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线性代数习题解答(同济大学(第四版))

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线性代数习题解答(同济大学(第四版))第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ; (2) (3) ; (4) . 解 (1) EMBED Equation.3 = = (2) EMBED Equation.3 (3) EMBED Equation.3 (4) EMBED Equation.3 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2;...
线性代数习题解答(同济大学(第四版))
第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ; (2) (3) ; (4) . 解 (1) EMBED Equation.3 = = (2) EMBED Equation.3 (3) EMBED Equation.3 (4) EMBED Equation.3 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 … 2 4 … ; (6)1 3 … … 2. 解(1)逆序数为0 (2)逆序数为4:4 1,4 3,4 2,3 2 (3)逆序数为5:3 2,3 1,4 2,4 1,2 1 (4)逆序数为3:2 1,4 1,4 3 (5)逆序数为 : 3 2 1个 5 2,5 4 2个 7 2,7 4,7 6 3个 ……………… … 2, 4, 6,…, 个 (6)逆序数为 3 2 1个 5 2,5 4 2个 ……………… … 2, 4, 6,…, 个 4 2 1个 6 2,6 4 2个 ……………… … 2, 4, 6,…, 个 3.写出四阶行列式中含有因子 的项. 解 由定义知,四阶行列式的一般项为 ,其中 为 的逆序数.由于 已固定, 只能形如 □□,即1324或1342.对应的 分别为 或 EMBED Equation.3 和 为所求. 4.计算下列各行列式: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 解 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0 (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =0 (3) = = = (4) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 = 5.证明: (1) = ; (2) = ; (3) ; (4) EMBED Equation.3 ; (5) EMBED Equation.3 . 证明 (1) EMBED Equation.3 (2) EMBED Equation.3 (3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (4) = = = = = EMBED Equation.3 (5) 用数学归纳法证明 假设对于 阶行列式命题成立,即 EMBED Equation.3 所以,对于 阶行列式命题成立. 6.设 阶行列式 ,把 上下翻转、或逆时针旋转 、或依 副对角线翻转,依次得 , , , 证明 . 证明  同理可证 EMBED Equation.3 7.计算下列各行列式( ): (1) ,其中对角线上元素都是 ,未写出的元素都是0; (2) ; (3) ; 提示:利用范德蒙德行列式的结果. (4) ; (5) ; (6) , . 解 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( ) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2)将第一行乘 分别加到其余各行,得 再将各列都加到第一列上,得 (3)从第 行开始,第 行经过 次相邻对换,换到第1行,第 行经 次对换换到第2行…,经 次行 交换,得 此行列式为范德蒙德行列式 (4) EMBED Equation.3 由此得递推公式: 即 而 得 (5) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 = (6) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 8.用克莱姆法则解下列方程组: 解 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 9. EMBED Equation.3 有非零解? 解 , 齐次线性方程组有非零解,则 即 得 不难验证,当 该齐次线性方程组确有非零解. 10. EMBED Equation.3 有非零解? 解 EMBED Equation.3 齐次线性方程组有非零解,则 得 不难验证,当 时,该齐次线性方程组确有非零解. 第二章 矩阵及其运算 1.已知线性变换: 求从变量 到变量 的线性变换. 解 由已知: 故 EMBED Equation.3 2.已知两个线性变换 求从 到 的线性变换. 解  由已知 EMBED Equation.3 所以有 3.设 , 求 解 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 4.计算下列乘积: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) . 解 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2) EMBED Equation.3 (3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (4) EMBED Equation.3 (5) EMBED Equation.3 (6) EMBED Equation.3 5.设 , ,问: (1) 吗? (2) 吗? (3) 吗? 解 (1) , 则 (2) 但 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 故 (3) EMBED Equation.3 而 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 故 6.举反列说明下列命题是错误的: (1)若 ,则 ; (2)若 ,则 或 ; (3)若 ,且 ,则 . 解 (1) 取 ,但 (2) 取 ,但 且 (3) 取 且 但 7.设 ,求 . 解 利用数学归纳法证明: 当 时,显然成立,假设 时成立,则 时 由数学归纳法原理知: 8.设 ,求 . 解 首先观察 EMBED Equation.3 由此推测 用数学归纳法证明: 当 时,显然成立. 假设 时成立,则 时, 由数学归纳法原理知: 9.设 为 阶矩阵,且 为对称矩阵,证明 也是对称矩阵. 证明  已知: 则 从而 也是对称矩阵. 10.设 都是 阶对称矩阵,证明 是对称矩阵的充分必要条件是 . 证明  由已知: 充分性: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 即 是对称矩阵. 必要性: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 11.求下列矩阵的逆矩阵: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) EMBED Equation.3 解 (1) 故 (2) 故 存在 从而 (3) , 故 存在 而 故 EMBED Equation.3 (4) 故 (5) 故 存在 而 从而 (6) 由对角矩阵的性质知 12.解下列矩阵方程: (1)  ; (2)  ; (3)  ; (4)  . 解 (1)  EMBED Equation.3 (2)  (3)  EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (4)  EMBED Equation.3 13.利用逆矩阵解下列线性方程组: (1) (2) 解  (1) 方程组可示为 故 从而有 (2) 方程组可表示为 故 故有 14.设 ( 为正整数),证明 . 证明  一方面, 另一方面,由 有 故  EMBED Equation.3 两端同时右乘 就有 15.设方阵 满足 ,证明 及 都可逆,并求 及 . 证明  由 得 两端同时取行列式: 即  ,故  所以 可逆,而 故 也可逆. 由 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 又由 EMBED Equation.3 16.设 , ,求 . 解  由 可得 故 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 17.设 ,其中 , ,求 . 解   故 所以 而 故 EMBED Equation.3 18.设 次多项式 ,记 称为方阵 的 次多项式. (1)设 ,证明: , ; (2)设 ,证明: , . 证明 (1) i)利用数学归纳法.当 时 EMBED Equation.3 命题成立,假设 时成立,则 时 故命题成立. ii)左边 =右边 (2)  i) 利用数学归纳法.当 时 成立 假设 时成立,则 时 成立,故命题成立, 即 ii) 证明 右边 EMBED Equation.3 =左边 19.设 阶矩阵 的伴随矩阵为 ,证明: (1) 若 ,则 ; (2)   . 证明 (1) 用反证法证明.假设 则有 由此得 EMBED Equation.3 这与 矛盾,故当 时 有 (2) 由于 , 则 取行列式得到: 若 则 若 由(1)知 此时命题也成立 故有 20.取 ,验证 检验: EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 而  故  21.设 ,求 及 解  ,令 则 故 22.设 阶矩阵 及 阶矩阵 都可逆,求 . 解 将 分块为 其中 为 矩阵, 为 矩阵 为 矩阵, 为 矩阵 则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 由此得到 故 . 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1.把下列矩阵化为行最简形矩阵: (1)  ; (2)  ; (3)  ; (4)  . 解 (1)  EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2)  EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (3)  EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (4)  EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 2.在秩是 的矩阵中,有没有等于0的 阶子式?有没有等于0的 阶 子式? 解  在秩是 的矩阵中,可能存在等于0的 阶子式,也可能存在等 于0的 阶子式. 例如, 同时存在等于0的3阶子式和2阶子式. 3.从矩阵 中划去一行得到矩阵 ,问 的秩的关系怎样? 解 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 设 ,且 的某个 阶子式 .矩阵 是由矩阵 划去一行得 到的,所以在 中能找到与 相同的 阶子式 ,由于 , 故而 . 4.求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是 , 解  设 为五维向量,且 , ,则所求方阵可为 秩为4,不妨设 取 故满足条件的一个方阵为 5.求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式: (1)  ; (2)  ; (3)  . 解 (1)  EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 二阶子式 . (2) EMBED Equation.3 . 二阶子式 . (3) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 秩为3 三阶子式 . 6.求解下列齐次线性方程组: (1)  (2)  (3) (4) 解 (1) 对系数矩阵实施行变换: EMBED Equation.3 即得 故方程组的解为 (2) 对系数矩阵实施行变换: EMBED Equation.3  即得 故方程组的解为 (3) 对系数矩阵实施行变换: EMBED Equation.3 即得 故方程组的解为 (4) 对系数矩阵实施行变换: EMBED Equation.3 即得 故方程组的解为 7.求解下列非齐次线性方程组: (1) (2) (3) (4) 解 (1) 对系数的增广矩阵施行行变换,有 而 ,故方程组无解. (2) 对系数的增广矩阵施行行变换: EMBED Equation.3 即得 亦即 (3) 对系数的增广矩阵施行行变换: EMBED Equation.3 即得  即 (4) 对系数的增广矩阵施行行变换:   即得  即 8. 取何值时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解? 解 (1)  ,即 时方程组有唯一解. (2)  EMBED Equation.3 由 得 时,方程组无解. (3)  ,由 , 得 时,方程组有无穷多个解. 9.非齐次线性方程组 当 取何值时有解?并求出它的解. 解  方程组有解,须 得 当 时,方程组解为 当 时,方程组解为 10.设 问 为何值时,此方程组有唯一解、无解或有无穷多解?并在有无穷多解 时求解. 解   EMBED Equation.3 当 ,即   且 时,有唯一解. 当 且 ,即 时,无解. 当 且 ,即 时,有无穷多解. 此时,增广矩阵为 原方程组的解为 ( ) 11.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵: (1)  ; (2)  . 解 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 故逆矩阵为 (2)  故逆矩阵为 12.(1) 设 ,求 使 ; (2) 设 ,求 使 . 解 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 第四章 向量组的线性相关性 1.设 , 求 及 . 解 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 2.设 其中 , , ,求 解 由 整理得 EMBED Equation.3 3.举例说明下列各命题是错误的: (1)若向量组 是线性相关的,则 可由 线性表示. (2)若有不全为0的数 使 成立,则 线性相关, 亦线性相关. (3)若只有当 全为0时,等式 才能成立,则 线性无关, 亦线性无关. (4)若 线性相关, 亦线性相关,则有不全为0的数, 使 同时成立. 解 (1) 设 满足 线性相关,但 不能由 线性表示. (2) 有不全为零的数 使 原式可化为 取 其中 为单位向量,则上式成立,而 , 均线性相关 (3) 由 (仅当 ) 线性无关 取 取 为线性无关组 满足以上条件,但不能说是 线性无关的. (4) 与题设矛盾. 4.设 ,证明向量组 线性相关. 证明 设有 使得 则 (1) 若 线性相关,则存在不全为零的数 , ; ; ; ; 由 不全为零,知 不全为零,即 线性相 关. (2) 若 线性无关,则 由 知此齐次方程存在非零解 则 线性相关. 综合得证. 5.设 ,且向量组 线性无关,证明向量组 线性无关. 证明 设 则 EMBED Equation.3 因向量组 线性无关,故 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 因为 故方程组只有零解 则 所以 线性无关 6.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) ; (2) . 解 (1) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2) EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , 所以第1、2、3列构成一个最大无关组. 7.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)  , , ; (2)  , , . 解 (1)  线性相关. 由 EMBED Equation.3 秩为2,一组最大线性无关组为 . (2) EMBED Equation.3 秩为2,最大线性无关组为 . 8.设 是一组 维向量,已知 维单位坐标向量 能 由它们线性表示,证明 线性无关. 证明 维单位向量 线性无关 不妨设: 所以  两边取行列式,得 由 即 维向量组 所构成矩阵的秩为 故 线性无关. 9.设 是一组 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是:任一 维向量都可由它们线性表示. 证明  设 为一组 维单位向量,对于任意 维向量 则有 即任一 维向量都 可由单位向量线性表示. EMBED Equation.3 线性无关,且 能由单位向量线性表示,即 故 两边取行列式,得 由 令 则 由 即 都能由 线性表示,因为任一 维向量能由单 位向量线性表示,故任一 维向量都可以由 线性表示. 已知任一 维向量都可由 线性表示,则单位向量组: 可由 线性表示,由8题知 线性无关. 10.设向量组 : 的秩为 ,向量组 : 的秩 向量组 : 的秩 ,证明 证明 设 的最大线性无关组分别为 ,含有的向量个数 (秩)分别为 ,则 分别与 等价,易知 均可由 线性表示,则秩( ) 秩( ),秩( ) 秩( ),即 设 与 中的向量共同构成向量组 ,则 均可由 线性表示, 即 可由 线性表示,从而 可由 线性表示,所以秩( ) 秩( ), 为 阶矩阵,所以秩( ) 即 . 11.证明 . 证明:设 且 行向量组的最大无关组分别为 显然,存在矩阵 ,使得 , EMBED Equation.3 因此  12.设向量组 EMBED Equation.3 能由向量组 EMBED Equation.3 线性表示为 , 其中 为 矩阵,且 组线性无关。证明 组线性无关的充分必要条 件是矩阵 的秩 . 证明  若 组线性无关 令 则有 由定理知 由 组: 线性无关知 ,故 . 又知 为 阶矩阵则 由于向量组 : 能由向量组 : 线性表示,则   综上所述知 即 . 若 令 ,其中 为实数 则有 又 ,则 由于 线性无关,所以 即 (1) 由于 则(1)式等价于下列方程组: 由于 所以方程组只有零解 .所以 线性无关, 证毕. 13.设 问 是不是向量空间?为什么? 证明 集合 成为向量空间只需满足条件: 若 ,则 若 ,则 是向量空间,因为: 且 故 故 不是向量空间,因为: 故 故当 时, 14.