导数综合讲义(含答案)

1导数综合讲义第1讲导数的计算与几何意义..........3第2讲函数图像..........4第3讲三次函数..........7第4讲导数与单调性..........8第5讲导数与极最值..........9第6讲导数与零点.........10第7讲导数中的恒成立与存在性问题.........11第8讲原函数导函数混合还原（构造函数解不等式）.........13第9讲导数中的距离问题.........17第10讲导数解答题.........1810.1导数基础练习题..........2110.2分离参数类..........2410.3构造新函数类..........2610.4导数中的函数不等式放缩..........2910.5导数中的卡根思想..........3010.6洛必达法则应用..........3210.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式..........3310.8极值点偏移问题..........3510.9多元变量消元思想..........3710.10导数解决含有lnx与xe的证明题（凹凸反转）...........3910.11导数解决含三角函数式的证明..........4010.12隐零点问题..........4210.13端点效应..........4410.14其它省市高考导数真题研究..........452导数【高考命题规律】2014年理科高考考查了导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用导数求函数的最值，文科考查了求曲线的切线方程，导数在研究函数性质中的运用；2015年文理试卷分别涉及到切线、零点、单调性、最值、不等式证明、恒成立问题；2016文科考查了导数的几何意义，理科涉及到不等式的证明，含参数的函数性质的研究，极值点偏移；2017年高考考查了导数判断函数的单调性，含参零点的分类讨论。近四年的高考基本形成了一个模式，第一问求解函数的解析式，以切线方程、极值点或者最值、单调区间等为背景得到方程从而确定解析式，或者给出解析式探索函数的最值、极值、单调区间等问题，较为简单；第二问均为不等式相联系，考查不等式恒成立、证明不等式等综合问题，难度较大。预测2018年高考导数大题以对数函数、指数函数、反比例函数以及一次函数、二次函数中的两个或三个为背景，组合成一个函数，考查利用导数研究函数的单调性与极值及切线，不等式结合考查恒成立问题，另外2016年全国卷1理考查了极值点偏移问题，这一变化趋势应引起考生注意。【基础知识整合】1、导数的定义：'0000()()()limxfxxfxfxx，'0()()()limxfxxfxfxx2、导数的几何意义：导数值'0()fx是曲线()yfx上点00(,())xfx处切线的斜率3、常见函数的导数：'0C；'1()nnxnx；'(sin)cosxx；'(cos)sinxx；'1(ln)xx；'1(log)lnaxxa；'()xxee；'()lnxxaaa4、导数的四则运算：'''()uvuv；；'''()uvuvvu；'''2()uuvvuvv5、复合函数的单调性：'''(())()()xfgxfugx6、导函数与单调性：求增区间，解'()0fx；求减区间，解'()0fx若函数在()fx在区间(,)ab上是增函数'()0fx在(,)ab上恒成立；若函数在()fx在区间(,)ab上是减函数'()0fx在(,)ab上恒成立；若函数在()fx在区间(,)ab上存在增区间'()0fx在(,)ab上恒成立；若函数在()fx在区间(,)ab上存在减区间'()0fx在(,)ab上恒成立；7、导函数与极值、最值：确定定义域，求导，解单调区间，列，下结论8、导数压轴题：强化变形技巧、巧妙构造函数、一定要多练记题型，总结方法3第1讲导数的计算与几何意义（2016全国卷1理16）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b__________1ln2（2015全国卷1理21（1））已知函数31()4fxxax，当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线34a（2015安徽卷理18（1））设*nN，nx是曲线221nyx在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标，求数列{}nx的通项公式.1nnxn（2015重庆卷理20（1））设函数23()()xaxaxfxaRe，若()fx在0x处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程0a，30xey1、函数2()cosfxx在点1(,)42处的切线方程为___1024xy_____2、过32()325fxxxx图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围是_3[0,)[,)24____3、若一直线与曲线lnyx和曲线2(0)xaya相切于同一点P，则a__2e___4、两曲线21yx和ln1yax存在公切线，则正实数a的取值范围是__(0,2)e__5、已知,ab为正实数，直线yxa与曲线ln()yxb相切，则22ab的取值范围是（C）（A）(0,)（B）(0,1)（C）1(0