八年级下册人教版数学精选大数据易错题集(附解析)

1二次根式的定义及性质一．选择题1.下列结论正确的是（）A.2764的立方根是34B.1125没有立方根C.有理数一定有立方根D.6(1)的立方根是12.下列各式计算正确的是（）A.30.01250.5B.3273644C.3313182D.3421255【解答】A、0.53=0.125，故选项错误；B、应取负号，故选项错误；C、∵112等于3338，∴3338的立方根等于112，故选项正确；D、应取正号，故选项错误．故选C3.下列说法中正确的有（）个．①负数没有平方根，但负数有立方根②49的平方根是232③827的立方根是23④8的立方根是2A．1B．2C．3D．44.下列各数中，立方根一定是负数的是（）A．aB．2aC．21aD．21a【解答】∵−a2−1≤-1，∴−a2−1的立方根一定是负数．故选C．5.下列结论正确的是（）A.64的立方根是4B.12是16的立方根C.立方根等于本身的数只有0和1D.332727二．填空题6.正数的立方根是__________数；负数的立方根是________数；0的立方根是_________．3一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．故：正，负，0．7.一般地，3________a．8.64的立方根是________；364的平方根是__________．30.064______；3216_______；33(2)_______；331(1)______5；38_______；38_____；33()_______a．9.2(1)的立方根是______________；一个数的立方根是110，则这个数是___________．的立方根是一个数立方根是，则这个数是故答案为：；10.平方根等于本身的数是________；立方根等于本身的数是_______．∵平方根等于它本身的数是0，立方根都等于它本身的数是0，1，-1．故填0；0，±1．411.若x的立方根是4，则x的平方根是___________．的立方根是的平方根是故应填：12.3311xx中的x的取值范围是_________，11xx中的x的取值范围是___________．13.27的立方根与81的平方根的和是_____________．∵-27的立方根是-3，√81的平方根是±3，所以它们的和为0或-6．故答案：0或-6．14.若330xy，则x与y的关系是_________．∵3x+3y=0，∴3x=−3y，∴x=-y，即x与y的关系是互为相反数．故答案为：互为相反数．15.如果344a，那么3(67)a的值是___________．则：答：值为.三．解答题16.出下列各式中的a：（1）若30.343a，则_______a；（2）若33213a，则_______a；5（3）若31250a，则_______a；（4）若3(1)8a，则_______a．17.已知519x的立方根是4，求27x的平方根．∵5x+19的立方根是4，∴5x+19=64，解得x=9则2x+7=2×9+7=25，∵25的平方根是±5故2x+7的平方根是±5．18.若321a和313b互为相反数，求ab的值．【解答】∵32a−1和31−3b互为相反数，∴2a-1=-(1-3b)，2a=3b，32a−1和31−3b互为相反∴ab=32，故答案为：32．19.已知a是5的整数部分，b是它的小数部分，求2ab的值．因为a是的整数部分,b是它的小数部分，所以：a=2,a+b=所以：2a+b=。6二次根式的化简求值及混合运算一．选择题1.下列计算正确的有（）2(2)2，②22；③2(2)2④2(2)2．A、①②B、③④C、①③D、②④【解答】,正确；无意义，错误；，正确；无意义，错误；故答案为：.2.已知2(21)12aa，那么a的取值范围是（）．A、12aB、12aC、12aD、12a【解答】∵(2a−1)2=1−2a，∴2a-1≤0，解得a≤12．故选D．3.已知3233xxxx，则（）．A、0xB、3xC、3xD、30x【解答】∵x3+3x2=−xx+3≥0，∴x≤0，x+3≥0，∴-3≤x≤0，故选D．74.若5220xy，则xy的值是（）A、7B、5C、3D、7【解答】由题意得，x-5=0，y+2=0，解得x=5，y=-2，所以，x-y=5-(-2)=5+2=7．故选D．5.11xxxx成立的条件是（）A、1x且0xB、0x且1xC、01xD、01x根据二次根有意义的条件：被开方数要大于等于0，分母不为0，从而选出答案B．解：根据题意，得，解得0＜x≤1.6.若5a，17b，则0.85的值用a，b可以表示为（）A、10abB、10ba8C、10abD、ba7.下列计算正确的是（）A、2()ababB、ababC、22ababD、1aaa【解答】A、a与b不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误；B、a与b不是同类二次根式，不能合并，所以B选项错误；C、a2+b2是最简二次根式，不能化简，所以C选项错误；D、1a•1b=1a•b=1ab，所以D选项正确．故选D．8.ab与ba的关系是（）．A、互为倒数B、互为相反数C、相等D、乘积是有理式解:与互为相反数故选:二．填空题99.定义运算“@”的运算法则为@4xyxy，则(2@6)@6___________．【解答】故填10.已知x，y为实数，且满足1(1)10xyy，那么20112011xy__________．11.已知114xxy，则yx的平方根为__________．12.当0x时，化简21xx__________．10原式故答案为.三．解答题13.已知12m，12n，求代数式223mnmn的值．∵m=1+2，n=1−2，∴m2+n2−3mn=(m−n)2−mn=(1+2−1+2)2−(1+2)(1−2)=8−(1−2)=3．13.14.已知a，b为有理数，m，n分别表示57的整数部分和小数部分，且21amnbn，求2ab的值．