +++++ n n 1 2 32 ； 2.∑∞ =1 3 sin2 n n n π ； 3. )0( )1( )2ln( 1 > + +∑∞ = a n a n n n . 4.∑∞ = +1 )]1[ln( 1 n nn ； 5. 12 1 ) 13 ( − ∞ = ∑ − nn n n . 第三节 绝对收敛与条件收敛 一、交错级数及其审敛法 1．定义: 形如 正、负项相间的级数称为交错 级数. )1()1( 11 1 n n n n n n aa ∑∑ ∞ = ∞ = − −− 或 )0( >na其中 2．审敛法：（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件: (ⅰ) ;(ⅱ)),3,2,1(1 "=≥ + naa nn 0lim =∞→ nn a , 则级数收敛,且其和 ,其余项 的绝对值10 as ≤≤ nr 1+≤ nn ar . 证略 例 1 判别级数∑∞ = − >− 1 1 )0()1( n p n p n 的收敛性. 解 原级数为交错级数 01 >= pn na∵ 0单调递减趋于且 na ∴ 由交错级数审敛法知原级数收敛. 例 2 判别级数∑∞ = −− 2 1 ln )1( n n n 的收敛性. 解 原级数为交错级数 0 ln 1 >= n an∵ 0单调递减趋于且 na ∴ 由交错级数审敛法知原级数收敛. 二、绝对收敛与条件收敛 1．定义:若∑∞ =1n na 收敛, 则称 为绝对收敛; ∑∞ =1n na 若∑∞ =1n na 发散,而∑ 收敛, 则称 为条件收敛. ∞ =1n na ∑∞ =1n na 例如：P-级数∑∞ =1 1 n pn 当 时收敛，当1>p 10 ≤< p 时发散，故 级数∑∞ = −− 1 1)1( n p n n 当 时绝对收敛，当1>p 10 ≤< p 时条件收敛。 定理 1 绝对收敛的级数必然收敛，即 若∑∞ =1n nu 收敛,则 收敛.但收敛的级数未必 绝对收敛. ∑∞ =1n nu 证略 定理 2 设 为任意项级数,若极限∑∞ =1n na 1lim ( )nn n a a ρ ρ+→∞ = +∞为数或 有确定意义,那么 ∑∞ =1n na 当 1<ρ 时绝对收敛；当 +∞≤< ρ1 时发散. 例 3 判别级数∑∞ = − +− 1 1 )1ln()1( n n n n n 的收敛性. 解 由于对 ,故 xxx <+>∀ )1ln(,0 有 ( ) 2 3 111)11ln(1)11ln(1 n nnnnnn n =⋅<+=+− . 因级数∑∞ =1 2 3 1 n n 收敛,故由正项级数的比较审敛法知级数∑∞ = − +− 1 1 )1ln()1( n n n n n 收敛,即原级 数绝对收敛. 例 4 讨论级数 )( 1 Rr n r n n ∈∑∞ = 的收敛性. 解 由于 )( 1 1 1 ∞→→⋅+= + + nr r n n r a a n n n n ，故由上审敛法知， 当 1r 时，级数发散；当 1=r 时，如果 1=r ，则原级数为 调和级数∑∞ =1 1 n n ，故发散；当 1−=r 时，得∑∞ = − 1 )1( n n n ，由交错级数审敛法知级数收敛。 例 5 判别级数∑∞ =1 2 sin n n n 的收敛性. 解 ,1sin 22 nn n ≤∵ ,1 1 2 收敛而∑∞ =n n ∴ ,sin 1 2∑∞ =n n n 收敛 故由定理知原级数绝对收敛. 三、性质 定义：把由级数的项重新排列后得到的级数称为原级数的更序级数。 性质 1．绝对收敛的更序级数仍然绝对收敛，且和不变。 性质 2．（柯西定理）如果 与 都绝对收敛，它们的和分别是 与∑∞ =1n na ∑∞ =1n nb s σ ，那么其 柯西乘积也是绝对收敛的，且其和为 σ⋅s ． 四、小结 1．交错级数莱布尼茨定理 2．绝对收敛与条件收敛的判别. 思考题 证明: 0 ! lim 3 =∞→ n n n an b 练习题 一、判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 1．∑∞ = − −− 1 1 1 3 )1( n n n n ； 2． "+−+− 5ln 1 4ln 1 3ln 1 2ln 1 ； 3．∑∞ = − − 2 ln )1( n n nn . 二、若 存在,证明:级数∑ 收敛 . nn un2lim+∞→ ∞ =1n nu 第四节 幂级数 一、幂级数及其收敛性 1.定义:设 是定义在区间"" ),(,),(),( 21 xuxuxu n I 上的函数,则 "" ++++=∑∞ = )()()()( 21 1 xuxuxuxu n n n 称为定义在区间 I 上的函数项无穷级数. ,1 2 0 "+++=∑∞ = xxx n n例如级数 2.