613-数学分析考试大纲

《数学分析》考试大纲一.课程教学基本要求1．课程重点：各章的重点依次为：1.实数集的性质，确界的概念、确界原理；2.数列极限的定义、性质及计算；3.函数极限的概念、性质及计算；4.函数连续性的概念和闭区间上连续函数的性质；5.导数与微分的概念及其计算；6.微分中值定理,泰劳公式,利用导数研究函数的单调性,极值与凸性；7.实数完备性基本定理的证明和应用；8.换元积分法和分部积分法；函数可积性条件；9.定积分的几何应用和物理应用；10.反常积分的收敛判别法；11.级数敛散性概念和正项级数收敛判别法；12.函数列一致收敛概念，极限函数与和函数的分析性质；13.幂级数的收敛半径、收敛区间，函数展为幂级数；14.将函数展为傅里叶级数；15.平面点集的有关概念，多元函数极限与连续性概念，二重极限与累次极限的关系16.偏导数、全微分的概念及它们之间的关系，多元函数的极值；17.隐函数微分法和多元函数的条件极值；18.含参量反常积分的一致收敛性判别，含参量反常积分的性质；19.两类曲线积分的概念与计算；20.二重积分的概念、性质，格林公式及应用，曲线积分与路线无关的几个重要条件，二重积分和三重积分计算；21.第一型第二型曲面积分定义、计算，高斯公式及应用；22.常微分方程的基本概念，常微分方程的初等解法.2．课程难点：各章的难点依次为：1.确界的定义及应用；2.数列极限的“ε—N”定义及柯西准则；3.函数极限的“ε—δ”定义与“ε—X”定义，柯西准则和海涅定理的运用；4.一致连续性的概念；5.求复合函数导数；6.构造辅助函数，利用微分中值定理解决问，函数的凸性；7.实数完备性基本定理的证明和应用；8.积分计算技巧；9.函数可积性条件的讨论；10.定积分的几何应用和物理应用；11.反常积分敛散性判别；12.一般级数敛散性的判别法；13.一致收敛概念、判别及应用；14.幂级数收敛区间端点处敛散性判别；15.傅里叶级数收敛性的判别和收敛定理的证明；16.平面点集的概念，二重极限与累次极限的关系；17.全微分、偏导数之间的关系，高阶复合函数的偏导数；18.隐函数定理；19.含参量广义积分的一致收敛性判别与性质；20.两类曲线积分的关系；21.重积分的变换，化重积分为累次积分；22.两类曲面积分的关系，高斯公式、斯托克斯公式及应用.二.课程教学内容与学时课堂教学1．实数集与函数1.1掌握实数的基本性质，熟练运用绝对值的有关性质和常用的不等式；1.2理解邻域、确界概念，掌握确界原理；1.3理解函数、复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法，掌握初等函数的性质和图象；1.4理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性.2．数列极限2.1准确理解数列极限的-N定义，会用定义证明极限；2.2理解并能证明收敛数列的性质；掌握求数列极限的常用方法；2.3理解数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念，理解数列收敛的条件，收敛性的判别法；掌握用单调有界原理证明数列收敛，理解用Cauchy准则判断数列的敛散性.3．函数极限3.1准确理解函数极限的-定义，会用定义证明极限；3.2掌握函数极限的基本性质和求极限的常用方法；3.3理解数列收敛的条件，掌握海涅定理和柯西准则的实质和证明思路，并用其判定函数极限的存在性；3.4掌握两个重要极限的结论、证明及应用；3.5理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限.4．函数的连续性4.1理解函数在一点连续的定义及等价叙述；理解在一点间断的概念；掌握函数连续性和连续函数的概念；4.2熟悉连续函数的有界性、保号性和运算性质并灵活应用；掌握闭区间连续函数的主要性质，理解其几何意义并应用；理解闭区间一致连续的概念；4.3依据初等函数的连续性求函数极限.5．导数和微分5.1理解函数在一点导数存在的定义及物理、几何意义，计算函数的导数；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；熟练导数的物理、几何应用；5.2熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，计算反函数的导数；5.3熟练应用含参变量的求导法则进行导数运算；5.4了解高阶导数定义，理解和运用一阶微分的形式不变性，熟悉高阶导数的计算；5.5理解函数在一点的微分的定义、几何解释，求初等函数的微分；明确函数在一点可导与一点可微之间的一致性，并应用微分进行近似计算.6．微分中值定理及其应用6.1掌握三个微分中值定理的内容、证明方法、应用，理解其分析意义与几何意义，了解三者之间的包含关系；6.2熟练掌握L’Hospital法则求某些不定式的极限；理解函数在一区间上单调以及严格单调的意义和条件；熟练掌握运用导数判断函数单调性与单调区间的方法；能利用函数的单调性证明某些不等式；6.3理解Taylor定理，掌握Taylor公式，熟记一些常用初等函数的Taylor展开公式；熟悉两种不同余项的Taylor公式及其之间的差异及应用；6.4了解函数极值的概念，取得极值必要条件及充分条件；掌握求函数极值的一般方法和步骤；灵活运用第一、第二充分条件判定函数的极值与最值；6.5理解函数凸性、曲线的拐点的概念，掌握讨论函数的凹凸性的方法，能应用函数的凸性证明某些有关的命题；6.6利用函数的单调性、极值、凹凸性、拐点等性质大致描绘函数图象.7．实数的完备性7.1掌握实数六个基本定理，理解其意义和重要性；了解定理间的等价性；7.2应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题；7.3了解上极限、下极限的概念以及与极限的关系.8．