【全国通用】最新2019年高考总复习数学（理科）二轮复习模拟试题及答案解析十八

最新高考数学二模试卷（理科）　一、选择题1．已知i是虚数单位，复数z满足=i，则z的模是（　　）A． B． C．1 D．2．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（　　）A．5 B．6 C．7 D．83．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（　　）A．，s1＞s2 B．，s1＞s2C．，s1＜s2 D．，s1＜s24．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（　　）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]5．已知tan（﹣x）=2，则sin2x=（　　）A． B．﹣ C． D．﹣6．已知f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若f（x）+g（x）=3x，则下列结论正确的是（　　）A．f（1）= B．g（1）=C．若a＞b，则f（a）＞f（b） D．若a＞b，则g（a）＞g（b）7．已知a=∫sinxdx，若从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为（　　）A． B． C． D．8．如图，在三棱锥P﹣ABC中，面PAC⊥面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，M，N为线段PC上的点，若MN=，则三棱锥A﹣MNB的体积为（　　）A． B． C． D．9．对于同一平面内的单位向量，，，若与的夹角为60°，则（﹣）•（﹣2）的最大值为（　　）A． B．2 C． D．310．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得2x+y2ey﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）A．（1+，e] B．[1+，e] C．（1，e] D．（2+，e]　二、填空题11．已知双曲线﹣y2=1的一条渐近线与直线l：3x+y+1=0垂直，则此双曲线的焦距为　　　　　　．12．已知条件P：x2﹣3x+2＞0；条件q：x＜m，若￢p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　　　　　　．13．执行如图所示的程序框图，输出的k值为　　　　　　．14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有　　　　　　种．（用数字作答）15．已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是　　　　　　．　三、解答题16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=﹣．（1）若∠CAB=，求AC的长；（2）若BD=9，求△ABD的面积．17．如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=CD，∠ADC=45°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为，求λ的值．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=6，S5=45；数列{bn}前n项和为Tn，且Tn﹣2bn+3=0．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Qn．19．某高中为适应“新高考模式改革”，满足不同层次学生的需要，决定从高一年级开始，在每周的周二、周四、周五的课外活动期间同时开设物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规格：各科达到预定的人数时称为满座，否则称为不满座），统计数据表明，以上各学科讲座各天满座的概率如表： 物理 化学 生物 信息技术 周二 周四 周五 （1）求一周内物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率；（2）设周四各辅导讲座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣lnx．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（3）求证：++…+＞ln（n+1）（n∈N•）．21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过椭圆+=1的焦点G与y轴垂直的直线与抛物线C交于点H，且|HF|=2|GH|．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1、l2，分别交C于点A，B和点M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（3）在（2）的条件下，求△FPQ外接圆面积的最小值．　参考答案与试题解析　一、选择题1．已知i是虚数单位，复数z满足=i，则z的模是（　　）A． B． C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出．【解答】解：=i，∴z=i+zi，∴z===+，∴|z|==，故选：B．　2．已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，B={m，2n}，若A∩B={1}，则m+n=（　　）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】交集及其运算．【分析】根据元素和集合的关系可知1∈A且1∈B，即可求出m，n的值，问题得以解决．【解答】解：A={2，log7m}，B={m，2n}，A∩B={1}，∴1∈A且1∈B，∴log7m=1，2n=1∴m=7，n=0，∴m+n=7．故选：C　3．甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（　　）A．，s1＞s2 B．，s1＞s2C．，s1＜s2 D．，s1＜s2【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】利用茎叶图先求出甲、乙两名运动员测试成绩的平均数和方差，由此能求出结果．【解答】解：∵甲、乙两名运动员的5次测试成绩如图，设s1，s2分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差，，分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，∴=（18+19+23+27+28）=23，=（17+18+21+26+28）=22，=[（18﹣23）2+（19﹣23）2+（23﹣23）2+（27﹣23）2+（28﹣23）2]=82，，=[（17﹣22）2+（18﹣22）2+（21﹣22）2+（26﹣22）2+（28﹣22）2]=94，S2=，∴，s1＜s2．故选：D．　4．将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的一个减区间是（　　）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据三角函数的图象变换关系求出g（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：将函数f（x）=cos（x+）图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，则y=cos（2x+），即g（x）=cos（2x+），由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即函数的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[﹣，]，故选：D．　5．已知tan（﹣x）=2，则sin2x=（　　）A． B．﹣ C． D．﹣【考点】三角函数的化简求值．【分析】由两角和差的正切公式求得tanx，再由同角三角函数的关系求得sin2x．【解答】解：由tan（﹣x）=2，得，即，解得tanx=﹣．∴sin2x=．故选：B．　6．已知f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，若f（x）+g（x）=3x，则下列结论正确的是（　　）A．f（1）= B．g（1）=C．若a＞b，则f（a）＞f（b） D．若a＞b，则g（a）＞g（b）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】首先，在给定的等式中，以﹣x代x，构造一个辅助关系式，得出f（x）﹣g（x）=﹣3﹣x，利用函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∵g（x）是定义在R上的偶函数，∴g（﹣x）=g（x），∵f（x）+g（x）=3x，①在上述等式中，以﹣x代x，得：f（﹣x）+g（﹣x）=3﹣x，∴﹣f（x）+g（x）=3﹣x，∴f（x）﹣g（x）=﹣3﹣x，②由①②可得f（x）=（3x﹣3﹣x），g（x）=（3x+3﹣x），∴f（1）=，g（1）=，故A，B不正确∵函数f（x）=（3x﹣3﹣x）单调递增，∴a＞b，则f（a）＞f（b），故C正确；对于D，利用对勾函数的性质，可知不正确．故选：C．　7．已知a=∫sinxdx，若从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为（　　）A． B． C． D．【考点】定积分；几何概型．【分析】先把a解出来，然后求|x﹣1|≤a的解，再算概率即可．【解答】解：∵a=∫sinxdx=（﹣cosx）|=2∴|x﹣1|≤2的解为：﹣1≤x≤3，故：从[0，10]中任取一个数x，则使|x﹣1|≤a的概率为：=，故选B．　8．如图，在三棱锥P﹣ABC中，面PAC⊥面ABC，AB⊥BC，AB=BC=PA=PC=2，M，N为线段PC上的点，若MN=，则三棱锥A﹣MNB的体积为（　　）A． B． C． D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】取AC中点O，连接BO，可得BO⊥AC，再由面面垂直的性质可得BO⊥面PAC，然后利用等积法把三棱锥A﹣MNB的体积转化为三棱锥B﹣AMN得体积求解．【解答】解：如图，取AC中点O，连接BO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∵面PAC⊥面ABC，∴由面面垂直的性质可得，BO⊥面PAC，∵AB=BC=PA=PC=2，AC=AC，∴△ABC≌△APC，又AB⊥BC，∴AP⊥PC，即△APC为直角三角形，在Rt△ABC中，由AB=BC=2，得AC=，∴OB=，则VA﹣MNB=VB﹣AMN，又MN=，∴VA﹣MNB=VB﹣AMN=．故选：A．　9．对于同一平面内的单位向量，，，若与的夹角为60°，则（﹣）•（﹣2）的最大值为（　　）A． B．2 C． D．3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设=（1，0），=（，），=（cosα，﹣sinα），则（﹣）•（﹣2）=﹣cosα+sinα=+2sin（α﹣30°），根据三角函数的性质可求，．【解答】解：∵同一平面内的单位向量，，，若与的夹角为60°，设=（1，0），=（，），=（cosα，﹣sinα），∴﹣=（，﹣），﹣2=（1﹣2cosα，﹣2sinα），∴（﹣）•（﹣2）=﹣cosα+sinα=+2sin（α﹣30°），∵﹣1≤sin（α﹣30°）≤1，∴﹣≤+2sin（α﹣30°）≤，∴（﹣）•（﹣2）的最大值为，故选：C．　10．已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得2x+y2ey﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）A．（1+，e] B．[1+，e] C．（1，e] D．（2+，e]【考点】函数恒成立问题．【分析】由2x+y2ey﹣a=0成立，解得y2ey=a﹣2x，根据题意可得：a﹣2≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解出并且验证等号是否成立即可得出．【解答】解：由2x+y2ey﹣a=0成立，解得y2ey=a﹣2x，∴对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得2x+y2ey﹣a=0成立，∴a﹣2≥（﹣1）2e﹣1，且a﹣0≤12×e1，解得2+≤a≤e，其中a=2+时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范围是（2+，e]．故选：D．　二、填空题11．已知双曲线﹣y2=1的一条渐近线与直线l：3x+y+1=0垂直，则此双曲线的焦距为　2　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线与直线l：3x+y+1=0垂直，求出a，然后求解双曲线的截距即可．【解答】解：双曲线﹣y2=1的一条渐近线为：y=，双曲线﹣y2=1的一条渐近线与直线l：3x+y+1=0垂直，可得：=﹣1，a=3．所求双曲线的焦距为：2c=2=2．故答案为：2．　12．已知条件P：x2﹣3x+2＞0；条件q：x＜m，若￢p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　m＞2　．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出p的等价条件，利用充分不必要条件的定义建立，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：由x2﹣3x+2＞0得x＞2或x＜1，即p：x＞2或x＜1，￢p：1≤x≤2．