定义: 形如 的函数项级数叫做n n n xxa )( 0 0∑∞ = − 0xx − 幂级数,简称幂级数,其中 是 某个定数, 叫做幂级数的系数. 0x ",,, 210 aaa 3.定义：收敛点与收敛域 对给定幂级数 ，我们把使得幂级数 收敛的点组成的集合n n n xa∑∞ =0 n n n xa∑∞ =0 }{ 0 收敛∑∞ = ∈= n n n xaRxK 称为幂级数 的收敛域，其中点n n n xa∑∞ =0 x叫幂级数 的收n n n xa∑∞ =0 敛点. 4.定义：和函数 对每个 Kx∈ ， 收敛于一个定值 .这样，在收敛域n n n xa∑∞ =0 s K上，幂 级数的和是 x 的函数，记作 ,称 为幂级数 的和函数，并写成 = ， )(xs )(xs n n n xa∑∞ =0 )(xs n n n xa∑∞ =0 Kx∈ . 5.幂级数收敛域结构 定理 (Abel 定理) 如果级数 在∑∞ =0n n nxa )0( 00 ≠= xxx 处收敛,则它在满足不等式 0xx < 的一切 x 处绝对收敛;如果级数 在∑∞ =0n n nxa 0xx = 处发散,则它在满足不等式 0xx > 的一切 x处发散. 证明(略) 推论 当幂级数 的收敛域∑∞ =0n n nxa K不是单点集 时，（1）如果}0{ K是有界集，则必有 一个确定的正数 R ，使得当 Rx < 时,幂级数 绝对收敛;当∑∞ =0n n nxa Rx > 时 ,幂级数 发散; 当∑∞ =0n n nxa RxRx −== 与 时,幂级数∑ 可能收敛也可能发散.（2）如果∞ =0n n nxa K是无 界集，则K = . ),( +∞−∞ 6．定义: 正数 R 称为幂级数 的收敛半径，并把开区间∑∞ =0n n nxa ),( RR +− 叫做幂级数的 收敛区间。根据幂级数在 的收敛性，决定收敛域为其中Rx ±= ),,( RR− 哪一个. ),,[ RR− ],,( RR− ],[ RR− 规定 (1) 幂级数只在 处收敛,0=x ,0=R 收敛区间 0=x ; (2) 幂级数对一切 x都收敛, ,+∞=R 收敛区间 ),( +∞−∞ . 问题 如何求幂级数的收敛半径? 7．收敛半径的求法 （系数模比值法） 如果极限 ρ=+∞→ n n n a a 1lim 有确定意义，则幂级数 的收敛半径 为: (1) 当 ∑∞ =0n n nxa 0≠ρ 时, ρ 1=R ; (2)当 0=ρ 时, +∞=R ; (3)当 +∞=ρ 时, . 0=R 证明(略) 例 1 求下列幂级数的收敛域: ;)1()1( 1 1 n xn n n∑∞ = −− ∑∞ =1 ! )2( n n n x ； .!)3( 1 ∑∞ =n nxn 解 )1( n n n a a 1lim +∞→=ρ∵ 1lim += ∞→ n n n 1= 1=∴R ,1时当 =x ,)1( 1 1∑∞ = −− n n n 级数为 该级数收敛 ,1时当 −=x ,1 1 ∑∞ = − n n 级数为 该级数发散，故收敛域是 ]1,1(− . ∑∞ =1 ! )2( n n n x n n n a a 1lim + ∞→ =ρ∵ 1 1lim += ∞→ nn ,0= ∴ ,+∞=R 收敛区间 . ),( +∞−∞ )3( n n n a a 1lim + ∞→ =ρ∵ +∞=+=+= ∞→∞→ )1(lim! )!1(lim n n n nn ，∴ ,0=R 故收敛域为 . }0{ 例 2 求幂级数∑∞ = − 1 12 2)!( )!2( n nx n n 的收敛半径. 解 由于幂级数缺少偶次幂项，即系数 02 =na 故相邻两项的系数的比值 n n a a 1+ 当 是偶 数是没有意义，因此不能用上述方法求收敛半径.下用正项级数的比值审敛法直接求收敛半 径：考虑级数 n ∑∞ = − 1 12 2)!( )!2( n nx n n ，因为 [ ] [ ] 2 12 2 12 2 4 )!( )!2( )!1( !)1(2 lim x x n n x n n n n n =+ + − + ∞→ ，故当 2 114 2 << xx 即 时， 级数绝对收敛；当 2 114 2 >< xx 即 ，级数发散，故收敛半径 2 1=R . 例 3 求幂级数 n n n x n )1()11( 1 −+∑∞ = 的收敛域. 解 令 ，原级数变为1−= xt n n nt n∑ ∞ = + 1 )11( ， 因为 =ρ 1 1 1(1 )| | 1lim lim 11| | (1 ) n n n n nn a en a e n + + →∞ →∞ + += + = = ，所以收敛半径 1=∴R .当 时，级 数为 1=t ∑∞ = + 1 )11( n n n ；当 ，级数为1−=t ∑∞ = +− 1 )11()1( n nn n ，当 ∞→n 时它们的一般项均不趋 于零，故这两级数都是发散的 .因此收敛域是 11 <<− t ，即原级数的收敛域为 ，或写成 .所以原级数收敛域是 . 111 <−<− x 20 << x )2,0( 二、幂级数的运算与性质 1. 幂级数的运算 ,21 00 RRxbxa n n n n n n 和的收敛半径各为和设 ∑∑ ∞ = ∞ = { }21,min RRR = 则 ∑∑ ∞ = ∞ = ± 00 n n n n n n xbxa . 0 ∑∞ = = n n n xc ( )RRx ,−∈ (其中 )nnn bac ±= 2.幂级数和函数的性质: （1）连续性 幂级数 的和函数 在收敛域∑∞ =0n n nxa )(xs K上连续. （2）可积性 幂级数 的和函数 在收敛域∑∞ =0n n nxa )(xs K的任一有界闭子区间上可积,并有 逐项积分公式 ∫ ∑∫ ∞ = = x n n n x dxxadxxs 0 0 0 )()(即 ∑∫∞ = = 0 0 n x n n dxxa .1 1 0 +∞ = ∑ += nn n xn a (收敛半径不变， Kx∈ ) （3）可微性 幂级数∑ 的和函数 在收敛区间∞ =0n n nxa )(xs I 内可导, 并可逐项求导公式 ∑∞ = ′=′ 0 )()( n n n xaxs即 (收敛半径不变，∑∞ = ′= 0 )( n n n xa . 1 1∑∞ = −= n n n xna Ix∈ ) 例 4 求下列幂级数的和函数.（1）∑∞ =1n n n x ； （2） 0 1 n n x n ∞ = +∑ 解 （1）幂级数∑∞ =1n n n x 收敛半径 1 1 limlim 1 =+== ∞→+∞→ n n a aR n n n n ， ,1时当 =x ∑∞ =1n n n x 发散， ,1时当 −=x ∑∞ =1n n n x 收敛，故所给幂级数收敛域是 )1,1[− ，设和函数为 ， )(xs ,)( 1 ∑∞ = = n n n xxs∵ ,0)0( =s显然 "+++=′ 21)( xxxs , 1 1 x−= )11( <<− x 两边积分得 )1ln()( 0 xdtts x −−=′∫ )1ln()0()( xsxs −−=−即 ),1ln()( xxs −−=∴ 又 ,1时当 −=x ∑∞ =1n n n x 收敛，且函数 )1ln( x−− 在该处连续，故上式 ,1时当 −=x 也成立，从 而有∑∞ =1n n n x = )1ln( x−− ， 11 <≤− x ).1ln()1( 1 1 x n x n n n +=−∴∑∞ = − )11( ≤<− x （2）同（1）类似可求得幂级数 0 1 n n x n ∞ = +∑ 的收敛域为 )1,1[− 。设和函数为 ，则有)(xs 1 0 1 ( ) 1 n n n n x xxs x n n +∞ ∞ = = = =+∑ ∑ ，利用（1）结果，得 ( ) ln(1 ), 1 1.xs x x x= − − − ≤ < 因此当 时，0x ≠ 1( ) ln(1 )s x x x = − − ，而 0 0 (0) 1 1 n n x xs n ∞ = = ⎡ ⎤= =⎢ ⎥+⎣ ⎦∑ ， 于是 1 ln(1 ), 1 0 0 1 ( ) 1 0 x x x s x x x ⎧− − − ≤ < <⎪= ⎨⎪ =⎩ 当 或 当 < 例 5 求幂级数 的和函数. ∑∞ = + 0 )12( n nxn 解 ∑∞ = += 0 )12()( n nxnxs设 ∑∑ ∞ = ∞ = += 00 2 n n n n xnx ,22 1 1 0 ∑∑ ∞ = −∞ = = n n n n nxxnx∵ ,)( 1 1∑∞ = −= n nnxxA设 dxxndxxA n x nx ∑ ∫∫ ∞ = −= 1 0 1 0 )( ∑∞ = = 1n nx , 1 x x −= 1|| >+∑ ∞ = ba ba x n nn n . 二、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数: 1．∑ ； 2．∞ = − 1 1 n nnx "" +−++++ − 1253 1253 n xxxx n . 