,)2（D）[1,)6、若曲线212yxe与曲线lnyax在它们的公共点(,)Pst处具有公切线，则实数a（C）（A）2（B）12（C）1（D）27、函数()fx是定义在(0,)的可导函数，当0x且1x时，'2()()01fxxfxx，若曲线()yfx在1x处的切线的斜率为34，则(1)f（C）（A）0（B）1（C）38（D）154第2讲图像问题1、己知函数32fxaxbxc，其导数'fx的图象如图所示，则函数fx的极大值是（D）（A）abc（B）84abc（C）32ab（D）c2、设函数()yfx可导，()yfx的图象如图所示，则导函数()yfx的图像可能为（A）xyOxyOAxyOBxyOCyODx3、（2017全国卷Ⅰ文8）函数sin21cosxyx的部分图像大致为（C）54、函数ln||||xxfxx的图像可能是（B)ABDCyOx11yOx11yOx11yOx115、函数1()()cos(,0)fxxxxxx的图像可能为（D）6、已知21()sin()42fxxx，fx为fx的导函数，则fx的图像是(A)7、下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确．．．．．的序号是(B)（A）①②（B）③④（C）①③（D）①④68、已知R上可导函数fx的图象如图所示，则不等式2'230xxfx的解集为(D)（A）,21,（B）,21,2（C）,11,02,（D）,11,13,9、函数32fxxbxcxd的大致图象如图所示,则2212xx等于(C)（A）89（B）109（C）169（D）4510、（2015安徽）函数2axbfxxc的图像如图所示，则下列结论成立的是（C）（A）0,0,0abc（B）0,0,0abc（C）0,0,0abc（D）0,0,0abc11、（2016全国卷）函数22xyxe在[2,2]的图像大致为（D）（A）（B）（B）（D）7第3讲三次函数1、函数3211()(1)2(1)32fxxmxmx在(0,4)上无极值，则m__3___2、已知322()3fxxaxbxa在1x时有极值0，则ab_7_3、设函数32()(1)fxxaxax有两个不同的极值点12,xx，且对不等式12()()0fxfx恒成立，则实数a的取值范围是_1(,1][,2]2__4、函数32()32fxxxaxa，若存在唯一正整数0x，使得0()0fx，则实数a的取值范围是__2[,1)3___5、已知函数32()1fxxaxx在(,)上是单调函数，则实数a的取值范围是（A）（A）[3,3]（B）(3,,3)（C）(,3)(3,)（D）(,3][3,)6、若函数32()132xafxxx在区间1(,3)2上有极值点，则实数a的取值范围是（C）（A）5(2,,)2（B）5[2,,)2（C）10(2,,)3（D）10[2,,)37、若函数32()132xafxxx在区间1(,3)2上单调递减，则实数a的取值范围是（C）（A）1[,)3（B）5[,)3（C）10[,)3（D）16[,)38、若函数322()33xfxx在区间(,5)aa上存在最小值，则实数a的取值范围是（C）（A）[5,0)（B）(5,0)（C）[3,0)（D）(3,0)9、若函数322()7fxxaxbxaa在1x处取得极大值10，则ba的值为（C）（A）32或12（B）32或12（C）32（D）128第4讲导数与单调性1、已知函数2()52lnfxxxx，则函数()fx的单调递增区间是_1(0,)(2,)2__2、已知函数()ln()xxfxexaeaR，若()fx在(0,)上单调，则a的取值范围是_1a__3、设函数23()()xxaxfxaRe，若()fx在[3,)上为减函数，则a的取值范围是__92a_____4、若函数()fx在定义域D内的某个区间I上是增函数，且()()fxFxx在I上也是增函数，则称()yfx是I上的“完美函数”，已知()ln+1xgxexx，若函数()gx是区间[,)2m上的“完美函数”，则整数m的最小值为__3______5、设函数2()xfxeax在(0,)上单调递增，则实数a的取值范围为（C）（A）[1,)（B）(1,)（C）[2,)（D）(2,)6、函数2()2lnfxxx在其定义域内的一个子区间(1,1)kk内不单调，则k的取值范围是（B）（A）[1,)（B）3[1,)2（C）[1,2）（D）3[,2)27、若函数2()ln2fxxax在区间1(,2)2内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（D）（A）(,2]（B）(2,)（C）1(2,)8（D）1[,)88、设12x，则222lnlnln,(),xxxxxx的大小关系是（A）（A）222lnlnln()xxxxxx（B）222lnlnln()xxxxxx（C）222lnlnln()xxxxxx（D）222lnlnln()xxxxxx9、下列命题为真命题的个数是（D）①22ee②2ln23③ln1e④ln2ln2（A）1（B）2（C）3（D）49第5讲导数与极最值1、已知0x是函数222()(2)(2)fxxaxaxa的极小值点，则a的范围是_(,0)(2,)__2、已知1x是函数2()(2)(0)2xkfxxexkxk的极小值点，则k的范围是_(0,)e_3、已知函数2()21lnfxxxax有两个极值点12,xx，且12xx，则（D）（A）212ln2()4fx（B）212ln2()4fx（C）212ln2()4fx（D）212ln2()4fx4、若函数()3xfxaex在R上有小于零的极值点，则实数a的取值范围是（B）（A）(3,)（B）(,3)（C）1(,)3（D）1(,)35、已知函数()(ln)fxxax有两个极值点，则实数a的取值范围是（B）（A）(,0)（B）1(0,)2（C）(0,1)（D）(0,)6、若函数2()(12)2ln(0)2axfxaxxa在区间1(,1)2内有极值，则a的取值范围是（C）（A）1(,)e（B）(1,+)（C）(1,2)（D）(2,)7、若函数()fx在区间A上，对,,,(),(),()abcAfafbfc为一个三角形的三条边，则称函数()fx为“三角形函数”.