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高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结

2020-06-06 7页 doc 616KB 6阅读

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dczly68

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高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点,在满足下列条件的平面上动点P...
高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结
八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义:(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F,F的距离的和等于常数,且此常数一定要大于,当常数等于时,轨迹是线段FF,当常数小于时,无轨迹;双曲线中,与两定点F,F的距离的差的绝对值等于常数,且此常数一定要小于|FF|,定义中的“绝对值”与<|FF|不可忽视。若=|FF|,则轨迹是以F,F为端点的两条射线,若﹥|FF|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如(1)已知定点,在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是A.B.C.D.(答:C);(2)方程表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系,要善于运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点及抛物线上一动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是_____(答:2)2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):(1)椭圆:焦点在轴上时()EMBEDEquation.3(参数方程,其中为参数),焦点在轴上时=1()。方程表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。如(1)已知方程表示椭圆,则的取值范围为____(答:);(2)若,且,则的最大值是____,的最小值是___(答:)(2)双曲线:焦点在轴上:=1,焦点在轴上:=1()。方程表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且A,B异号)。如(1)双曲线的离心率等于,且与椭圆有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:);(2)设中心在坐标原点,焦点、在坐标轴上,离心率的双曲线C过点,则C的方程为_______(答:)(3)抛物线:开口向右时,开口向左时,开口向上时,开口向下时。3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):(1)椭圆:由EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。如已知方程表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是__(答:)(2)双曲线:由EMBEDEquation.3,EMBEDEquation.3项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问时,首先要判断焦点位置,焦点F,F的位置,是椭圆、双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数,确定椭圆、双曲线的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,最大,,在双曲线中,最大,。4.圆锥曲线的几何性质:(1)椭圆(以()为例):①范围:;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),四个顶点,其中长轴长为2,短轴长为2;④准线:两条准线;⑤离心率:,椭圆EMBEDEquation.DSMT4,越小,椭圆越圆;越大,椭圆越扁。如(1)若椭圆的离心率,则的值是__(答:3或);(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:)(2)双曲线(以()为例):①范围:或;②焦点:两个焦点;③对称性:两条对称轴,一个对称中心(0,0),两个顶点,其中实轴长为2,虚轴长为2,特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为;④准线:两条准线;⑤离心率:,双曲线EMBEDEquation.DSMT4,等轴双曲线EMBEDEquation.DSMT4,越小,开口越小,越大,开口越大;⑥两条渐近线:。如(1)双曲线的渐近线方程是,则该双曲线的离心率等于______(答:或);(2)双曲线的离心率为,则=(答:4或);(3)设双曲线(a>0,b>0)中,离心率e∈[,2],则两条渐近线夹角θ的取值范围是________(答:);(3)抛物线(以为例):①范围:;②焦点:一个焦点,其中的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④准线:一条准线;⑤离心率:,抛物线EMBEDEquation.DSMT4。如设,则抛物线的焦点坐标为________(答:);5、点和椭圆()的关系:(1)点在椭圆外EMBEDEquation.3;(2)点在椭圆上EMBEDEquation.3=1;(3)点在椭圆内EMBEDEquation.36.直线与圆锥曲线的位置关系:(1)相交:EMBEDEquation.DSMT4直线与椭圆相交;直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故是直线与双曲线相交的充分条件,但不是必要条件;直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故也仅是直线与抛物线相交的充分条件,但不是必要条件。如(1)若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支有两个不同的交点,则k的取值范围是_______(答:(-,-1));(2)直线y―kx―1=0与椭圆恒有公共点,则m的取值范围是_______(答:[1,5)∪(5,+∞));(3)过双曲线的右焦点直线交双曲线于A、B两点,若│AB︱=4,则这样的直线有_____条(答:3);(2)相切:EMBEDEquation.DSMT4直线与椭圆相切;EMBEDEquation.DSMT4直线与双曲线相切;EMBEDEquation.DSMT4直线与抛物线相切;(3)相离:EMBEDEquation.DSMT4直线与椭圆相离;EMBEDEquation.DSMT4直线与双曲线相离;EMBEDEquation.DSMT4直线与抛物线相离。特别提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点;(2)过双曲线=1外一点的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这样的直线;(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。如(1)过点作直线与抛物线只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);(2)过点(0,2)与双曲线有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为______(答:);(3)过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若4,则满足条件的直线有____条(答:3);(4)对于抛物线C:,我们称满足的点在抛物线的内部,若点在抛物线的内部,则直线:与抛物线C的位置关系是_______(答:相离);(5)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是、,则_______(答:1);(6)设双曲线的右焦点为,右准线为,设某直线交其左支、右支和右准线分别于,则和的大小关系为___________(填大于、小于或等于)(答:等于);(7)求椭圆上的点到直线的最短距离(答:);(8)直线与双曲线交于、两点。①当为何值时,、分别在双曲线的两支上?②当为何值时,以AB为直径的圆过坐标原点?(答:①;②);7、焦半径(圆锥曲线上的点P到焦点F的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准线的距离,即焦半径,其中表示P到与F所对应的准线的距离。如(1)已知椭圆上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为____(答:);(2)已知抛物线方程为,若抛物线上一点到轴的距离等于5,则它到抛物线的焦点的距离等于____;(3)若该抛物线上的点到焦点的距离是4,则点的坐标为_____(答:);(4)点P在椭圆上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点P的横坐标为_______(答:);(5)抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5,则线段AB的中点到轴的距离为______(答:2);(6)椭圆内有一点,F为右焦点,在椭圆上有一点M,使之值最小,则点M的坐标为_______(答:);8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为,焦点的面积为,则在椭圆中,①=,且当即为短轴端点时,最大为EMBEDEquation.3=;②,当即为短轴端点时,的最大值为bc;对于双曲线的焦点三角形有:①;②。如(1)短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为、,过作直线交椭圆于A、B两点,则的周长为________(答:6);(2)设P是等轴双曲线右支上一点,F1、F2是左右焦点,若,|PF1|=6,则该双曲线的方程为(答:);(3)椭圆的焦点为F1、F2,点P为椭圆上的动点,当eq\o(PF2,\s\up6(→))·eq\o(PF1,\s\up6(→))<0时,点P的横坐标的取值范围是(答:);(4)双曲线的虚轴长为4,离心率e=,F1、F2是它的左右焦点,若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点,且是与等差中项,则=__________(答:);(5)已知双曲线的离心率为2,F1、F2是左右焦点,P为双曲线上一点,且,.求该双曲线的标准方程(答:);单纯的课本,并不能满足学生的需要,通过补充,达到内容的完善教育之通病是教用脑的人不用手,不教用手的人用脑,所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟,结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。_1234568017.unknown_1234568081.unknown_1234568113.unknown_1234568129.unknown_1234568145.unknown_1234568153.unknown_1234568161.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568169.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152.unknown_1234568150.unknown_1234568147.unknown_1234568148.unknown_1234568146.unknown_1234568137.unknown_1234568141.unknown_1234568143.unknown_1234568144.unknown_1234568142.unknown_1234568139.unknown_1234568140.unknown_1234568138.unknown_1234568133.unknown_1234568135.unknown_1234568136.unknown_1234568134.unknown_1234568131.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unknown_1234568097.unknown_1234568105.unknown_1234568109.unknown_1234568111.unknown_1234568112.unknown_1234568110.unknown_1234568107.unknown_1234568108.unknown_1234568106.unknown_1234568101.unknown_1234568103.unknown_1234568104.unknown_1234568102.unknown_1234568099.unknown_1234568100.unknown_1234568098.unknown_1234568089.unknown_1234568093.unknown_1234568095.unknown_1234568096.unknown_1234568094.unknown_1234568091.unknown_1234568092.unknown_1234568090.unknown_1234568085.unknown_1234568087.unknown_1234568088.unknown_1234568086.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568082.unknown_1234568049.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567932.unknown_1234567930.unknown_1234567925.unknown_1234567927.unknown_1234567928.unknown_1234567926.unknown_1234567923.unknown_1234567924.unknown_1234567922.unknown_1234567905.unknown_1234567913.unknown_1234567917.unknown_1234567919.unknown_1234567920.unknown_1234567918.unknown_1234567915.unknown_1234567916.unknown_1234567914.unknown_1234567909.unknown_1234567911.unknown_1234567912.unknown_1234567910.unknown_1234567907.unknown_1234567908.unknown_1234567906.unknown_1234567897.unknown_1234567901.unknown_1234567903.unknown_1234567904.unknown_1234567902.unknown_1234567899.unknown_1234567900.unknown_1234567898.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown
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