第五节 泰勒级数 一、泰勒级数 观察下式 )11()1ln()1( 1 1 ≤<−+=−∑∞ = − xx n x n n n ， 存在幂级数在其收敛 域内以 n n n xxaxf )()( 0 0 −=∑∞ = ( )f x 为和函数. 问题：1.如果能展开, 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能 展开成幂级数? na 1．定理 1 如果函数 在 内具有任意阶导数, 且在 内)(xf )( 0xUδ )( 0xUδ 能展开成 的幂级数, 即 则其系数 )( 0xx − n n n xxaxf )()( 0 0 −=∑∞ = ),2,1,0()( ! 1 0 )( "== nxf n a nn 且展开式是唯一的. 证略 2．定义：如果 在点 处任意阶可导,则幂级数)(xf 0x n n n xx n xf )( ! )( 0 0 0 )( −∑∞ = 称为 在 点 的泰勒级数. )(xf 0x n n n x n f∑∞ =0 )( ! )0( 称为 在点)(xf 00 =x 的麦克劳林级数. 问题： ( ) 0 0 0 ( )( )? ( ) ! n n n f xf x x n ∞ = −∑ x 泰勒级数在收敛区间是否收敛于 ( )f x ? 不一定. ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ = ≠= − 0,0 0,)( 2 1 x xexf x例如 在 x=0 点任意可导, ,),2,1,0(0)0()( "== nf n且 ( )f x∴ 的麦氏级数为 0 0 n n x ∞ = ⋅∑ . 该级数在 内的和函数为( ,−∞ +∞) ( ) 0s x ≡ .可见除 0x = 外, ( )f x 的麦氏级数不收敛于 ( )f x . 二、函数展开成幂级数 （*）1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! )()1( 0 )( n xfa n n =求 ,)(0lim)2( )( MxfR nnn ≤=∞→ 或讨论 ).(xf敛于则级数在收敛区间内收 例 1 .)( 展开成幂级数将 xexf = 解 ,)()( xn exf = ),2,1,0(.1)0()( "== nf n "" +++++↔ nx x n xxe ! 1 !2 11 2 ,0>∀M 上在 ],[ MM− xn exf =)()( Me≤ "" +++++=∴ nx x n xxe ! 1 !2 11 2 ),2,1,0( "=n 由于 M 的任意性, 即得 ),( ! 1 !2 11 2 +∞−∞∈+++++= xx n xxe nx "" 例 2 .sin)( 的幂级数展开成将 xxxf = 解 ), 2 sin()()( πnxxf n += , 2 sin)0()( πnf n = ,0)0()2( =∴ nf ,)1()0()12( nnf −=+ ),2,1,0( "=n =)()( xf n且 ) 2 sin( πnx + 1≤ ),( +∞−∞∈x "" ++−+−+−=∴ + )!12( )1( !5 1 !3 1sin 12 53 n xxxxx n n ),( +∞−∞∈x 2.间接法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐 项积分等方法,求展开式. 例如 )(sincos ′= xx ""∵ ++−+−+−= + )!12( )1( !5 1 !3 1sin 12 53 n xxxxx n n "" +−+−+−=∴ )!2( )1( !4 1 !2 11cos 2 42 n xxxx n n ),( +∞−∞∈x ∫ += x x dxx 0 21 arctan "" ++−+−+−= + 12 )1( 5 1 3 1 1253 n xxxx n n ]1,1[−∈x ∫ +=+ x x dxx 0 1 )1ln( "" +−+−+−= − n xxxx n n 132 )1( 3 1 2 1 ]1,1(−∈x 例 3 .4)( 45 的幂级数展开成将 xxxxf += 解 2 1 2 ) 4 1(2)( xxxf += ]1,1[ !)!2( !)!32()1( 642 31 42 1 2 111 32 −+−−++⋅⋅ ⋅+⋅−+=+ "" nn x n nxxxx ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎣ ⎡ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−−+⋅+= ∑∞+ = + n n n x n nxx 4!)