已知函数()lnfxxxm在区间21[,]ee上是“三角形函数”，则实数m的取值范围为（D）（A）212(,)eee（B）2(,+)e（C）1(,)e（D）22(,)ee10第6讲导数与零点1、设函数2ln()2xfxxexax，若函数()fx至少存在一个零点，则实数a的取值范围是（D）（A）21(0,,]ee（B）21(0,]ee（C）21[,)ee（D）21(,]ee2、已知函数()2xmefx与函数2()21gxxx的图像有两个不相同的交点，则实数m的取值范围为（D）（A）[0,1)（B）218[0,2){}e（C）218(0,2){}e（D）218[0,2){}ee3、定义：如果函数()fx在区间[,]ab上存在1212,()xxaxxb满足'1()()()fbfafxba，'2()()()fbfafxba，则称()fx是[,]ab上的“双中值函数”.已知函数32()2fxxxm是[0,2]a上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（A）（A）11(,)84（B）11(124，）（C）11(,)128（D）1(,1)84、若存在正实数m，使得关于x的方程(244)[ln()ln]0xaxmexxmx有两个不同的根，则实数a的取值范围是（C）（A）(,0)（B）1(0,2e）（C）1(0)(,)2e（D）1(,)2e5、（2017.12成都一诊）若关于x的方程0xxxxemexe有三个不相等的实数解123,,xxx，且1230xxx，其中,2.71828...mRe为自然对数的底数，则3122312(1)(1)(1)xxxxxxeee的值为（D）（A）e（B）1m（C）1m（D）16、已知函数1()(31)xfxxemx，若有且仅有两个整数使得()0fx，则实数m的取值范围为（B）（A）5(,2)e（B）258[,)23ee（C）218[,)23e（D）5[4,)2ee11第7讲导数中的恒成立与存在性问题1、（2015全国卷1理12）设函数()(21)xfxexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0x使得0()0fx，则a的取值范围是（D）（A）3[,1)2e（B）33[,)24e（C）33[,)24e（D）3[,1)2e2、设函数()(31)xfxexaxa，其中1a，若有且只有一个整数0x使得0()0fx，则a的取值范围是（C）（A）23(,)4e（B）23[,)4e（C）2(,1)e（D）2[,1)e3、已知函数1()()xfxxae，曲线()yfx上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（D）（A）2(,)e（B）2(,0)e（C）21(,)e（D）21(,0)e4、设函数222()()()()4eafxxaaR，若关于x的不等式1()5fx有解，则实数a的值为（A）（A）15（B）14（C）0（D）125、已知21()ln(0)2fxaxxa，若对任意两个不等的正实数12,xx，都有1212()()2fxfxxx恒成立，则实数a的取值范围是（D）（A）(0,1]（B）(1+)，（C）(0,1)（D）[1,)6、已知函数2()ln(1)fxaxx，若对,(0,1)pq，且pq，有(1)(1)2fpfqpq恒成立，则实数a的取值范围为（C）（A）(,18)（B）(,18]（C）[18,)（D）(18,)7、设函数2()(33)(2)xxfxexxaexx，若不等式()0fx有解，则实数a的最小值为（A）（A）11e（B）12e（C）11e（D）21e128、设函数323()(+62)22xxfxexxxaex，若不等式()0fx在[2,)上有解，则实数a的最小值为（C）（A）312e（B）322e（C）3142e（D）11e9、已知函数2ln()()()xxbfxbRx，若存在1[,2]2x，使得'()()fxxfx，则实数b的取值范围是（C）（A）(,2)（B）3(,)2（C）9(,)4（D）(,3)10、已知()xfxxe，2()(1)gxxa，若12,xxR，使得21()()fxgx成立，则实数a的取值范围是_1ae_______11、若关于x的不等式22(1)ln0cxcxxcx在(0,)上恒成立，则实数c的取值范围是__1[,)e____12、若关于x的不等式(1)(ln)0axxax在(0,)上恒成立，则实数a的取值范围是__1(,){}ee_13、若函数()1ln(0)fxxaxa，1()xxgxe，且对任意1212,[3,4]()xxxx，121211()()()()fxfxgxgx恒成立，则实数a的取值范围为_33[4,0)4e____14、设函数21()xfxx，()xxgxe，对任意12,(0,)xx，不等式12()()+1gxfxkk恒成立，则正数k的取值范围是_121ke___15、记曲线()2xfxex上任意一点处的切线为1l，总存在过()3cosgxaxx上一点处的切线为2l，使得12ll，则实数a的取值范围是__[1,2]__13第8讲原函数导函数混合还原一．