【解答】因为2<7<3，所以2<5−7<3，故m=2，n=5−7−2=3−7．把m=2，n=3−7代入amn+bn2=1得，2(3−7)a+(3−7)2b=1化简得(6a+16b)−7(2a+6b)=1，等式两边相对照，因为结果不含7，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=-0.5．所以2a+b=3-0.5=2.5．故答案为：2.5．14.1115.已知数a，b，c在数轴上的位置如图所示：化简22()aaccbb的结果是：______________________．cab0【解答】由图可知，a＜0，c＜0，b＞0，且|c|＜|b|，所以，a+c＜0，c-b＜0，a2−|a+c|+(c−b)2−|−b|，=-a+a+c+b-c-b，=0．16.已知ABC△的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足22690abb．试求c的值．17.先观察规律：12121，13232，12323，…然后求值．（1）1722________；（2）11110________；（3）11nn________．12【解答】(1)原式=(22−7)(22+7)(22−7)=22−7；故答案为：22−7；(2)原式=11−10(11+10)(11−10)=11−10；故答案为：11−10；(3)原式=n+1−n(n+1+n)(n+1−n)=n+1−n．故答案为：n+1−n．18.已知32x，32y，求（1）22xxyy；（2）33xyxy的值．【解答】解:,(1)原式===12-3=9(2)原式===12-2=1019.化简：（1）423；（2）322．1320.计算：20102011(12)(12)．(1)(2).故答案为:,.14勾股定理一．选择题1.已知直角三角形的周长为26，斜边为2，则该三角形的面积是（）．A、14B、34C、12D、12.如图，ABC△中，90C°，30A°，AB的中垂线交AC于D，交AB于E，则AC与CD的关系是（）．阿ACBDEA、2ACDCB、3ACDCC、32ACDCD、无法判定连接BD．∵DE垂直平分AB，∴AD=DB．∴∠DBA=∠A=30°．∴∠CBD=30°，BD=2DC．∴AD=2DC，AC=3DC．故选B3.已知三角形的三边长为n，1n，m（其中221mn），则此三角形（）．A、一定是等边三角形B、一定是等腰三角形C、一定是直角三角形D、形状无法确定【解答】∵m2+n2=n2+2n+1=(n+1)2，∴三角形是直角三角形，且(n+1)为斜边．故选C．154.若一直角三角形两边长为4和5，则第三边长为（）A、3B、41C、41和3D、不确定【解答】当5是直角边时，则第三边=42+52=41；当5是斜边时，则第三边=52−42=3．综上所述，第三边的长是41或3．故选C．5.已知三角形的三边长为n，1n，m（其中221mn），则此三角形（）．A、一定是等边三角形B、一定是等腰三角形C、一定是直角三角形D、形状无法确定C二．填空题6.在ABC△中，若90AB°，5AC，3BC，则_____AB，AB边上的高_____CE．【解答】如图所示：，在Rt△ABC中，AB=BC2+AC2=34；∵12BC×AC=12AB×CE，∴CE=153434．故答案为：34、153434．7.在ABC△中，若20ABAC，24BC，则BC边上的高_____AD，AC边上的高_____BE．16【解答】∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD=12．在Rt△ABD中，AD=AB2−BD2=202−122=16．∵线段BE是AC边上的高，∴S△ABC=12BC•AD=12AC•BE，∴BE=BC•ADAC=24×1620=19.2．故答案是：16；19.2．8.在ABC△中，若ACBC，90ACB°，10AB，则_____AC，AB边上的高_____CD．【解答】∵在△ABC中，若AC=BC，∠ACB=90°，AB=10，∴AC2+BC2=AB2，即2AC2=100，∴AC=52．∵CD是AB边上的高线，∴S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，∴CD=AC•BCAB=5010=5．故答案是：52；5．9.在ABC△中，若ABBCCAa，则ABC△的面积为_____．【解答】17∵在△ABC中，若∠ACB=120°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=30°．又∵CD⊥AB，∴AC=2CD=6(30°角所对的直角边是斜边的一半)，AD=BD．在Rt△ACD中，AD=AC2−CD2=62−32=33．则AB=2AD=63．∵S△ABC=12AB•CD=12BC•AE，∴AE=63×36=33．故答案分别是：6；63；33．10.在ABC△中，若120ACB°，ACBC，AB边上的高3CD，则_____AC，_____AB，BC边上的高_____AE．【解答】∵在△ABC中，若∠ACB=120°，AC=BC，∴∠CAB=∠CBA=30°．又∵CD⊥AB，∴AC=2CD=6(30°角所对的直角边是斜边的一半)，AD=BD．在Rt△ACD中，AD=AC2−CD2=62−32=33．则AB=2AD=63．∵S△ABC=12AB•CD=12BC•AE，∴AE=63×36=33．故答案分别是：6；63；33．三．解答题11.如图，ABC△中，90A°，20AC，10AB，延长AB到D，使ACBCDBD，求BD的长．18ABDC【解答】设DB=x,则CD=由于CD+DB=AC+AB所以解得x=5所以BD=512.如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知3AB，9AD，求BE的长．ABCDFEG【解答】设BE=x，则DE=BE=x，AE=AD-DE=9-x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，则32+(9−x)2=x2，解得：x=5．