若￢p是q的充分不必要条件，则{x|1≤x≤2}⊊{x|x＜m}，即m＞2，故答案为：m＞2．　13．执行如图所示的程序框图，输出的k值为　11　．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，计算前若干次循环的结果，与判断框条件比较，即可得到结论．【解答】解：第一次循环，k=1，S=0+lg3=lg3＜1，第二次循环，k=3，S=lg3+lg=lg5＜1，第三次循环，k=5，S=lg5+lg=lg7＜1，第四次循环，k=7，S=lg7+lg=lg9＜1，第五次循环，k=9，S=lg9+lg=lg11＞1，此时k=9+2=11，故答案为：11．　14．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有　54　种．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，把甲乙看做一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中（2，1，1），C42A33=36种，第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲乙分配到其中2个小组，A33C32=18种，根据分类计数原理可得，共有36+18=54种，故答案为：54．　15．已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是　[e，7]　．【考点】正弦定理．【分析】由题意可求得≤7；由lnb≥a可得≥（b≥），设函数f（x）=（x≥），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．【解答】解：∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，∴5﹣3a≤4﹣a，∴a≥．∵5﹣3a≤b≤4﹣a，∴﹣3≤≤﹣1．从而≤7，∵lnb≥a，∴≥（b≥），设f（x）=（x≥），则f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）=e．∴≥e，∴的取值范围是[e，7]．故答案为：[e，7]．　三、解答题16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=﹣．（1）若∠CAB=，求AC的长；（2）若BD=9，求△ABD的面积．【考点】正弦定理．【分析】（1）由条件利用梯形的性质，同角三角的基本关系，求得sin∠ADC、以及∠ACD的值，再利用正弦定理求得AC．（2）利用诱导公式求得cos∠DAB，利用同角三角的基本关系求得sin∠DAB，△ABD中，由余弦定理求得AB，从而求得△ABD的面积为•AD•AB•sin∠DAB的值．【解答】解：（1）在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=6，cos∠ADC=﹣，∴sin∠ADC=，∠ACD=∠CAB=．△ACD中，由正弦定理可得=，即=，∴AC=8．（2）若BD=9，∵∠DAB=π﹣∠ADC，∴cos∠DAB=﹣cos∠ADC=，∴sin∠DAB==．△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD2+AB2﹣2AD•AB•cos∠DAB，即81=36+AB2﹣2•6•AB•，∴AB=9，∴△ABD的面积为•AD•AB•sin∠DAB=•6•9•=18．　17．如图所示的几何体中，ABC﹣A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=CD，∠ADC=45°．（1）若AA1=AC，求证：AC1⊥平面A1B1CD；（2）若CD=2，AA1=λAC，二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为，求λ的值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连结A1C，交AC1于点E，推导出AA1⊥AC，A1C⊥AC1，由余弦定理，得AC=CD，再由勾股定理得CD⊥AC，又AA1⊥CD，从而CD⊥平面A1ACC1，进而AC1⊥CD，由此能AC1⊥平面A1B1CD．（Ⅱ）以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．【解答】证明：（1）连结A1C，交AC1于点E，∵AA1=AC，AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AC，又AA1∥CC1，∴AA1C1C为正方形，∴A1C⊥AC1，在△ACD中，AD=，∠ADC=45°，由余弦定理，得AC2=AD2+CD2﹣2AD•CD•cos45°=2CD2+CD2﹣2=CD2，∴AC=CD，∴AD2=AC2+CD2，∴CD⊥AC，又AA1⊥CD，AA1∩AC=A，∴CD⊥平面A1ACC1，∵AC1⊂平面A1ACC1，∴AC1⊥CD，∴AC1⊥平面A1B1CD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知CD⊥平面A1ACC1，CC1⊥平面ABC，以C为原点，CD为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则D（2，0，0），A（0，2，0），C1（0，0，2λ），A1（0，2，2λ），∴=（﹣2，0，2λ），=（﹣2，2，2λ），设平面A1C1D的法向量为=（x，y，z），则，令z=1，解得=（λ，0，1），由（1）知⊥平面A1ACC1，∴是平面A1ACC1的一个法向量，∴二面角A﹣A1C1﹣D的平面角的余弦值为：cosθ===．解得λ=2．∴λ的值为2．　18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=6，S5=45；数列{bn}前n项和为Tn，且Tn﹣2bn+3=0．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Qn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，由a2=6，S5=45；利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得，解得a1=d即可得出．由Tn﹣2bn+3=0．n=1时，b1﹣2b1+3=0，解得b1．n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，可得：bn=2bn﹣1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由cn=，可得cn=．对n分类讨论，分组求和，分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a2=6，S5=45；∴，解得a1=d=3．∴an=3+3（n﹣1）=3n．∵Tn﹣2bn+3=0．∴n=1时，b1﹣2b1+3=0，解得b1=3．n≥2时，Tn﹣1﹣2bn﹣1+3=0，可得：bn﹣2bn+2bn﹣1=0，化为bn=2bn﹣1，∴数列{bn}是等比数列，首项为3，公比为2．∴bn=3×2n﹣1．（2）∵cn=，∴cn=．∴n=2k（k∈N*）为偶数时，数列{cn}的前n项和Qn=（a1+a3+…+an﹣1）+（a2+a4+…+an）=+=2n﹣1++n．n=2k﹣1（k∈N*）为奇数时，数列{cn}的前n项和Qn=Qn+1﹣an+1=2n+1﹣1+﹣3（n+1）=2n+1+．∴Qn=．　19．某高中为适应“新高考模式改革”，满足不同层次学生的需要，决定从高一年级开始，在每周的周二、周四、周五的课外活动期间同时开设物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座（规格：各科达到预定的人数时称为满座，否则称为不满座），统计数据表明，以上各学科讲座各天满座的概率如表： 物理 化学 生物 信息技术 周二 周四 周五 （1）求一周内物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率；（2）设周四各辅导讲座的科目数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座为事件A，由题意得利用对立事件概率计算公式能求出物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）设物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座为事件A，由题意得：物理辅导讲座在周二、周四、周五都不满座的概率：P（A）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）=×=，P（X=4）==，∴随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P ∴EX==．　20．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣lnx．（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围；（3）求证：++…+＞ln（n+1）（n∈N•）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，求导后得到f′（1），再求得f（1），代入直线方程点斜式得答案；（2）求出原函数的导函数，由f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，得ax2﹣x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，分离参数a后利用基本不等式求得a的取值范围；（3）由（2）得到lnx，取，得到ln（n+1）﹣lnn，然后累加得答案．【解答】（1）解：当a=1时，f（x）=x﹣，∴f（1）=0，又f′（1）=1+，∴f′（1）=1，从而曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x﹣1；（2）解：∵f′（x）=a+=，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，只需f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即ax2﹣x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，也就是a恒成立．由于，得．∴a；（3）证明：由（2）知，当a=1时，f（x）=（x﹣）﹣lnx在（0，+∞）上是增函数，又f（1）=0，∴f（x）＞f（1）=0，即当x＞1时，（x﹣）﹣lnx＞0，lnx成立．不妨令，∴，即ln（n+1）﹣lnn，由此，得ln2﹣ln1，ln3﹣ln2，…ln（n+1）﹣lnn，以上n个式子累加可得：ln（n+1）＜，即得原不等式成立．　21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过椭圆+=1的焦点G与y轴垂直的直线与抛物线C交于点H，且|HF|=2|GH|．（1）求抛物线C的方程；（2）过点F任意作互相垂直的两条直线l1、l2，分别交C于点A，B和点M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；（3）在（2）的条件下，求△FPQ外接圆面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程．【分析】（1）由椭圆+=1，可得焦点G，不妨取G（0，4），把y=4代入抛物线方程可得：42=2px，解得xH=．由于|HF|=2|GH|，可得+=2×，解得p即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则点P，由题意可设直线l1d的方程为：y=k（x﹣2）（k≠0）．与抛物线方程联立化为k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得点P．由题意可知：直线l2的斜率为﹣，同理可得Q（2+4k2，﹣4k）．k≠±1时，直线PQ的斜率kPQ==，直线PQ的方程为：k（x﹣6）﹣（1﹣k2）y=0，于是直线PQ恒过定点E（6，0），k=±1时，直线PQ也经过点E（6，0）．（3）由点P，Q（2+4k2，﹣4k）．可得：|PQ|2=≥64．当且仅当k=±1时取等号，此时△FPQ为直角三角形，△FPQ外接圆面积S=，即可得出最小值．【解答】解：（1）由椭圆+=1，可得焦点G（0，±4），不妨取G（0，4），把y=4代入抛物线方程可得：42=2px，解得xH=．∵|HF|=2|GH|，∴+=2×，p＞0，解得p=4．∴抛物线C的方程为y2=8x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则点P，由题意可设直线l1d的方程为：y=k（x﹣2）（k≠0）．由，化为k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△=64k2+64＞0，∵直线l1交C于两点A，B，∴x1+x2=4+，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，可得点P．由题意可知：直线l2的斜率为﹣，同理可得Q（2+4k2，﹣4k）．k≠±1时，有≠2+4k2．直线PQ的斜率kPQ==，直线PQ的方程为：y+4k=（x﹣2﹣4k2），整理为k（x﹣6）﹣（1﹣k2）y=0，于是直线PQ恒过定点E（6，0），k=±1时，直线PQ的方程为：x=6，也经过点E（6，0）．综上所述：直线PQ恒过定点E（6，0）．（3）由点P，Q（2+4k2，﹣4k）．可得：|PQ|2=+==64．当且仅当k=±1时取等号，此时△FPQ为直角三角形，△FPQ外接圆面积S==，故当|PQ|2取最小值64时，S取得最小值16π．　2016年6月14日