2017～2018学年度广东省七校高三第一次联考理科数学word版含答案

2017～2018学年度广东省七校高三第一次联考理科数学（宝安中学潮阳一中桂城中学南海中学普宁二中中山一中仲元中学）本试卷共4页,23小,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必填写好答题卷上的有关项目.　　2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答案涂在答题卷的相应位置上.　　3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.参考：，其中表示球的半径第Ⅰ卷(选择题共60分)一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.，，则（　　）A.B.C.D.2．如果复数是纯虚数,那么实数等于（）A．B．C．或D．或3．设满足约束条件，则目标最大值是（）A．3；B．4；C．6；D.84．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（）（附：正态分布中，）A．B.C．D.5．下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．B．C．D．6．下列有关命题的说法正确的是()A.命题“若,则”的否命题为:“若,则”.B.“”是“”的必要不充分条件．C.命题“,使得”的否定是:“,均有”.D.命题“若,则”的逆否命题为真命题.7．已知函数在处取得最大值，则函数的图象（）A.关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称8．函数的导函数在区间上的图像大致是（）A.B.C.D.9．二项式展开式中,除常数项外,各项系数的和为（）A. B.C.D.10.某一简单几何体的三视图如图1所示,该几何体的外接球的表面积是（）A.B.C.D.11.已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（　　）A.B.C.D.12.已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A．B． C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22～23为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.设向量、满足:,,,则与的夹角是____.14.公元年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”,利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值,这就是著名的“徽率”.如图2是利用刘徽的“割圆术”思想的一个程序框图,则输出的值为____.(参考数据:,15.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,若,则______.16．在△中，点在边上，，，,，则的长为．三、解答题:本大题共7小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知是递增数列，其前项和为，，且，．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）是否存在，使得成立？若存在，写出一组符合条件的的值；若不存在，请说明理由；18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面是菱形，且．点是棱的中点，平面与棱交于点．(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19.(本小题满分12分)某中药种植基地有两处种植区的药材需在下周一、下周二两天内采摘完毕，基地员工一天可以完成一处种植区的采摘．由于下雨会影响药材品质，基地收益如下表所示：周一无雨无雨有雨有雨周二无雨有雨无雨有雨收益20万元15万元10万元万元若基地额外聘请工人，可在周一当天完成全部采摘任务．无雨时收益为20万元；有雨时，收益为10万元．额外聘请工人的成本为万元．已知下周一和下周二有雨的概率相同，两天是否下雨互不影响，基地收益为20万元的概率为．(Ⅰ)若不额外聘请工人，写出基地收益的分布列及基地的预期收益；(Ⅱ)该基地是否应该外聘工人，请说明理由．20.(本小题满分12分)已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和．设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求面积的最小值．21.(本小题满分12分)已知函数，.（Ⅰ）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由.（参考数据：，,,）.请考生在第22,23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.22.(本小题满分10分)选修:坐标系与参数方程选讲已知曲线C的参数方程为(为参数)，以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程；(Ⅱ)设，若l1、l2与曲线C相交于异于原点的两点A、B，求△AOB的面积.23.(本小题满分10分)选修:不等式选讲已知函数.(Ⅰ)当时，求的解集；(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围.2018届广东省七校第一次联考理科数学参考答案与评分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分题号123456789101112答案BDCBCDAABCCD12.【解析】D；画出图像，显然可以排除A、B选项.由题，，所以的方程为，因为也与函数的图象相切，令切点坐标为，所以的方程为，这样有，所以，,令，，又因为，所以在上单调增，又，，，从而，选D.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13.14.；15.；16.；16.【解析】；在△中，因为，设，则．在△中，因为，，，所以．在△中，因为，，，由余弦定理得．因为，所以，即．解得．所以的长为.三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】(Ⅰ)，得，解得，或．由于，所以．.…………1分因为，所以.故，.…………3分整理，得，即．.因为是递增数列，且，故，因此．…………5分则数列是以2为首项，为公差的等差数列.所以.……………………………6分（Ⅱ）满足条件的正整数不存在，证明如下：假设存在，使得，…………………8分则．…………………9分整理，得，①显然，左边为整数，所以①式不成立．故满足条件的正整数不存在．…………………12分18.【解析】(Ⅰ)∵底面是菱形，∴，又∵面，面，∴面，…………2分又∵，，，四点共面，且平面平面，∴；…………4分(Ⅱ)取中点，连接，，∵，∴，又∵平面平面，且平面平面，∴平面，∴，在菱形中，∵，，是中点，∴，…………………6分如图，建立空间直角坐标系，设，则，，，，，又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，∴，，,，……………8分设平面的法向量为，则有，∴，不妨令，则平面的一个法向量为，…………………10分∵平面，∴是平面的一个法向量，∵，∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．………………12分19.【解析】(Ⅰ)设下周一无雨的概率为，由题意，，…………2分基地收益的可能取值为，则，，，………………………………………4分201510∴基地收益的分布列为：，…………………………5分∴基地的预期收益为万元．……………………………………………6分(Ⅱ)设基地额外聘请工人时的收益为万元，则其预期收益（万元），…………………8分，…………………9分综上，当额外聘请工人的成本高于万元时，不外聘工人；成本低于万元时，外聘工人；成本恰为万元时，是否外聘工人均可以．……………………12分20.【解析】(Ⅰ)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线。……2分，抛物线方程为：……3分（Ⅱ）设两点坐标分别为，，则点的坐标为．由题意可设直线的方程为，由得..…………………5分因为直线与曲线于两点，所以，．所以点的坐标为.…………………6分由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.…………………7分当时，有，此时直线的斜率.……8分所以，直线的方程为，整理得.于是，直线恒过定点；当时，直线的方程为，也过点．综上所述，直线恒过定点．…………………10分（Ⅲ）可求的，所以面积.当且仅当时，“”成立，所以面积的最小值为．……………12分21.【解析】(Ⅰ)函数与无公共点，等价于方程在无解.…2分令，则令得＋0－增极大值减因为是唯一的极大值点，故………………4分故要使方程在无解，当且仅当故实数的取值范围为…………………6分（Ⅱ）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立.即对恒成立.…………………6分令，则，令，则，……………7分因为在上单调递增，，，且的图象在上连续，所以存在，使得，即，则………9分所以当时，单调递减；当时，单调递增，则取到最小值，所以，即在区间内单调递增.…………………11分，所以存在实数满足题意，且最大整数的值为.……………12分22.【解析】(Ⅰ)∵曲线的参数方程为(为参数)∴曲线的普通方程为…………2分将代入并化简得：即曲线的极坐标方程为.…………5分（Ⅱ）在极坐标系中，∴由得到…………7分同理.…………9分又∵∴.即的面积为.…………10分23.【解析】(Ⅰ)当时，由，可得，①或②或③…………………3分解①得；解②得；解③得.…………………4分综上所述，不等式的解集为.…………………5分（Ⅱ）若当时，成立，即.…………………6分故，即，…………………8分对时成立..…………………10分