∴BE=5．故答案为：5．1913.如图，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知8cmAB，10cmBC，求EC的长．ABFCED【解答】设EC的长为xcm，∴DE=(8-x)cm．∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102∴BF=6cm．∴FC=BC-BF=10-6=4cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2∴42+x2=(8−x)2(8分)即16+x2=64−16x+x2，化简，得16x=48．∴x=3．故EC的长为3cm．14.如图，已知ABC△中，90ABC°，ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l，2l，3l上，且1l，2l之间的距离为2，2l，3l之间的距离为3，求AC的长是多少？20ACB1l2l3l【解答】作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBE=90°，又∵∠DAB+∠ABD=90°，∴∠BAD=∠CBE，又∵AB=BC，∠ADB=∠BEC，在△ABD与△BCE中，∠BAD=∠CBE∠ADB=∠BECAB=BC，∴△ABD≌△BCE(AAS)，∴BE=AD=3，CE=2+3=5，在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=32+52=34，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=34+34=68，故答案为：6815.已知：如图，ABC△中，90C°，D为AB的中点，E，F分别在AC，BC上，且DEDF．求21证：222AEBFEF．ABCFDE【解答】证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM．∵AM∥BC，∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，∴△ADM≌△BDF．∴AM=BF，MD=DF．又∵DE⊥DF，∴EF=EM．∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．22勾股定理的应用一．选择题1.如图，RtABC△中，90C°，若15cmAB，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（）．A．2150cmB．2200cmC2225cmD．无法计算【解答】正方形ADEC的面积为：AC2，正方形BCFG的面积为：BC2；在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2，AB=15，则AC2+BC2=225cm2．故选C．2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【解答】设直角三角形的直角边为a、b，斜边为c，直角边扩大2倍后为2a，2b，那么据勾股定理得原来c2=a2+b2，现在的斜边(2a)2+(2b)2=2a2+b2=2c．即斜边扩大到原来的2倍，故选B．3.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定∵OA=40×20=800(m)，OB=40×15=600(m)，在直角△OAB中，∴AB=8002+6002=1000(m)．ABGFCED23ABCDl12故选C．4.已知ABC的三边为a、b、c，且4ab，1ab，14c，则ABC是（）．A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【解答】又是直角三角形故选5.下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③22222mnmnmn，，（mn，均为正整数,mn）；④2a,21a,22a．其中能组成直角三角形的三边长的是()A．①②B．②③C．①③D．③④【解答】①不能，∵72+82=113≠92=81，∴不能构成直角三角形；②能，∵122+92=152=225，∴能构成直角三角形；③能，∵(m2−n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2=m4+n4+2n2m2，∴能构成直角三角形；④不能，∵(a2)2+(a2+1)2=2a4+2a2+1≠(a2+2)2，∴不能构成直角三角形；故选C．二、填空题6.如图，直线l经过正方形的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，2，则正方形的边长是_____．24【解答】∵ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，AB=BC，∴∠ABE+∠CBF=90°，∵AE⊥l，CF⊥l，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△CBF中，∠AEB=∠BFC∠BAE=∠CBFAB=CB，∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴AE=BF=1，EB=CF=2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得：AB=AE2+EB2=5，则正方形的边长为5．故答案为：5．7.如图，有一个圆柱体，它的高为20，底面半径为5，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的点A，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面点B，则蚂蚁爬的最短路线长约为_____（取3）．AB【解答】把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A，B的最短距离为线段AB的长，BC=20，AC为底面半圆弧长，AC=5π≈15，所以AB=202+152=25．则蚂蚁爬的最短路线长约为25．258.在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积分别是1S，2S，3S，4S，则1234_____SSSS．1231S2S3S4S【解答】如图，∵图中的四边形为正方形，∴∠ABD=90°，AB=DB，∴∠ABC+∠DBE=90°，∵∠ABC+∠CAB=90°，∴∠CAB=∠DBE，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∠BED∠CAB=∠EBDAB=BD，∴△ABC≌△BDE(AAS)，∴AC=BE，∵DE2+BE2=BD2，∴ED2+AC2=BD2，∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，∴S1+S2=1，同理可得S3+S4=3，∴S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为4．9.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米．如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动_____________．【解答】墙高为：252−72=24分米当梯子的顶端沿墙下滑4分米时：则梯子的顶部距离墙底端：24-4=20分米26梯子的底部距离墙底端：252−202=15分米，则梯的底部将平滑：15-7=8分米．故梯的底部将平滑8分米．三、解答题10.如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和103cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？11.已知a，b，c是ABC△的三边，且222102426338abcabc，试判断ABC△的形状，并说明理由．【解答】△ABC是直角三角形．理由是：∵a2+b2+c2=10a+24b+26c−338，∴a2−10a+25+b2−24b+144+c2−26c+169=0，∴(a−5)2+(b−12)2+(c−13)2=0，∴a-5=0，b-12=0，c-13=0，即a=5，b=12，c=13．∵52+122=132，∴△ABC是直角三角形．2712.已知a，b，c是ABC△的三边，且222244acbcab，试判断三角形的形状，并说明理由．【解答】由题意可知：是等腰三角形或是直角三角形由得或由得是等腰三角形若则是直角三角形综上可得是等腰三角形或是直角三角形。2813.在ABC中，90,,AABACD为斜边上任一点，求证：2222BDCDAD．【解答】证明：如图，过点作于点,,由勾股定理可得又，�D�C�B�A29，即：．14.如图，两个村庄A，B在河CD的同侧，A，B两村到河的距离分别为1AC千米，3BD千米，3CD千米．现要在河边CD上建造一水厂，向A，B两村送自来水（要求水由河直接输送到村中）．铺设水管的工程费用为每千米20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W．解答】延长AC到点M，使CM=AC；连接BM交CD于点P，点P就是所选择的位置；在Rt△BMN中，BN=3+1=4，MN=3，∴MB=MN2+BN2=5(千米)，∴最短路线AP+BP=MB=5千米，最省的铺设管道的费用为W=5×20000=100000(元)答：最省的铺设管道的费用是100000元．ABCD3015.如图，RtABC中，90CAB，ABAC，E、F为BC上的点，且45EAF，求证：222EFBEFC．�F�E�C�B�A已知如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2．【解答】证明：把△ACF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG．连接EG．则△ACF≌△ABG．∴AG=AF，BG=CF，∠ABG=∠ACF=45°．∵∠BAC=90°，∠GAF=90°．∴∠GAE=∠EAF=45°，31在△AEG和△AFE中AG＝AF∠GAE＝∠FAEAE＝AE，∴△AEG≌△AFE(SAS)．∴EF=EG，又∠GBE=90°，∴BE2+BG2=EG2，即BE2+CF2=EF2．32平行四边形的性质和判定一．选择题1.下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质；②平行四边形是中心对称图形；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是()．A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④【解答】①平行四边形具有四边形的所有性质；正确；②平行四边形是中心对称图形；正确；③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；正确；④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形；正确．故选D．2.下列命题中，正确的是()．A．两组角相等的四边形是平行四边形B．一组对边相等，两条对角线相等的四边形是平行四边形C．一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形平行四边形的判定：(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。