中考数学专题复习：平移与旋转

中考数学专题复习第33讲┃考点聚焦考点1平移方向距离相等平行且相等相等全等 定义 在平面内，将一个图形沿某个________移动一定的________，这样的图形移动称为平移 图形平移有两个基本条件 (1)图形平移的方向就是这个图形上的某一点到平移后的图形对应点的方向；(2)图形平移的距离就是连接一对对应点的线段的长度 平移性质 (1)对应线段平行(或共线)且________，对应点所连的线段____________，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离(2)对应角分别________，且对应角的两边分别平行、方向一致(3)平移变换后的图形与原图形________第33讲┃考点聚焦考点2旋转旋转中心旋转角相等旋转角全等 定义 在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做________，转动的角叫做________ 图形的旋转有三个基本条件 (1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度 旋转的性质 (1)对应点到旋转中心的距离________(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于________(3)旋转前后的图形________例1如图1，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为(　　)A．6B．8C．10D．12第33讲┃归类示例►　类型之一　图形的平移命题角度：1.平移的概念；2.平移前后的两个图形的对应角、对应线段的关系．C图1第33讲┃归类示例[解析]将周长为8个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，∴AD＝1，BF＝BC＋CF＝BC＋1，DF＝AC.又∵AB＋BC＋AC＝8，∴四边形ABFD的周长＝AD＋AB＋BF＋DF＝1＋AB＋BC＋1＋AC＝10第33讲┃归类示例利用“平移前后的两个图形全等”，“平移前后对应线段平行且相等”是解决平移问题的基本方法．方法解析►　类型之二　　图形的旋转命题角度：1.旋转的概念；2.求旋转中心、旋转角；3.求旋转后图形的位置和点的坐标．第33讲┃归类示例例2在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B.(1)求证：MA＝MB；(2)连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值．若存在，求出最小值？若不存在，请说明理由．第33讲┃归类示例图33－2第33讲┃归类示例[解析](1)连接OM，证明△AMO≌△BMQ.(2)设OA＝x，利用勾股定理列式求出AB，再根据二次函数的最值问题求出周长最小时的x的值．第33讲┃归类示例解：(1)证明：连接OM.∵△PQO是等腰三角形且M是斜边PQ的中点，∴MO＝MQ，∠MOA＝∠MQB＝45°.∵∠AMO＋∠OMB＝90°，∠OMB＋∠BMQ＝90°，∴∠AMO＝∠BMQ.∴△AMO≌△BMQ.∴MA＝MB.(2)由(1)中△AMO≌△BMQ得AO＝BQ.设AO＝x，则OB＝4－x.在Rt△OAB中，AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(x2＋（4－x）2)＝eq\r(2（x－2）2＋8).∴当x＝2时，AB的最小值为2eq\r(2)，∴△AOB的周长的最小值为2eq\r(2)＋4.                          (1)求旋转角时，只要找到一对对应点和旋转中心的夹角即可；(2)旋转不改变图形的大小，旋转前后的两个图形全等．第33讲┃归类示例方法解析►类型之三平移、旋转的作图第33讲┃归类示例命题角度：1.平移作图；2.旋转作图；3.平移、旋转的综合作图．图33－3(0，0)90例3如图33－3，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，3))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－1))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，3))，已知△A1AC1是由△ABC旋转变换得到的．(1)请写出旋转中心的坐标是________，旋转角是________度；(2)以(1)中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；(3)设Rt△ABC两直角边BC＝a，AC＝b，斜边AB＝c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．第33讲┃归类示例　[解析](1)由图形可知，对应点的连线CC1、AA1的垂直平分线过点O，点O即为旋转中心，再根据网格结构，观察可得旋转角为90°；(2)利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连接即可；(3)利用面积，根据正方形CC1C2C3的面积等于正方形AA1A2B的面积加上△ABC的面积的4倍，列式计算即可得证．第33讲┃归类示例解：(1)(0，0)　90(2)画出图形如图所示．(3)由旋转的过程可知，四边形CC1C2C3和四边形AA1A2B是正方形．∵S正方形CC1C2C3＝S正方形AA1A2B＋4S△ABC,∴(a＋b)2＝c2＋4×0.5ab，a2＋2ab＋b2＝c2＋2ab，∴a2＋b2＝c2.求一个图形旋转后、平移后的图形的某点的坐标，一般应把握三点：一是根据图形平移、旋转的性质；二是利用图形的全等关系；三是点所在象限的符号．第33讲┃归类示例方法解析第33讲┃回归教材旋转解全等妙不可言教材母题　人教版九上P61习题T10如图33－4，△ABD，△AEC都是等边三角形．BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？图33－4第33讲┃回归教材解：∵△ABD是等边三角形，∴AB＝AD，∠BAD＝60°.同理AE＝AC，∠EAC＝60°.∴以点A为旋转中心将△ABE顺时针旋转60°就得到△ADC，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝DC.第33讲┃回归教材[点析]旋转前、后的图形全等，所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系，或通过旋转(割补)图形，把分散的已知量聚合起来，便于打通解题思路，疏通解题突破口．第33讲┃回归教材1．如图33－5所示，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE＝BD；②AG＝BF；③FG∥BE；④∠BOC＝∠EOC，其中正确结论的个数为(　　)A．1B．2C．3D．4图33－5D第33讲┃回归教材2．如图33－6，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE、AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．图33－6第33讲┃回归教材解：猜测AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝DC，CE＝CB.∴△ACE≌△DCB(SAS)．∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB.∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD.