数项级数的敛散性判别法

第六讲 数项级数的敛散性判别法 §1 柯西判别法及其推广 比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理 ：设 ， 都是正项级数，存在 ，使 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 （i） 若 收敛，则 也收敛；（ii） 若 发散，则 也发散． 比较原理 （极限形式）设 ， 均为正项级数，若 　　 则 、 同敛散． 根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它 级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设 为正项级数， （i）若从某一项起（即存在 ，当 时）有 （ 为常数）， 则 收敛； （ii）若从某项起， ，则 发散． 证（i）若当 时，有 ，即 ，而级数 收敛， 根据比较原理 知级数 也收敛． （ii）若从某项起， ，则 ，故 ，由级数收敛的必要条件知 发散．定理证毕． 定理2（柯西判别法2）　设 为正项级数， ，则：（i）当 时， 收敛；（ii） 当 （或 ）时， 发散；（iii）当 时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性 ； 　　　　　　 （ 为任何实数， ）． 解 (1) 因为 ，所以原级数收敛． (2) 因为 ，所以原级数发散． (3) 对任意 ， ．当 时收敛；当 时发散；当 时，此时级数是 级数，要对 进行讨论，当 ，即 时收敛；当 时，即 时发散． 例2 判别级数 的敛散性． 解 由于 不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛． 例3（98考研）设正项数列 单调减少，且 发散，试问级数 是否收敛？并说明理由． 解 答案：级数 收敛，证明如下： 由于 单调减少且 根据单调有界准则知极限 存在．设 则 ．如果 则由莱布尼兹判别法知 收敛，这与 发散矛盾，故 ．再由 单调减少，故 取 ， 根据柯西判别法1知 收敛． 下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设 为正项级数，如果它的通项 的 次根的极限等于 ，即 ．则当 时，级数收敛；当 时，级数发散；当 级数可能收敛也可能发散． 证　因为 ，即对任给正数 ，存在正整数 ，当 时，有 　　　　　　　 （1） 对于任给常数 ，总存在 ，当有 时有 （2） 取 ，当 时，式（1）和式（2）同时成立． 当 时，取 足够小，使 ．由上述讨论，存在 ，当 时，式（1）和式（2）同时成立，那么有 ，正项级数 收敛（因为其为等比级数且公比 ），由比较审敛法知，级数 收敛． 当 时，取 足够小，使 ，由上面的讨论，存在 ，当 时，式（1）和式（2）同时成立，则 ，正项级数 发散，由比较审敛法知，级数 发散． 当 时，取 ，那么，对任何 为常数，有 ．而 发散， 收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数 的收敛性． 解　因为 由广义柯西判别法1知，级数 收敛． 注　例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设 为正项级数，如果它的一般项 的 （ 是大于1的正整数）次根的极限等于 ，即 ．则当 时，级数收敛；当 时，级数发散；当 时，级数可能收敛也可能发散． 证 因为 ，即对任给的正数 ，存在正整数 ，当 时有 当 时，取 足够小，使 ．由上面的讨论，存在 ，当 时， 有 ．因为 ，又正项级数 收敛（因 ），由比较审敛法知 收敛 ，所以 收敛． 当 时，取 足够小，使 ．由上面的讨论，存在 ，当 时，有 ，那么 ，所以级数 发散． 当 时，同样取 ，那么 这说明 时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 注　广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取 ，在广义柯西判别法2中，取 便得定理2（柯西判别法2）． 例5 判断级数 的收敛性． 解 因为 ，由广义柯西判别法2知原级数收敛． 定理5（广义柯西判别法3） 设 ，若 ， ．则当 时，级数 收敛；当 时，级数 发散[2]． 为证明定理5，需要一些预备知识： Stolz定理 设 、 为两个数列，数列 在某顶之后单调递增,且 ，若 ，（或 ），则 （或 ）． 命1 设数列 ．若 ，则 。 证 令 ， ，由Stolz定理， 命题证毕． 命题2设 ， ． ，则 ． 证 由 ，考虑数列 ，由对数的连续性易知 ．再 由命题1知 根据指数函数的连续性便得 或 时，结论仍成立，这里证明略去． 命题3 设 ， ，则 ． 证 令 ， ，由命题2 命题证毕． 证明定理5 由命题3知， 再用柯西判敛法(定理2) 便得结论．定理证毕． 显然，定理2(柯西判敛法2)是广义柯西判别法3当 时的特例． 例6 判定级数 的敛散性. 解 设 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 由于 ，根据广义柯西判别法3知，级数 收敛． 例7 判定 EMBED Equation.DSMT4 的敛散性． 解 设 ，则 ， 所以，当 时，级数 收敛．当 时，由于 ， 广义柯西判别法3失效．然而 时 由级数收敛的必要条件知，当 时级数 发散． §2达朗贝尔判别法及其推广 用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法． 定理6（达朗贝尔判别法1） 设 为正项级数, （i） 若从某项起 ，有 ，则 收敛； （ii） 若从某项起 ，有 ，则 发散． 证明（i）由 时，有 ，从而 　 ， ， ， 由于 收敛，由比较原理知 收敛，故 收敛． （ii）若存在 ，当 时，有 ，则 ，故 ， 由级数收敛的必要条件知 发散．定理证毕． 定理7（达朗贝尔判别法2）设 ，则（i）若 ，则 收敛；（ii）若 （或 ），则 发散；（iii）若 ，敛散性不能确定．这正是高等数学中的达朗贝尔判别法． 例8判别下列级数的敛散性． 　　 ；　 ；　 ．　　　　　 解 （1）因为 ，所以级数 收敛． （2） 因为 ，所以原级数发散． （3） 对任意 ， ．当 时，级数收敛 ；当 时，级数发散；当 时原级数为 的敛散性要进一步判定．当 时级数收敛，当 时级数发散． 例9判别级数 的敛散性． 解 因为 及 故存在 当 时，有 ．从而，当 时， ．根据定理6，可知级数 收敛． 下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法． 定理8（广义达朗贝尔判别法１） 设 为正项级数， 是某正整数， （i） 如果对一切 ，有 ，则级数收敛； （ii） 如果 ，则级数发散． 证（i） 由于 ，则 ，从而 其中 是任意正整数，可见，对 ，都有 ．考虑级数的部 分和序列 EMBED Equation.DSMT4 即 有上界，从而 存在，设 ．注意到 故 ，即 ，所以 收敛． 　　若 成立，则 ，从而 ，故 ，所以级数发散．定理证毕． 例10判别级数 的收敛性． 解 取 ，由于 　　　　 根据定理8知该级数收敛． 定理9（广义达朗贝尔判别法2） 设 为正项级数， 是某一正整数， （i） 如果 ,则级数收敛；（ii） 如果 ,则级数发散． 证 （i） 如果 ，对 ，存在 ，当 时，有 　　　　　　　　 从而 由定理8（广义达朗贝尔判别法1）知 收敛． 如果 ，则从某项开始， 此时 ，故原级数发散． 例11确定下列级数的敛散性 （1） ；（2） 解 （1） 取 ，由于 ，所以原级数收敛． （2） 取 ，由于 ，所以原级数收敛． §3 积分判别法 积分判别法是利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性． 定理10（柯西积分判别法） 对于正项级数 ，设 单调减少，作单 调减少的连续函数 ，使 单调减少，则级数 与 广义积分 同时收敛，同时发散． 证由 单调减少，故对 ， 　　　　　 ， 所以 （3） 若广义积分 收敛，则对任何自然数 由上不等式（3），有 既部分数列 有界，故级数 收敛． 反之，若级数 收敛，则由不等式（3），则对任何自然数 有 （4） 又知 ,则 是 的单增函数，由（4）可知 有上界 ，根据单调有界准则知广义积分 收敛．定理证毕． 例12讨论级数 的敛散性，其中 为常数． 解 取 ．它在 上非负，单调减少且连续．令 EMBED Equation.DSMT4 当 时， 当 时， 故级数 当 收敛，当 时发散． 注　对于正项级数 考察广义积分 同 样可推得当 收敛，当 时发散． §4 拉贝尔判别法与高斯判别法 柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，如果给定级数的通项收敛于零的速度比某收敛的等比（几何）级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了．拉贝（Raabe）以 级数 作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯(Gauss)以级数 作为比较对象，得到了高斯判别法． 定理11 （拉贝判别法）设 为正项级数，若有 （5） 则在 时，级数 收敛；而在 时，级数 发散． 证略． 注 等式（5）式其实相当于 （6） 推论（拉贝判别法的极限形式）设 为正项级数，且极限（6）存在， 则：（i）当 时，级数 收敛；（ii）当 时，级数 发散；（iii）当 时，拉贝判别法失效． 例 13 讨论级数 当 时的敛散性． 解 对于任何 都有 ． 因此，用达朗贝尔判别法不能判别其敛散性．下面用拉贝判别法来讨论： 当 时，由于 故当 时级数发散； 当 时，由于 此时，拉贝判别法不能判别级数的敛散性； 当 时，由于 因此，当 时级数收敛． 　　还有比拉贝判别法更“精密”的判别法，例如高斯判别法： 定理12（高斯判别法）设 为正项级数，若有 （7） 则在 时级数 收敛；而在 时级数 发散． 注 级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的．一般说来，部分和不易求得，于是级数的敛散性判别法就应运而生．以正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较原理．它须用预知其敛散性的级数作比较对象．若用几何级数充任比较级数，得到了柯西判别法与达朗贝尔判别法．这两个方法简单易行，但当极限为1时，方法就失效了．若要得出结果，只能用比几何级数收敛得更“慢”的级数作为比较级数．拉贝选取了 级数，从而得到了以他命名的判别法．拉贝判别法较柯西判别法及达朗贝尔判别法应用广泛，但拉贝判别法的 可能为1，此法仍可能失效．