!2( !)!32()1( 42 112 2 12 1 4 1 ≤≤− x . !)!2(4 !)!32()1(2 4 12 2 2 132 ++∞ = + ⋅ −−++= ∑ nn n n x n nxx 44 ≤≤− x 例 4 .2cossin)( 的幂级数展开成将 xxxxf = 解 xxxf 2cossin)( = ]sin3[sin 2 1 xx −= ""∵ ++−+−+−= + )!12( )1( !5 1 !3 1sin 12 53 n xxxxx n n )!12( )1( 2 1 )!12( )3()1( 2 1 12 0 12 0 +−−+−= ++∞ = ++∞ = ∑∑ nxnx n n n n n n +∞<<∞−+ −−= + ++∞ = ∑ xxn n n n n . )!12( )13()1( 2 1 1212 0 例 5 .)1ln()( 2 的幂级数展开成将 xxxxf ++= 解 31( ) ln 1 xf x x −= − 3ln(1 ) ln(1 ) 1x x x= − − − ≠ 11)1()1ln( 1 1 ≤<−−=+ − +∞ = ∑ xnxx n n n ∵ 3ln(1 ) ln(1 )x x− − − 3 1 1 1 1 ( ) ( )( 1) ( 1) n n n n n n x x n n +∞ +∞− − = = − −= − − −∑ ∑ 3 1 1 n n n n x x n n +∞ +∞ = = = −∑ ∑ 11 ≤<− x 例 6 将 1( ) 4 xf x x −= − 在 1x = 处展开成泰勒级数（展开成 1x − 的幂级数）. 解 )1(3 1 4 1 −−=− xx∵ ,) 3 11(3 1 −− = x ]) 3 1() 3 1( 3 11[ 3 1 2 "" +−++−+−+= nxxx 31 <−x x x x x −−=− −∴ 4 1)1( 4 1 "" +−++−+−+−= n nxxxx 3 )1( 3 )1( 3 )1()1( 3 1 3 3 2 2 31 <−x 三、小结 1.如何求函数的泰勒级数; 2.函数展开成泰勒级数的方法. 思考题:什么叫幂级数的间接展开法？ 练习题 一、下列函数展开成 x的幂级数,并求展开式成立的区间: 1. ； 2. ; 3.arcxa )1ln()1( xx ++ tan x； 4. 3)1( 1 x x − + . 二、将函数 3)( xxf = 展开成 )1( −x 的幂级数,并求展开式成立的区间. 三、将函数 23 1)( 2 ++= xxxf 展开成 )4( +x 的幂级数 . 四、将级数∑∞ = − − − −⋅ − 1 12 1 1 )!12(2 )1( n n n n n x 的和函数展开成 )1( −x 的幂级数 . 第六节 函数的幂级数展开式的应用 求数项级数的和 1.利用级数和的定义求和: (1)直接法; (2)拆项法; (3)递推法. 例 7 . 2 1arctan 1 2 的和求∑∞ =n n 解 , 2 1arctan1 =s 8 1arctan 2 1arctan2 +=s 8 1 2 11 8 1 2 1 arctan ⋅− + = , 3 2arctan= 18 1arctan23 += ss 18 1arctan 3 2arctan += , 4 3arctan= ,1arctan1 k ksk −=−假设 22 1arctan1arctan kk ksk +−= ,1arctan += k k 1arctan 1 arctan →+=∴ n nsn )(4 ∞→= nπ . 42 1arctan 1 2 π=∑∞ =n n 故 2.阿贝尔法(构造幂级数法): ,lim 010 n n n xn n xaa ∑∑ ∞ =→ ∞ = − =∵ ,)( 0 n n n xaxs ∑∞ = =求得 10 lim ( )n xn a s− ∞ →= x∴ =∑ (逐项积分、逐项求导) 例 8 . 2 12 1 的和求∑∞ = − n n n 解 , 2 12)( 22 1 −∞ = ∑ −= n n n x nxs令 )2,2(− ∑∫∞ = − ′−= 1 0 22 ) 2 12()( n x n n dxx nxs ∑∞ = − ′= 1 12 ) 2 ( n n nx )) 2 (1( 1 2 ′= ∑∞ =n nx x ) 2 1( 2 2 ′−⋅= x x x ) 2 ( 2 ′−= x x , )2( 2 22 2 x x − += )(lim 1 xs x −→ 22 2 1 )2( 2lim x x