试证:由 所生成的向量空间就 是 . 证明  设 EMBED Equation.3 于是 故线性无关.由于 均为三维,且秩为3, 所以 为此三维空间的一组基,故由 所生成的向量空间 就是 . 15.由 所生成的向量空间记作 ,由 所生成的向量空间记作 ,试证 . 证明 设 任取 中一向量,可写成 , 要证 ,从而得 由 得 上式中,把 看成已知数,把 看成未知数 有唯一解 同理可证: ( ) 故 16.验证 为 的一个基,并把 用这个基线性表示. 解 由于 即矩阵 的秩为3 故 线性无关,则为 的一个基. 设 ,则 EMBED Equation.3 故 设 ,则 EMBED Equation.3 故线性表示为 17.求下列齐次线性方程组的基础解系: (1) (2) (3) . 解 (1) 所以原方程组等价于 取 得 取 得 因此基础解系为 EMBED Equation.3 (2) 所以原方程组等价于 取 得 取 得 因此基础解系为 EMBED Equation.3 (3)原方程组即为 取 得 取 得 取 得 所以基础解系为 18.设 ,求一个 矩阵 ,使 ,且 . 解  由于 ,所以可设 则由 可得 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 , 故所求矩阵 . 19.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 . 解  显然原方程组的通解为 ,( ) 即 消去 得 此即所求的齐次线性方程组. 20.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知 是它 的三个解向量.且 , 求该方程组的通解. 解 由于矩阵的秩为3, ,一维.故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量,且由于 均为方程组的解,由 非齐次线性方程组解的结构性质得 为其基础解系向量,故此方程组的通解: , 21.设 都是 阶方阵,且 ,证明 . 证明 设 的秩为 , 的秩为 ,则由 知, 的每一列向量 都是以 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量. 当 时,该齐次线性方程组只有零解,故此时 , , , 结论成立. (2) 当 时,该齐次方程组的基础解系中含有 个向量,从而 的列向量组的秩 ,即 ,此时 ,结论成立。 综上, . 22.设 阶矩阵 满足 , 为 阶单位矩阵,证明 (提示:利用题11及题21的结论) 证明   所以由21题所证可知 又  由11题所证可知 由此 . 23.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系: (1) (2) 解  (1) (2) 24.设 是非齐次线性方程组 的一个解, 是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1) 线性无关; (2) 线性无关。 证明 (1)反证法,假设 线性相关,则存在着不全为0的数 使得下式成立: (1) 其中, 否则, 线性相关,而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾。 由于 为特解, 为基础解系,故得 而由(1)式可得 故 ,而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 产生矛盾,假设不成立, 故 线性无关. (2)反证法,假使 线性相关. 则存在着不全为零的数 使得下式成立: (2) 即 若 ,由于 是线性无关的一组基础解 系,故 ,由(2)式得 此时 与假设矛盾. 若 由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾, 综上,假设不成立,原命题得证. 25.设 是非齐次线性方程组 的 个解, 为实数, 满足 .证明 也是它的解. 证明 由于 是非齐次线性方程组 的 个解. 故有 而 即 ( ) 从而 也是方程的解. 26.设非齐次线性方程组 的系数矩阵的秩为 , 是它 的 个线性无关的解(由题24知它确有 个线性无关的 解).试证它的任一解可表示为 (其中 ). 证明 设 为 的任一解. 由题设知: 线性无关且均为 的解. 取 ,则它的均为 的 解. 用反证法证: 线性无关. 反设它们线性相关,则存在不全为零的数: 使得 即 亦即 由 线性无关知 矛盾,故假设不对. 线性无关,为 的一组基. 由于 均为 的解,所以 为的 解 可由 线性表出. 令 则 ,证毕. 第五章 相似矩阵及二次型 1.试用施密特法把下列向量组正交化: (1)  ; (2)  解 (1) 根据施密特正交化方法: 令 , , , 故正交化后得: . (2) 根据施密特正交化方法令 故正交化后得 2.下列矩阵是不是正交阵: (1)  ; (2)  . 解  (1) 第一个行向量非单位向量,故不是正交阵. (2) 该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵. 3.设 与 都是 阶正交阵,证明 也是正交阵. 证明 因为 是 阶正交阵,故 , 故 也是正交阵. 4.求下列矩阵的特征值和特征向量: (1) ; (2) ; (3) . 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1) ①  故 的特征值为 . ② 当 时,解方程 ,由 得基础解系 所以 是对应于 的全部特征值向量. 当 时,解方程 ,由 得基础解系 所以 是对应于 的全部特征向量. ③  故 不正交. (2) ①  故 的特征值为 . ② 当 时,解方程 ,由 得基础解系 故 是对应于 的全部特征值向量. 当 时,解方程 ,由 得基础解系 故 是对应于 的全部特征值向量 当 时,解方程 ,由 得基础解系 故 是对应于 的全部特征值向量. ③  , , , 所以 两两正交. (3)  = , 当 时, EMBED Equation.3 取 为自由未知量,并令 ,设 . 故基础解系为 当 时, EMBED Equation.3 可得基础解系 综上所述可知原矩阵的特征向量为 5.设方阵 与 相似,求 . 解 方阵 与 相似,则 与 的特征多项式相同,即 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 6.设 都是 阶方阵,且 ,证明 与 相似. 