导数的常见构造1．对于xgxf''，构造xgxfxh更一般地，遇到0'aaxf，即导函数大于某种非零常数(若a=0，则无需构造)，则可构axxfxh2．对于0''xgxf，构造xgxfxh3．对于0'xfxf，构造xfexhx4．对于xfxf'[或0'xfxf]，构造xexfxh5．对于0'xfxxf，构造xxfxh6．对于0'xfxxf，构造xxfxh7．对于0'xfxf，分类讨论：(1)若0xf，则构造xfxhln；(2)若0xf，则构造xfxhln；二．对于抽象函数而言，在构造函数时我们必须从以下方面考虑：函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性等方面考虑，如果题目给出的条件已经是最简的，则从问题入手；否则反向考虑。例：（2015课标2卷理12）设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f，当0x时，'()()0xfxfx，则使得()0fx成立的x的取值范围是（A）（A）(,1)(0,1)（B）(1,0)(1,)（C）(,1)(1,0)（D）(0,1)(1,)变式1.函数fx的定义域是R，02f，对任意,1xRfxfx，则不等式1xxefxe的解集为（A）（A）{0}xx（B）{0}xx（C）{101}xxx或（D）{11}xxx或14变式2.设函数()fx是定义在(,0)上的可导函数，其导函数为'()fx，且有'3()()0fxxfx,则不等式32015(2015)27(3)0xfxf的解集是（A）（A）(2018,2015)（B）(,2016)（C）(2016,2015)（D）(,2012)变式3.设函数()fx在R上存在导数'(x)f，xR，有2()()fxfxx，在0,上'()fxx，若(4)()84fmfmm，则实数m的取值范围为（B）（A）2,2（B）2,（C）0,（D）,22,课后练习：1、已知定义在R上的函数()fx满足(2)1f，且()fx的导函数()1fxx，则不等式21()12fxxx的解集为（C）（A）(2,2)（B）(2,)（C）(,2)（D）(,2)(2,)2、己知定义在R上的可导函数()fx的导函数为()fx，满足()()fxfx，且(2)fx为偶函数，(4)1f，则不等式()xfxe的解集为（B）（A）(2,)（B）(0,)（C）(1,)（D）(4,)3、若定义在R上的函数)(xf满足1)(')(xfxf，4)0(f，则不等式3()1xfxe(e为自然对数的底数)的解集为（A）（A）),0(（B）(,0)(3,)（C）(,0)(0,)（D）(3,)4、已知函数()fx对定义域R内的任意x都有()(4)fxfx，且当2x时，其导函数()fx满足()2()xfxfx，若24a，则（C）（A）2(2)(3)(log)afffa（B）2(3)(log)(2)affaf（C）2(log)(3)(2)afaff（D）2(log)(2)(3)afaff[&网15Z&X&X&K]5、定义在R上的函数fx满足：1,00,fxfxffxfx是的导函数，则不等式1xxefxe（其中e为自然对数的底数）的解集为（B）（A）,10,（B）0,（C）,01,（D）1,[来6、已知函数yfx对于任意的(,)22x满足cossin0fxxfxx（其中fx是函数fx的导函数），则下列不等式不成立的是（B）（A）2()()34ff（B）2()()34ff（C）(0)2()4ff（D）(0)2()3ff7、)0)()((),(xgxgxf分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，()()()()fxgxfxgx，且(3)0f，()0()fxgx的解集为（C）（A）(,3)(3,)（B）(3,0)(0,3)（C）(3,0)(3,)（D）(,3)(0,3)8、函数)(xf的导函数为)(xf，对xR，都有2()()fxfx成立，若2)4ln(f，则不等式2()xfxe的解是（A）[来源om]（A）ln4x（B）0ln4x（C）1x（D）01x9、设()fx是定义在R上的奇函数，且(2)0f,当0x时，有2'()()0xfxfxx恒成立，则不等式2()0xfx的解集为（D）（A）(2,0)(2,)（B）(2,0)(0,2)（C）(,2)(2,)（D）(,2)(0,2)1610、已知一函数满足0x时，有2()'()2gxgxxx，则下列结论一定成立的是（B）（A）(2)(1)32gg（B）(2)(1)22gg（C）(2)(1)42gg（D）(2)(1)42gg11、定义在区间0,上的函数f(x)使不等式'2()()3()fxxfxfx恒成立，其中'()fx为()fx的导数，则（A）（A）(2)48(1)ff（B）(2)816(1)ff（C）(2)34(1)ff（D）(2)23(1)ff12、已知函数()fx的定义域为,00,，图像关于y轴对称，且当0x时，'()()fxfxx恒成立，设1a，则4(1)4,2(2),(1)()11afaaafaafaa的大小关系为（B）（A）4(1)42(2)(1)()11afaaafaafaa（B）4(1)42(2)(1)()11afaaafaafaa（C）4(1)42(2)(1)()11afaaafaafaa（D）4(1)42(2)(1)()11afaaafaafaa13、已知函数()fx的导函数为'()fx，0,x，都有'()2()xfxfx成立，则（D）（A）2(3)3(2)ff（B）2(1)3(2)ff（C）4(3)3(2)ff（D）4(1)(2)ff14、已知奇函数()fx满足：对12,,0xx且12xx，有112212()()0xfxxfxxx恒成立，若0.20.222112(2),(ln2)(ln2),(log)(log)44afbfcf，则,,abc的大小关系为bac（用“”表示）17第9讲导数中的距离问题1、（2012全国卷1理12）设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ最小值为（B）（A）1ln2（B）2(1ln2)（C）1ln2（D）2(1ln2)2、直线xm与函数3()fxx()lngxx图像分别交于点,MN，则MN最小值为（A）（A）1ln33（B）ln33（C）1ln33（D）ln313、已知直线ya分别与函数1xye和1yx交于,AB两点，则,AB之间的最短距离是（C）（A）3ln22（B）5ln22（C）3ln22（D）5+ln224、已知点M在曲线23lnyxx上，点N在直线20xy上，则MN的最小值是__22__5、已知直线yb与函数()23fxx和()lngxaxx分别交于,MN两点，若MN的最小值为2，则ab__2___6、若实数,,,abcd满足22ln321aacbd，则22()()acbd的最小值为__110__7、若实数,,,abcd满足24ln220baacd，则22()()acbd的最小值为__5___8、已知函数1,0()31,02xexfxxx，若mn，且()()fmfn，则nm的范围是_7231[,ln]323e_9、已知函数ln(1),0()11,02xxfxxx，若1212()(),fxfxxx，则12xx的范围是_[32ln2,2)__10、已知函数33()()()2()mfxxmxmeaxaR在R上单调递增，则a的取值范围是_0a___18第10讲导数解答题常用函数不等式211lnln(1)1ln11ln212ln1ln(1)nixxxxxxxxxxxni1211211211121lnxxxxxxniexexxexxeeexni不等式链：ab12222222()232abababaabbabaabbabab11121lnln2()()()()22lnlnabbababaabbaababbbabaaabeabeababababab对数均值不等式：2lnlnabbaabba（用来解决极值点偏移问题）对数不等式（用来证明对数均值不等）12(1)01,ln1xxxxxx2(1)11,ln1xxxxxx【基础典例分析】例：已知函数()ln(1)(1)axfxxaxa（Ⅰ）讨论()fx零点的个数；（Ⅱ）证明：*213ln(1),2131nNnnn【答案】（Ⅰ）当1a时，1个零点；当12a时，2个零点；当2a时，1个零点；当2a时，2个零点（Ⅱ）分别取2a和3a证左右两边19【近七年高考全国卷Ⅰ】（2017年高考全国卷Ⅰ）已知函数2()(2)xxfxaeaex（Ⅰ）讨论()fx的单调性；（Ⅱ）若()fx有两个零点，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在R上单调递增；当0a时，()fx在(,ln)a上单调递减，在(ln,)a上单调递增（Ⅱ）01a（2016年高考全国卷Ⅰ）已知函数2()(2)(1)xfxxeax有两个零点（Ⅰ）求a的取值范围（Ⅱ）设12,xx是()fx的两个零点，证明：122xx【答案】（Ⅰ）a的取值范围为(0,)；（Ⅱ）极值点偏移问题，构造函数（2015年高考全国卷Ⅰ）已知函数31()4fxxax，()lngxx（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线（Ⅱ）用min{,}mn表示,mn中的最小值，设函数()min{(),()}(0)hxfxgxx，讨论()hx零点的个数【答案】（Ⅰ）34a；（Ⅱ）当34a或54a时，1个零点；当34a或54时，2个零点；当5344a时，3个零点20（2014年高考全国卷Ⅰ）设函数1()lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线为(1)2yex（Ⅰ）求,ab（Ⅱ）证明：()1fx【答案】（Ⅰ）1,2ab；（Ⅱ）变形构造，略（2013年高考全国卷Ⅰ）设函数2()fxxaxb，()()xgxecxd，若曲线()yfx和曲线()ygx都过点(0,2)P，且在点P处有相同的切线42yx（Ⅰ）求,,,abcd的值（Ⅱ）若2x时，()()fxkgx，求k的取值范围【答案】（Ⅰ）4,2,2,2abcd；（Ⅱ）k的取值范围为2[1,]e（2012年高考全国卷Ⅰ）已知函数'121()(1)(0)2xfxfefxx（Ⅰ）求()fx的解析式及单调区间（Ⅱ）若21()2fxxaxb，求(1)ab的最大值【答案】（Ⅰ）()fx的解析式为21()2xfxexx；单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