故答案为D3.如图，已知□ABCD的对角线AC上有两点E、G，且,21GCFGAF则四边形BGDE的面积是33□ABCD面积的()．A．31BB．21C．32D．43【解答】设△BAC中BC边上的高为h∴S△ABE=12AE•hS△BEF=12EF•hS△BFC=12FC•h∵AE=EF=FC∴S△BAE=S△BEF=S△BCF同理可证：S△DAE=S△DEF=S△DFC∵▱ABCD∴S△ABC=S△ADC∴四边形BFDE的面积=26S▱ABCD=13S▱ABCD故选A．4.□ABCD的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若A点坐标为(－1，2)，则C点的坐标为()．A．(1，－2)B．(2，－1)C．(1，－3)D．(2，－3)A二、填空题5.在□ABCD中CA⊥AB，120BAD＝，若10BC＝cm，则AC＝__________，AB＝__________．【解答】34∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠B+∠BAD=180°，又∵∠BAD=120°，∴∠B=60°．又CA⊥AB，∴∠BAC=90°，∴AC=BC•sin60°=12BC=5cm，AB=BC•cos60°=53cm．故答案是：5cm；53cm．6.在□ABCD中，AE⊥BC于E，若10AB＝cm，15BC＝cm，6BE＝cm，则□ABCD的面积为__________．【解答】作AE⊥BC于E，在RT△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=10，BE=6，∴AE=AB2−BE2=102−62=8，∴平行四边形ABCD面积=BC×AE=15×8=120cm2，故答案为120cm27.如图，在□ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A正好落在CD上的点F处，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为___________．【解答】由折叠的性质可得EF=AE、BF=AB，∴▱ABCD的周长=DF+FC+CB+BA+AE+DE=△FDE的周长+△FCB的周长=8+22=30，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB+BC=15，35∵△FCB的周长=CF+BC+BF=CF+BC+AB=22，即FC+15=22，∴FC=7，故答案为7．8.如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，则S△DMC___________S△BNC．(填“＜”、“＝”或“＞”)=9.△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若4DE＝，3AD＝，2AE＝，则△ABC的周长为_________．【解答】∵D、E分别为AB、AC的中点，若DE=4，AD=3，AE=2，∴AB=2AD=6，BC=2DE=8，AC=2AE=4，∴△ABC的周长=AB+AC+BC=18，故答案为：18．三、解答题10.已知：如图，E、F分别为□ABCD的对边AB、CD的中点．(1)求证：DEFB＝；(2)若DE、CB的延长线交于G点，求证：CBBG＝．36【解答】证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴DF=DC，BE=AB，∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE=BF；(2)∵四边形BEDF是平行四边形，∴BF∥DG，∵F是DC的中点，∴B是CG的中点，∴CB=BG.11.已知：如图，在□ABCD中，从顶点D向AB作垂线，垂足为E，且E是AB的中点，已知□ABCD的周长为8．6cm，△ABD的周长为6cm，求AB、BC的长．【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵▱ABCD的周长为8.6cm，△ABD的周长为6cm，∴AB+AD=12×8.6=4.3(cm)，AB+AD+BD=6cm，∴BD=1.7cm，∵DE⊥AB，且E是AB的中点，∴AD=BD=1.7cm，∴BC=AD=1.7cm，AB=2.6cm．3712.已知：如图，DB∥AC，且,21ACDBE是AC的中点，求证：BCDE＝．【解答】证明：∵E是AC的中点，∴EC=12AC，又∵DB=12AC，∴DB=EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．3813.已知：如图，△ABC中，D是AB的中点，E是AC上一点，EF∥AB，DF∥BE(1)猜想DF与AE的关系；(2)证明你的猜想．【解答】(1)DF与AE互相平分；∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵EF∥AB，DF∥BE，∴四边形BEFD是平行四边形，∴EF=BD=AD，∵EF∥AB，∴EF∥AD，∵EF∥AD，EF=AD，∴四边形AFED是平行四边形，∴DF、AE是平行四边形AFED的对角线，∴DF、AE互相平分；(2)∵EF∥AB，DF∥BE，∴四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF，∵D是AB的中点，∴AD=BD，∴EF=AD，∵EF∥AB，∴∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO，在△ADO和△EFO中，39∵∠ADO=∠EFOEF=AD∠DAO=∠FEO，∴△ADO≌△EFO，∴OD=OF，OA=OE，即AE与DF互相平分；或连接AF、DE．14.