于是又得寻求比 级数收敛得慢的级数，级数 就符合此要求，高斯就是用它从而建立了以他命名的判别法，此法较拉贝判别法的用途更广．沿此思路下去又会发现级数 较 收敛散得更慢，从理论上讲，还可以建立较高斯判别法更“精密”的判别法．如果某级数，用上述的判别法都无能为力，我们可以用敛散性定义、充要条件（部分和有界）或柯西（Cauchy）收敛准则去解决，没有必要再设法建立更精密的判别法了． §5 阿贝尔判别法与狄立克雷判别法 阿贝尔变换 为了求和数 ，阿贝尔给出了一个初等变换，引进和数 即 （8） 公式(8)称为阿贝尔变换公式，它与分部积分公式十分相似： （9） 其中， ．如果把 换成 ， 换成 ， 换成 ，则(8)式就转化为(9)式． 阿贝尔引理 如果 （i） 单调（增或减）的； （ii） 有界，即存在 使 则 （10） 证 利用阿贝尔变换： EMBED Equation.DSMT4 由于 是同号（ 单调）， EMBED Equation.DSMT4 ，于是有 ． 推论　如果 ，并且 ．那么 　 （11） 下面用阿贝尔引理来建立比莱布尼兹判别法更为一般的收敛判别法：阿贝尔判别法及狄立克雷判别法．用它们判别形如 级数的敛散性十分有效． 定理13（阿贝尔判别法） 如果：（i） 收敛，（ii）数列 单调有界，即存在正数 ，使得 ．则级数 收敛． 证 利用阿贝尔引理来估计和数 　　　 （12） 由条件（i） 收敛，即对任给 ，存在 ，当 对任何自然数 ，有 　　　 取 为阿贝尔引理中的M, 再由条件（ii），则有 ， 由柯西收敛原理知级数 收敛．定理证毕． 定理14（狄立克雷判别法）如果：（i）级数 的部分和 有界，即存在正数 ，使 （ii）并设数列 单调趋向于零，则级数 收敛． 证 由于 ，故对任意 ，存在N，当 时，就有 ．再由条件（i）有 注意这里的2M就是引理中的M，所以当 时，对任何自然数m，有 由柯西收敛原理知 收敛． 注 在狄立克雷判别法中，特取 ，就是莱布尼茨判别法．因此，莱布尼茨判别法是狄立克雷判别法的特殊情况． 　例14 若级数 收敛，证级数 ， ， 都收敛． 证　取 ，分别取 ， ， ，它们都是单调有界的，由阿贝尔判别法知它们均收敛． 例15 若数列 单调趋于零，证明： （1） 级数 对任何 都收敛； （2） 级数 对任何 都收敛，而当 时，须根据 的性质进一步判定． 证　（1） 先考虑当 时，级数 的部分和 ，由积化和差公式 ，有 EMBED Equation.DSMT4 从而 （ ） 由狄立克雷判别法知 收敛． 当 时，级数的通项为零，级数自然收敛． （2） 由和差化积公式（ ） 　　　 有　　　　 　 EMBED Equation.DSMT4 从而　　　　　　 　　 由狄立克雷判别法知 收敛． 选择题 （1）设 ，则下列级数中肯定收敛的是（　） （2）设 ，则级数（　） （3）下列各选项正确的是（ ） （4）若级数 收敛，则级数（ ） 用比较判别法判别下列级数的敛散性： 设级数 有 试证 收敛时， 敛． 4．判别下列级数的敛散性： 5．判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛． 　 6.设 在点 的某一邻域内具有二阶连续导数，且 ,证明级数 绝对收敛． 7．设 ．证明：（1） 存在；（2）级数 收敛． 8．若两个正项级数 和 发散，问 两级数的敛散性如何？ 9．讨论下列级数的敛散性． 　　 10．讨论下列级数的绝对收敛和条件收敛性． ． 11．设 收敛， 收敛，证明 也收敛． 12．设级数 收敛，又 是收敛的正项级数，证明 绝对收敛． 答案 1． 　 2. (1)发散; (2)收敛; (3) 时收敛, 时发散; (4)收敛. 4. (1)收敛; (2)收敛; (3)收敛; (4)发散. 5. (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛; (4) 条件收敛. 8． 发散， 敛散性不能确定． 9．(1)发散；(2) 时收敛, 时发散． 10． (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛． 参考资料 [1] 根值审敛法的几个推论．侯亚君 高 峰．《高等数学研究》2003.NO2 [2] 柯西根值判敛法的推广．花树忠．《高等数学研究》2004.NO1． [3]　 Alembert判别法的一个推广．徐文雄　龚冬保．《数学学习》1994.NO2． PAGE 1 _1150618883.unknown _1150651463.unknown _1200938416.unknown _1201160421.unknown _1202627173.unknown _1202668130.unknown _1205331411.unknown _1205398860.unknown _1205415261.unknown _1205416483.unknown _1205417184.unknown _1205419447.unknown _1205420194.unknown _1205420202.unknown _1205420069.unknown _1205420098.unknown _1205420144.unknown _1205419673.unknown _1205419246.unknown _1205419302.unknown _1205417353.unknown _1205417954.unknown _1205418884.unknown _1205417904.unknown _1205417331.unknown _1205417101.unknown _1205417131.unknown _1205416564.unknown _1205415951.unknown _1205416113.unknown _1205416447.unknown _1205416046.unknown _1205415621.unknown _1205415922.unknown _1205415426.unknown _1205415468.unknown _1205414541.unknown _1205414688.unknown _1205414855.unknown _1205414605.unknown _1205399015.unknown _1205399052.unknown _1205398944.unknown _1205395109.unknown _1205397766.unknown _1205397901.unknown _1205398187.unknown _1205398468.unknown _1205398527.unknown _1205397982.unknown _1205397852.unknown _1205396416.unknown _1205396498.unknown _1205395213.unknown _1205332892.unknown _1205385734.unknown _1205386186.unknown _1205369322.unknown _1205331794.unknown _1205331807.unknown _1205331544.unknown _1202707012.unknown _1202735240.unknown _1205329912.unknown _1205330893.unknown _1205331372.unknown _1205329973.unknown _1202735613.unknown _1202736282.unknown _1202737271.unknown _1205329565.unknown _1202736339.unknown _1202735624.unknown _1202736230.unknown _1202735566.unknown _1202708620.unknown _1202715764.unknown _1202716451.unknown _1202717861.unknown _1202719442.unknown _1202716751.unknown _1202717709.unknown _1202716719.unknown _1202716263.unknown _1202716340.unknown _1202716021.unknown _1202715608.unknown _1202715660.unknown _1202715693.unknown _1202715646.unknown _1202708774.unknown _1202708807.unknown _1202708062.unknown _1202708325.unknown _1202708401.unknown _1202708516.unknown _1202708202.unknown _1202707613.unknown _1202707803.unknown _1202707543.unknown _1202706385.unknown _1202706748.unknown _1202706899.unknown _1202706966.unknown _1202706785.unknown _1202706695.unknown _1202706710.unknown _1202705939.unknown _1202706023.unknown _1202706138.unknown _1202706219.unknown _1202668389.unknown _1202668479.unknown _1202668591.unknown _1202668310.unknown _1202668369.unknown _1202664303.unknown _1202665150.unknown _1202667287.unknown _1202667880.unknown _1202667919.unknown _1202667345.unknown _1202665759.unknown _1202665809.unknown _1202665348.unknown _1202664769.unknown _1202665047.unknown _1202665070.unknown _1202665013.unknown _1202664443.unknown _1202664458.unknown _1202664326.unknown _1202663639.unknown _1202664107.unknown _1202664242.unknown _1202664280.unknown _1202664121.unknown _1202664020.unknown 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