（Ⅱ）(1)ab的最大值为2e（2011年高考全国卷Ⅰ）已知函数ln()1axbfxxx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为230xy（Ⅰ）求,ab的值1,1ab（Ⅱ）如果当0x且1x时，ln()1xkfxxx，求k的取值范围0k2110.1导数基础练习题1、已知函数()lnfxxx，2()gxxax（Ⅰ）求函数()fx在区间[,1](0)ttt上的最小值()mt（Ⅱ）令()()()hxgxfx，11(,())Axhx，2212(,())()Bxfxxx是函数()hx图像上任意两点，且满足1212()()1hxhxxx，求实数a的取值范围（Ⅲ）若(0,1]x，使()()agxfxx成立，求实数a的最大值【答案】（Ⅰ）当01t时，()1mt；当1t时，()lnmttt（Ⅱ）a的取值范围为222a（Ⅲ）实数a的最大值为12、已知函数()lnfxxx，2()3gxxax（Ⅰ）求函数()fx在[,2](0)ttt上的最小值（Ⅱ）若存在01[,]xee，002()()fxgx成立，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当10te时，min1()fxe；当1te时，min()lnfxtt（Ⅱ）a的取值范围为132aee3、已知函数()lnfxxx，2()2gxxax（Ⅰ）求函数()fx在[,2](0)ttt上的最小值（Ⅱ）若函数()()yfxgx有两个不同的极值点1212,()xxxx且21ln2xx，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当10te时，min1()fxe；当1te时，min()lnfxtt（Ⅱ）a的取值范围为2ln2ln2ln()133a224、已知函数()lnfxx，21()2gxxbx（Ⅰ）函数()fx的图像在点(1,(1))f处的切线与函数()gx的图像相切，求实数b的值（Ⅱ）若函数()()()hxfxgx在定义域上存在单调递减区间，求实数b的取值范围（Ⅲ）若2b，12,[1,2]xx，且12xx，都有1212()()()()fxfxgxgx成立，求实数b的取值范围【答案】（Ⅰ）12b（Ⅱ）b的取值范围为2b（Ⅲ）b的取值范围为2b5、设函数2()lnfxaxax，1()xegxxe（Ⅰ）讨论()fx的单调性（Ⅱ）证明：当1x时，()0gx（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得()()fxgx在(1,)区间内恒成立【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在(0,)上单调递减；当0a时，()fx在2(0,)2aa上单调递减，在2(,)2aa上单调递增（Ⅱ）变形1,0xxeex（Ⅲ）a的取值范围为1[,)26、函数21()()2gxfxxbx，函数()lnfxxax在1x处的切线与直线20xy垂直（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若函数()gx存在单调递减区间，求实数b的取值范围（Ⅲ）设1212,()xxxx是函数()gx的两个极值点，若72b，求12()()gxgx的最小值【答案】（Ⅰ）1a；（Ⅱ）3b（Ⅲ）152ln28237、已知函数21()ln12afxaxx（Ⅰ）当12a时，求()fx在区间1[,]ee上的最值（Ⅱ）讨论函数()fx的单调性（Ⅲ）当10a时，有()1ln()2afxa恒成立，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）2minmax51()(1),()()424efxffxfe（Ⅱ）当0a时，()fx在(0,)上单调递增；当10a时，()fx在(,)1aa上单调递增，在(0,)1aa上单调递减（Ⅲ）a的取值范围为1(1,0)e8、已知函数()lnfxaxxx图像在点xe处的切线的斜率为3（Ⅰ）求实数a的值（Ⅱ）若2()fxkx对任意0x成立，求实数k的取值范围（Ⅲ）当*1(,)nmmnN时，证明：nmmmnn【答案】（Ⅰ）1a；（Ⅱ）分参构造，1k（Ⅲ）取对数，构造ln()1xxhxx9、已知函数()ln()fxxxa的最小值为0，其中0a，设函数()lnmgxxx（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）对任意120xx，1212()()1gxgxxx恒成立，求实数m的取值范围（Ⅲ）讨论方程()()ln(1)gxfxx在[1,)上根的个数【答案】（Ⅰ）1a；（Ⅱ）移项构造，14m（Ⅲ）1m，1个根；1m，无根2410、已知函数()ln(1)fxxax（Ⅰ）讨论()fx的单调性（Ⅱ）当()fx有最大值时，且最大值大于22a时，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在(0,)上单调递增；当0a时，()fx在1(0,)a上单调递增，在1(,)a上单调递减；（Ⅱ）(0,1)10.2分离参数类11、已知函数21()ln2(0)2fxxaxxa（Ⅰ）若函数()fx在定义域内单调递增，求实数a的取值范围（Ⅱ）若12a，且关于x的方程1()2fxxb在[1,4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