已知：如图，DE是△ABC的中位线，求证：△ABE的面积等于△ACD的面积．【解答】证明:∵DE是△ABC的中位线∴DE∥BC∴△CDE和△BED在平行线间的高相等，且底边相等∴S△CDE=S△BED∴S△CDE+S△ADE=S△BED+S△ADE∴S△ABE=S△ACD4015.已知：如图，△ABC中，D是BC边的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于E点，若5AB＝，7AC＝，求ED．【解答】延长BE交AC于F，∵AE平分∠BAC，BE⊥AE，∴△BAF是等腰三角形，∴BE=EF，AB=AF，∵AB=5，∴AF=5，∵AC=7，∴CF=AC-AF=7-5=2，∵D为BC中点∴BD=CD，∴DE是△BCF的中位线，∴DE=12CF=1．41矩形、菱形、正方形的性质和判定一．选择题1.顺次连结矩形各边的中点，所成的四边形一定是()．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形连接AC、BD，在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=12BD，同理FG=12BD，HG=12AC，EF=12AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．故选：C．2.矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为()．A．14cmB．28cmC．20cmD．22cm3.菱形ABCD中，:1:5AB∠∠，若周长为8，则此菱形的高等于()．42A．21B．4C．1D．2【解答】∵菱形ABCD的周长为8，∴AD=AB=2，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A：∠B=1：5，∴∠A=30°．过点D作DE⊥AB于点E，∴DE=12AD=1，∴此菱形的高等于1．故选C．4.如图，将一矩形纸片按如右图方式折叠，BC、BD为折痕，若折叠后A′B与E′B在同一条直线上，则∠CBD的度数()．A．大于90°B．等于90°C．小于90°D．不能确定【解答】依题意，得∠ABC=∠A′BC，∠DBE=∠DBE′，且∠ABC+∠A′BC+∠DBE+∠DBE′=180°，∴2(∠A′BC+∠DBE′)=180°，即∠A′BC+∠DBE′=90°，∠CBD=90°．故选B．二、填空题5.如图，E为矩形纸片ABCD的BC边上一点，将纸片沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F点处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________．43【解答】由折叠的性质知，AF=AB，EF=BE．所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和为9+3=12．故矩形ABCD的周长为12．故答案为：12．6.延长正方形ABCD的BC边至点E，使CEAC＝，连结AE，交CD于F，那么∠AFC的度数为____________，若4BC＝cm，则△ACE面积＝____________．【解答】因为∠E=CAE外角∠ACB=∠E+CAE=45°所以2∠E=45°∠E=22.5°∠AFC=∠FCE+∠E=90°+22.5°=112.5°CE=AC=S△ACE==(cm²)7.矩形的两条对角线相交成的钝角为120°，若短边长6cm，则矩形的面积为_______．【解答】因为∠E=CAE外角∠ACB=∠E+CAE=45°所以2∠E=45°∠E=22.5°∠AFC=∠FCE+∠E=90°+22.5°=112.5°CE=AC=S△ACE==(cm²)448.如图，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点(点P不与点A、C重合)，且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是__________．【解答】设AP与EF相交于O点．∵四边形ABCD为菱形，∴BC∥AD，AB∥CD．∵PE∥BC，PF∥CD，∴PE∥AF，PF∥AE．∴四边形AEFP是平行四边形．∴S△POF=S△AOE．即阴影部分的面积等于△ABC的面积．∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，菱形ABCD的面积=12AC•BD=5，∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．故答案为：2.5．9.如图，矩形ABCD中，DF平分∠ADC交AC于E，交BC于F，若15BDF＝，则DOC＝_______，DFB＝_______．三、解答题10.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，60ABC＝，点A的坐标为(0，3)，求点B、C、D的坐标．45【解答】∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD，且AO＝OC，BO＝OD，在Rt△AOB中，∵点A的坐标是(0，3)∠ABO＝30°∴AO＝3，AB＝2AO＝6，由勾股定理，得BO²＝AB²-AO²＝6²-3²＝27∴则点B的坐标是由对称性，可得点C的坐标是(0，-3)，点D的坐标是.∵AO＝3，∴AC＝6，∴菱形ABCD的面积是11.已知：如图，在□ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN相交于P，CN与DQ相交于M，试说明四边形MNPQ是矩形．四边形MNPQ是矩形，理由：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°．