证明 则 可逆 则 与 相似. 7.设3阶方阵 的特征值为 ;对应的特征向量依 次为 , , 求 . 解 根据特征向量的性质知 可逆, 得: 可得 得 8.设3阶对称矩阵 的特征值6,3,3,与特征值6对应的特征向量为 ,求 . 解 设 由 ,知① 3是 的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知 的秩为1, 故利用①可推出 秩为1. 则存在实的 使得② 成立. 由①②解得 . 得 . 9.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵: (1) ;  (2) . 解  (1)  EMBED Equation.3 故得特征值为 . 当 时,由 解得 单位特征向量可取: 当 时,由 解得 单位特征向量可取: 当 时,由   解得 . 单位特征向量可取: 得正交阵 (2) EMBED Equation.3 , 故得特征值为 当 时,由 解得 此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量 单位化得 当 时,由 解得 单位化 :得正交阵 . 10.(1) 设 ,求 ; (2) 设 ,求 . 解  (1)  是实对称矩阵. 故可找到正交相似变换矩阵 使得 从而 因此 EMBED Equation.3 . (2) 同(1)求得正交相似变换矩阵 使得 EMBED Equation.3 . 11.用矩阵记号表示下列二次型: (1)  ; (2)  (3)  解 (1)  . (2)  . (3)  . 12.求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) ; (2) . 解 (1) 二次型的矩阵为 EMBED Equation.3 故 的特征值为 . 当 时, 解方程 ,由 得基础解系 . 取 当 时,解方程 ,由 得基础解系 取 . 当 时,解方程 ,由 得基础解系 取 , 于是正交变换为 且有 . (2)二次型矩阵为 EMBED Equation.3 , 故 的特征值为 当 时,可得单位特征向量 , 当 时,可得单位特征向量 , 当 时,可得单位特征向量 , . 于是正交变换为 且有 . 13.证明:二次型 在 时的最大值为矩阵 的最大特征 值. 证明 为实对称矩阵,则有一正交矩阵 ,使得 成立. 其中 为 的特征值,不妨设 最大, 为正交矩阵,则 且 ,故 则 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . 其中 当 时, 即 即 . 故得证. 14.判别下列二次型的正定性: (1) ; (2) 解 (1)  , , , , 故 为负定. (2)  , , , , . 故 为正定. 15.设 为可逆矩阵, ,证明 为正定二次型. 证明  设 , , EMBED Equation.3 . 若“ ”成立,则 成立. 即对任意 使 成立. 则 线性相关, 的秩小于 ,则 不可逆,与题意产生矛盾. 于是 成立. 故 为正定二次型. 16.设对称矩阵 为正定矩阵,证明:存在可逆矩阵 ,使 . 证明   正定,则矩阵 满秩,且其特征值全为正. 不妨设 为其特征值, 由定理8知,存在一正交矩阵 使 又因 为正交矩阵,则 可逆, . 所以 . 令 , 可逆,则 . 1 _1234568401.unknown _1234568913.unknown _1234569169.unknown _1234569297.unknown _1234569361.unknown _1234569425.unknown _1234569457.unknown _1234569489.unknown _1234569505.unknown _1234569521.unknown _1234569529.unknown _1234569533.unknown _1234569535.unknown _1234569537.unknown _1234569539.unknown _1234569540.unknown _1234569538.unknown _1234569536.unknown _1234569534.unknown _1234569531.unknown _1234569532.unknown _1234569530.unknown _1234569525.unknown _1234569527.unknown _1234569528.unknown _1234569526.unknown _1234569523.unknown _1234569524.unknown _1234569522.unknown _1234569513.unknown _1234569517.unknown _1234569519.unknown _1234569520.unknown _1234569518.unknown _1234569515.unknown _1234569516.unknown _1234569514.unknown _1234569509.unknown _1234569511.unknown _1234569512.unknown _1234569510.unknown _1234569507.unknown _1234569508.unknown _1234569506.unknown _1234569497.unknown _1234569501.unknown _1234569503.unknown _1234569504.unknown _1234569502.unknown _1234569499.unknown _1234569500.unknown _1234569498.unknown _1234569493.unknown _1234569495.unknown _1234569496.unknown _1234569494.unknown _1234569491.unknown _1234569492.unknown _1234569490.unknown _1234569473.unknown _1234569481.unknown _1234569485.unknown _1234569487.unknown _1234569488.unknown _1234569486.unknown _1234569483.unknown _1234569484.unknown _1234569482.unknown _1234569477.unknown _1234569479.unknown _1234569480.unknown _1234569478.unknown _1234569475.unknown _1234569476.unknown _1234569474.unknown _1234569465.unknown _1234569469.unknown _1234569471.unknown _1234569472.unknown _1234569470.unknown _1234569467.unknown _1234569468.unknown _1234569466.unknown _1234569461.unknown _1234569463.unknown _1234569464.unknown _1234569462.unknown _1234569459.unknown _1234569460.unknown _1234569458.unknown _1234569441.unknown _1234569449.unknown _1234569453.unknown _1234569455.unknown _1234569456.unknown _1234569454.unknown _1234569451.unknown _1234569452.unknown _1234569450.unknown _1234569445.unknown _1234569447.unknown _1234569448.unknown _1234569446.unknown _1234569443.unknown _1234569444.unknown _1234569442.unknown _1234569433.unknown _1234569437.unknown _1234569439.unknown _1234569440.unknown _1234569438.unknown _1234569435.unknown _1234569436.unknown _1234569434.unknown _1234569429.unknown _1234569431.unknown _1234569432.unknown _1234569430.unknown _1234569427.unknown _1234569428.unknown _1234569426.unknown _1234569393.unknown _1234569409.unknown _1234569417.unknown _1234569421.unknown _1234569423.unknown _1234569424.unknown _1234569422.unknown _1234569419.unknown _1234569420.unknown _1234569418.unknown _1234569413.unknown _1234569415.unknown _1234569416.unknown _1234569414.unknown _1234569411.unknown _1234569412.unknown _1234569410.unknown _1234569401.unknown _1234569405.unknown _1234569407.unknown _1234569408.unknown _1234569406.unknown _1234569403.unknown _1234569404.unknown _1234569402.unknown _1234569397.unknown _1234569399.unknown _1234569400.unknown _1234569398.unknown _1234569395.unknown _1234569396.unknown _1234569394.unknown _1234569377.unknown _1234569385.unknown _1234569389.unknown _1234569391.unknown _1234569392.unknown _1234569390.unknown _1234569387.unknown _1234569388.unknown _1234569386.unknown _1234569381.unknown _1234569383.unknown _1234569384.unknown _1234569382.unknown _1234569379.unknown _1234569380.unknown _1234569378.unknown _1234569369.unknown _1234569373.unknown _1234569375.unknown _1234569376.unknown _1234569374.unknown _1234569371.unknown _1234569372.unknown _1234569370.unknown _1234569365.unknown _1234569367.unknown _1234569368.unknown _1234569366.unknown _1234569363.unknown _1234569364.unknown _1234569362.unknown _1234569329.unknown _1234569345.unknown _1234569353.unknown _1234569357.unknown _1234569359.unknown _1234569360.unknown _1234569358.unknown _1234569355.unknown _1234569356.unknown _1234569354.unknown _1234569349.unknown _1234569351.unknown _1234569352.unknown _1234569350.unknown _1234569347.unknown _1234569348.unknown _1234569346.unknown _1234569337.unknown _1234569341.unknown _1234569343.unknown _1234569344.unknown _1234569342.unknown _1234569339.u
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