不定积分8.1理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式；8.2熟练地应用换元积分公式和分部积分公式；8.3掌握化有理函数为分项分式的方法；求四种有理最简真分式的不定积分，学会求某些有理函数的不定积分的技巧；求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法.9．定积分9.1理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；9.2理解微积分基本定理的意义，熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分9.3理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，证明可积性问题；9.4理解并熟练地应用定积分的性质；9.5掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.10．定积分的应用10.1理解微元法的思想，将实际问题化成定积分；计算平面区域的面积；10.2应用本章给出的公式，用截面面积计算体积；10.3计算平面曲线的弧长；10.4计算旋转曲面的面积；10.5计算变力作功等物理问题.11．常微分方程解法简介了解常微分方程与解的概念，熟练掌握方程类型的判别，熟练掌握五种基本初等积分法——变量分离方程解法，常数变易法，全微分方程解法，参数法，降阶法，二阶线性常系数微分方程解法.12．多元函数的极限与连续12.1理解平面点集的有关概念，掌握R2上的完备性定理，理解多元函数的概念；12.2掌握二元函数极限的定义，深刻理解累次极限与重极限的关系；12.3理解二元函数连续性的概念，掌握闭区域上连续函数的性质.13．多元函数微分学13.1理解二元函数可微和偏导数的定义，深刻理解可微与偏导数存在的关系，可微性条件、几何意义；13.2熟练复合函数的求导法则，理解多元函数一阶微分形式不变性；13.3理解掌握三元函数的方向导数与梯度的概念和计算；13.4理解并掌握二元函数微分中值定理和Taylor公式，解决多元函数极值问题.14．隐函数定理及其应用14.1了解隐函数存在性条件，掌握隐函数定理，熟练隐函数求导；14.2了解隐函数组、反函数组的概念，理解隐函数组、反函数组定理的内容14.3熟悉隐函数组定理的几何应用；14.4掌握求条件极值的拉格朗日乘数法.15．曲线积分15.1理解第一型曲线积分的定义，熟悉第一型曲线积分的计算；15.2理解第二型曲线积分的定义，熟悉第二型曲线积分的计算；16．重积分16.1理解二重积分的定义及存在性，熟悉二重积分的性质；16.2掌握直角坐标系下二重积分的计算16.3掌握格林公式计算曲线积分，理解曲线积分与路线的无关性；16.4熟悉二重积分的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分；16.5理解三重积分的概念，掌握三重积分的计算16.6熟练重积分在几何与力学方面的应用.17．曲面积分17.1理解第一型曲面积分的概念，熟练第一型曲面积分的计算；17.2理解第二型曲面积分的概念，熟练第二型曲面积分的计算；17.3利用高斯公式和斯托克斯公式求曲面积分.17.4场论初步18．反常积分18.1理解反常积分的概念，反常积分的含义与性质；18.2理解反常积分敛散性的含义，掌握反常积分敛散性的判别方法；18.3掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别方法.19．数项级数19.1理解级数与数列的关系，级数敛散性的概念；掌握级数收敛的Cauchy准则，收敛级数的性质；19.2掌握正项级数收敛的各种判别原则和方法；19.3掌握交错级数收敛性判别法，了解级数的绝对收敛的概念和性质；掌握一般项级数收敛的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法.20．函数列与函数项级数20.1理解函数列收敛和一致收敛的定义、几何意义，函数列或函数项级数与极限函数的关系；掌握判别一致收敛的Cauchy准则、M–判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法；20.2掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质.21．幂级数21.1理解幂级数的收敛半径、收敛域的概念，并会计算收敛半径，分析收敛域；掌握幂级数的一致收敛性判别方法和幂级数的性质；21.2理解函数和Taylor展式间的关系，掌握函数的幂级数展开.22．傅里叶级数22.1了解三角级数的有关概念，掌握三角函数系的特性；理解2为周期的函数的Fourier级数的定义、收敛定理；22.2理解奇、偶函数的Fourier级数，掌握将一个函数展开成Fourier级数；22.3掌握Fourier级数收敛性定理证明.23．含参量积分23.1理解含参量积分的概念，掌握含参量积分的连续性、可微性与可积性定理及应用；23.2理解含参量反常积分的概念，一致收敛的定义，掌握一致收敛的判别方法，含参量反常积分的性质；23.3了解函数和函数的性质及二者关系.一、 教材与参考书教材1.华东师范大学数学系编，《数学分析》（上、下），高等教育出版社，2010年，第四版.参考书1.斐礼文编，《数学分析中的典型问题与方法》，高等教育出版社，2008年，第二版.2.林源渠，方企勤编，《数学分析解题指南》，北京大学出版社，2003年，第一版.3．吴良森毛羽辉韩士安吴畏编，《数学分析学习指导》高等教育出版社，2004年第一版.4.谢惠民，恽自求编，《数学分析习题课讲义》，高等教育出版社，2003年，第一版.5.B.A.卓里奇，《数学分析（第四版）》，高等教育出版社，2006年.6.盖尔鲍姆，奥姆斯特德，《分析中的反例》，上海科学技术出版社，1980年.