围【答案】（Ⅰ）1a；（Ⅱ）5(ln22,)412、已知函数()(ln)xefxaxxx（Ⅰ）当0a时，试求()fx的单调区间（Ⅱ）若函数()fx在1(,2)2x上有三个不同的极值点，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在(1,)上单调递增，在(0,1)上单调递减；（Ⅱ）2eae2513、已知函数()=xfxeaxa，()2xgxxe（Ⅰ）讨论()fx的单调性（Ⅱ）若不等式()()fxgx有唯一正整数解，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在R上单调递增；当0a时，()fx在(ln(),)a上单调递增，在(,ln())a上单调递减；（Ⅱ）325(3,)2ee14、已知函数2()()xfxxaxae（Ⅰ）讨论()fx的单调性（Ⅱ）若(0,2)a，对于任意12,[4,0]xx，都有212()()4afxfxeme恒成立，求m的取值范围【答案】（Ⅰ）当2a时，()fx在(,)a上单调递增，在(,)a上单调递减；当2a时，()fx在R上单调递增；当2a时，()fx在(,2),(,)a上单调递增，在(2,)a单调递减（Ⅱ）221eme15、已知函数()ln1fxxxa（Ⅰ）若存在(0,)x使得()0fx成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）求证：当1x时，在（Ⅰ）的条件下，211ln22xaxaxx成立【答案】（Ⅰ）0a；当0a时，()fx在1(0,)a上单调递增，在1(,)a上单调递减；（Ⅱ）略2610.2构造新函数类16、已知函数()lnfxmxaxm，2()exgxx（Ⅰ）求()gx的极值（Ⅱ）设1,0ma，若对任意的1212,[3,4]()xxxx，121211()()()()fxfxgxgx恒成立，求a的最大值（Ⅲ）设2a，若对0(0,]xe，在区间(0,]e上总存在1212,()tttt，使得120()()()ftftgx成立，求m的取值范围（*）【答案】（Ⅰ）()gx的极大值为(1)1g，无极小值；（Ⅱ）a的最大值为2233e（Ⅲ）m的取值范围为3[,)1e17、已知2()ln()xfxexa（Ⅰ）当1a时，()fx在点(0,1)处的切线方程；当0x时，求证：2()(1)+fxxx（Ⅱ）若存在0[0,)x，使得2000()2ln()fxxax成立，求实数a的取值范围【答案】（Ⅰ）切线方程为31yx；二阶导可证（Ⅱ）a的取值范围为ae18、已知函数1()2ln()fxxaxaRx（Ⅰ）当3a时，求()fx的单调区间（Ⅱ）()()2lngxfxxax，()gx有两个极值点12,xx，其中12xx，若12()()gxgxt恒成立，求t的取值范围【答案】（Ⅰ）()fx的单调递增区间为1(0,),(1,)2，单调递减区间为1(,1)2；（Ⅱ）t的取值范围为0t2719、已知函数21()ln2fxaxxax有两个极值点（Ⅰ）求实数a的取值范围（Ⅱ）设()fx的两个极值点分别为12,xx，若不等式1212()()()fxfxxx恒成立，求的最小值【答案】（Ⅰ）a的取值范围为4a（Ⅲ）的最小值为ln4320、记max{,}mn表示,mn中的最大值，如max{3,10}10，函数2()max{1,2ln}fxxx，2()max{ln,}gxxxaxx（Ⅰ）求函数()fx在1[,1]2上的值域（Ⅱ）试探讨是否存在实数a，使得3()42gxxa对(1,)x恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由【答案】（Ⅰ）()fx的值域为3[,3]4；（Ⅱ）存在，a的取值范围为ln2104a21、已知函数21()2fxx，()lngxax（Ⅰ）若曲线()()yfxgx在1x处的切线方程为6250xy，求实数a的值（Ⅱ）设()()()hxfxgx，若对任意两个不相等的正数12,xx，都有1212()()2hxhxxx恒成立，求实数a的取值范围（Ⅲ）若在[1,]e上存在一点0x，使得''000'01()()()()fxgxgxfx成立，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）2a；（Ⅱ）a的取值范围为[1,)（Ⅲ）a的取值范围为21(,2)(,)1ee2822、已知函数2()lnfxxxx（Ⅰ）证明：当2a时，关于x的不等式2()(1)12afxxax恒成立（Ⅱ）若正实数12,xx满足22121212()()2()0fxfxfxxxx，证明：12512xx【答案】（Ⅰ）略（Ⅱ）略23、（2017天津）已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa在区间(1,2)内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数（Ⅰ）求函数()gx的单调区间（Ⅱ）设00[1,)(,2]mxx，函数0()()()()hxmxgxfm，求证：0()()0hmhx【答案】（Ⅰ）()gx的单调递增区间为1(,1),(,)4，单调递减区间为1(1,)4；（Ⅱ）略*2910.4导数中的函数不等式放缩例：证明：（1）ln2xex（2）sin1xex（1）1ln2xexx（2）1sin1xexx24、已知1()(1)(1)xfxeaxx，()(1)lngxxx（Ⅰ）若()0fx恒成立，求实数a的取值范围（Ⅱ）若在（Ⅰ）的条件下，当a取最大值时，求证：()()fxgx【答案】（Ⅰ）12a；（Ⅱ）11()()(1)ln,12xxfxgxexxx利用1lnxx放缩25、已知函数2()xfxeax，曲线()yfx在1x处的切线方程为1ybx（Ⅰ）求,ab的值（Ⅱ）求函数()fx在[0,1]上的最大值（Ⅲ）证明：当0x时，(1)ln10xeexxx【答案】（Ⅰ）1,2abe；（Ⅱ）()fx的最大值为(1)1fe（Ⅲ）略（*）26、证明：21528xex【答案】直接构造（隐零点）；等价变形2(54)80xxe3010.5导数中的卡根思想例1：已知函数21()ln()2fxxaxaR（Ⅰ）求函数()fx的单调区间（Ⅱ）若关于x的不等式()(1)1fxax恒成立，求整数a的最小值【答案】（Ⅰ）当0a时，()fx在(0,)上单调递增；当0a时，()fx在(0,)aa上单调递增，在(,)aa上单调递减；（Ⅱ）2例2：已知函数()lnfxxx，'()ln(1)1kfxx恒成立，求整数k的最大值【答案】整数k的最大值3例3：已知函数()lnfxxxx，若kZ，(2)(2)()kxfx对2x恒成立，求k的最大值【答案】k的最大值为63127、已知函数()lnfxx，()()hxaxaR（Ⅰ）函数()fx的图像与()hx的图像无公共点，求实数a的取值范围（Ⅱ）是否存在实数m，使得对任意的1(,)2x，都有函数()myfxx的图像在()xegxx的图像的下方？若存在，请求出整数m的最大值；若不存在，请说明理由（参考数据：3ln20.6931,ln31.0986,1.3956e）【答案】（Ⅰ）1ae；（Ⅱ）1m28、已知函数2()lnfxxaxbx，()xgxxeb，()fx在(1,(1))f处的切线方程为21yx（Ⅰ）求实数,ab的值（Ⅱ）求证：()()fxgx【答案】（Ⅰ）1,1ab；（Ⅱ）略3210.6洛必达法则应用29、已知函数ln(1)()xfxx，若对任意的0x，21()12fxkxx恒成立，求k的最小值【答案】k的最小值为1330、已知函数()(1)ln(1)fxkxx，若对任意的01x，()fxx恒成立，求k的取值范围【答案】k的取值范围为31、已知函数2()lnfxaxxx（Ⅰ）当0a时，讨论()fx的单调性（Ⅱ）当1x时，()0fx恒成立，求a的取值范围【答案】（Ⅰ）18a，()fx在(0,)上单调递增108a，()fx在118118(,),(,)44aa上单调递增，在118118(,)44aa单调递减（Ⅱ）1a3310.7先构造，再赋值，证明和式或积式不等式32、（2017全国卷Ⅲ理21）已知函数()1lnfxxax（Ⅰ）若()0fx恒成立，求a的值（Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，2111(1)(1)(1)222nm，求m的最小值【答案】（Ⅰ）1a（Ⅱ）min3m33、已知函数()(1)ln2fxxxax（Ⅰ）当1a时，求函数()fx在1x处的切线方程（Ⅱ）若函数()fx在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围（Ⅲ）求证：*11111...ln(1),357212nnNn【答案】（1）yx（Ⅱ）2a（Ⅲ）略34、已知函数()ln(1)fxx，22()2xxagxx（Ⅰ）求函数()fx的单调区间及最值（Ⅱ）若对0,()()1xfxgx恒成立，求a的取值范围（Ⅲ）求证：*1111...ln(1)()35721nnNn【答案】（Ⅰ）函数()fx的单调递增区间为(1,0)，单调递减区间为(0,)其最大值为(0)0f，无最小值（Ⅱ）2a（Ⅲ）略3435、已知函数2()(1)lnfxaxx（Ⅰ）若()yfx在2x处取得极小值，求a的值（Ⅱ）若()0fx在[1,)上恒成立，求a的取值范围（Ⅲ）求证：2211132...ln2ln3ln22nnnnn【答案】（Ⅰ）18a（Ⅱ）12a（Ⅲ）略36、已知函数2()ln(1)(0)2xfxaxax（Ⅰ）当12a时，求()fx的极值（Ⅱ）若1(,1)2a，()fx存在两个极值点12,xx，试比较12()()fxfx与(0)f的大小（Ⅲ）求证：2(1)!(2,)nnnnnNe【答案】（Ⅰ）函数()fx的极小值为(2)ln21f，无极大值（Ⅱ）12()()(0)fxfxf（Ⅲ）略37、已知函数()ln1()fxaxxxxR，且()0fx（1）求a；（2）求证：当*nN时，22221111...2ln21234nnnn【答案】（Ⅰ）1a（Ⅱ）略3510.8极值点偏移问题38、已知函数()xfxeax有两个零点1212,()xxxx，则下面说法正确的是（）（A）122xx（B）ae（C）121xx（D）有极小值点0x，且1202xxx【答案】D39、已知函数()ln3afxxx有两个零点1212,()xxxx（Ⅰ）求证：20ae（Ⅱ）求证：122xxa【答案】略40、已知函数21()(1)ln,2fxaxaxxaR（Ⅰ）讨论()fx的单调性（Ⅱ）证明：当(0,1)x时，(1)(1)fxfx（Ⅲ）若函数()fx有两个零点12,xx，比较'12+()2xxf与0的大小，并证明你的结论【答案】（Ⅰ）1a时，函数()fx在1(0,),(1,)a上递增，在1(,1)a上递减1a时，函数()fx在(0,)上递增10a时，函数()fx在1(0,1),(,)a