∵AP，BP分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠PAB+∠PBA=12(∠DAB+∠ABC)=12×180°=90°．46∴∠P=90°，同理：∠M=90°，∠PQM=90°，∴∠PNM=90°，∴四边形MNPQ是矩形．12.已知：如图，DE是□ABCD中∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于F．(1)求证：四边形AEFD是菱形；(2)如果60A＝，5AD＝，求菱形AEFD的面积．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DF∥AE，∵EF∥AD，∴四边形DAEF是平行四边形，∵∠2=∠AED，∵DE是▱ABCD的∠ADC的平分线∴∠1=∠2，∴∠AED=∠1．∴AD=AE．∴四边形AEFD是菱形．(2)∵∠A=60°，∴△AED为等边三角形．∴DE=5，连接AF与DE相交于O，则EO=52．∴OA=AE2−EO2=523．47∴AF=53．∴S菱形AEFD=12AF•DE=2523．13.已知：如图，E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AEAB＝，EF⊥AC，交BC于F．求证：BFEC＝．【解答】如图连接AF．∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°，∵FE⊥AC，∴∠AEF=∠CEF=∠B=90°，∴∠ECF=∠EFC=45°，∴EF=CE，在Rt△AFE和Rt△AFB中，AF=AFAE=AB，∴Rt△AFE≌Rt△AFB，∴BF=EF=CE，48∴BF=EC．14.如图，菱形ABCD中，4AB＝，E为BC的中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G．(1)求菱形ABCD的面积；(2)求∠CHA的度数．【解答】解:(1)如图，连接,为的中点，,.又菱形的边,是等边三角49形..菱形的面积为;(2)在等边三角形中，.同理..,,,..15.已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．50【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12AB，CF=12CD．∴AE=CF．在△AED和△CBF中，AD=CB∠DAE=∠CAE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°．∴▱四边形AGBD是矩形．51正方形弦图及图形拼接一．选择题1.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了��A．1次B．2次C．3次D．4次【解答】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了2次；理由如下：小红把原丝巾对折1次(共2层)，2组邻角相等，且一组对边相等；将丝巾展开后沿对角线对折，则对角相等，两组邻边长度相等，所以4个角相等，且4条边相等．则这个四边形是正方形．故选：B．2.如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为�1，�2，则�1+�2的值为()．A．16B．17C．18D．19【解答】如图，设正方形S1的边长为x，∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，∴sin∠CAB=sin45°=BCAC=22，即AC=2BC，同理可得：BC=CE=2CD，∴AC=2BC=2CD，又∵AD=AC+CD=6，∴CD=63=2，∴EC2=22+22，即EC=22；52∴S1的面积为EC2=22×22=8；∵∠MAO=∠MOA=45°，∴AM=MO，∵MO=MN，∴AM=MN，∴M为AN的中点，∴S2的边长为3，∴S2的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．3.如图，将正方形�th�放在平面直角坐标系��h中，�是原点，若点t的坐标为1t3，则点�的坐标为()A．3t1B．−1t3C．−3t1D．−3t−1【解答】作AD⊥轴于D，作CE⊥x轴于E，如图所示：则∠ADO=∠OEC=90°，∴∠1+∠2=90°，∵点A的坐标为(1，3)，∴OD=1，AD=3，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC=90°，OC=AO，∴∠1+∠3=90°，∴∠3=∠2，在△OCE和△AOD中，∠OEC=∠ADO</td><tdstyle="padding−left:6px">∠3=∠2</td><tdstyle="padding−top:6px;padding−left:6px">OC=AO</td><tdstyle="padding−top:6px;padding−left:6px">，∴△OCE≌△AOD(AAS)，∴OE=AD=3，CE=OD=1，∴点C的坐标为(−3，1)；53故选：C．二、填空题4.若正方形ABCD的边长为4，E为BC边上一点，3BE，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BFAE，则BM的长为．【解答】分两种情况讨论：①BM交AD于F，∵∠ABE=∠BAF=90°，AB=BA，AE=BF，∴△ABE≌△BAF(HL)∴AF=BE，∵BE=3，∴AF=3，∴FD=EC，连接FE，则四边形ABEF为矩形，∴BM=12AE，∵AB=4，BE=3，∴AE=5，∴BM=52；②BM交CD于F，∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠BAE+∠BEA=90°，∴∠BEM+∠EBM=90°，&th