2017年上海市高考数学真题卷及解析(格式整理版本)

2017年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.已知集合}{}{1,2,3,4,3,4,5AB==,则AB=.【解析】本题考查集合的运算，交集，属于基础题【】}{3,42.若排列数6P654m=××,则m=.【解析】本题考查排列的计算，属于基础题【答案】33.不等式11xx−>的解集为.【解析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题【答案】(),0−∞4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【解析】本题考查球的体积公式和三视图的概念，343633RRππ=⇒=,所以29SRππ==，属于基础题【答案】9π5.已知复数z满足30zz+=，则z=.【解析】本题考查复数的四则运算和复数的模，2303zzz+=⇒=−设zabi=+，则22230,3ababiabi−+=−⇒==±,22zab=+，属于基础题【答案】36.设双曲线()222109xybb−=>的焦点为12FF、,P为该双曲线上的一点.若15PF=,则2PF=.【解析】本题考查双曲线的定义和性质，1226PFPFa−==（舍），2122611PFPFaPF−==⇒=【答案】117.如图，以长方体1111ABCDABCD−的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB的坐标为(4,3,2),则1AC的坐标是.【解析】本题考查空间向量，可得11(400)(03,2)(432)ACAC⇒=−，，，，，，,属于基础题【答案】(432)−，，8.定义在(0,)+∞上的函数()yfx=的反函数-1()yfx=.若31,0,()(),0xxgxfxx−≤=>为奇函数，则-1()=2fx的解为.【解析】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题10,0,()31()()13xxxxgxgxgx−>−<−=−=−⇒=−,所以1()13xfx=−,当2x=时，8()9fx=,所以18()29f−=【答案】89x=9.已知四个函数：①yx=−；②1yx=−；③3yx=；④12yx=.从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为.【解析】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题总的情况有：42C6=种，符合题意的就两种：①和③，①和④【答案】1310.已知数列}{na和}{nb,其中2,Nnann∗=∈，}{nb的项是互不相等的正整数.若对于任意}{Nnnb∗∈，中的第na项等于}{na中的第nb项，则()()149161234lglgbbbbbbbb=.【解析】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题由题意可得：222222114293164(),,,nnabnnbabbbbbbbbbb=⇒=⇒====，所以()()()()214916123412341234lglg=2lglgbbbbbbbbbbbbbbbb=【答案】211.设12Rαα∈，,且121122sin2sin(2)αα+=++，则1210παα−−的最小值等于.【解析】考查三角函数的性质和值域，121111,1,12sin32sin(2)3αα∈∈++，，要使121122sin2sin(2)αα+=++，则111122221=122sin2,,1=12sin(2)4kkkZkπαπαπαπα=−++⇒∈=−++1212minmin31010(2)44kkππααπππ−−=+−+=,当122=11kk+时成立【答案】4π12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1234,,,PPPP以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处.设集合}{1234=,,,PPPPΩ，点P∈Ω.过P作直线Pl，使得不在Pl上的“▲”的点分布在Pl的两侧.用1()PDl和2()PDl分别示Pl一侧和另一侧的“▲”的点到Pl的距离之和.若过P的直线Pl中有且只有一条满足12()=()PPDlDl，则Ω中所有这样的P为.【解析】本题考查有向距离，以左下角的顶点为原点建立直角坐标系。四个标记为“▲”的点的坐标分别为(0,3),(1,0),(4,4),(7,1),设过P点的直线为：0axbyc++=,此时有向距离1234222222223447,,bcacabcabcddddabababab++++++====++++，且由1234+++12840320ddddabcabc=++=⇒++=则过1P的直线满足40bc+=;此时234abcb=−=−,直线为：2240(4)033bxbybbxy−+−=⇒−+−=：所以此时满足题意的直线为：24=03xy−+−则过2P的直线满足320abc++=;此时有无数组解，例如：直线3x=，直线2y=等都满足题意.则过3P的直线满足420abc++=;此时02acb==−，直线为：20(2)0bybby−=⇒−=,所以此时满足题意的直线为：2=0y−.则过4P的直线满足660abc++=;此时432abcb=−=,直线为：4420(2)033bxbybbxy−++=⇒−++=：所以此时满足题意的直线为：4203xy−++=【答案】134,,PPP二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.关于xy、的二元一次方程组50234xyxy+=+=，的系数行列式D为（）A．0543B．1024C．1523D．6054【答案】C14.在数列}{na，1,N,2nnan∗=−∈则limnna→∞（）.A．等于12−B．等于0C．等于12D．不存在【答案】B15．已知abc、、为实常数，数列}{nx的通项2*,Nnxanbncn=++∈，则“存在*Nk∈,使得100200300,,kkkxxx+++成等差数列”的一个必要条件是（）A．0a≥B．0b≤C．0c=D．20abc−+=【答案】A16．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:1364xyC+=和222:+19yCx=.P为1C上的动点，Q为2C上的动点，ω是OPOQ⋅的最大值.记(){=,|PQΩP在1C上，Q在2C上，且}=OPOQω⋅，则Ω中（）A．元素个数为2B．元素个数为4C．元素个数为8D．含有无穷个元素【答案】D17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，直三棱柱111ABCABC−的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱1AA的长为5.（1）求三棱柱111ABCABC−的体积；（2）设M是BC中点，求直线1AM与平面ABC所成角的大小。【答案】（1）1111245202ABCABCV−=×××=（2）arctan518．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()()221cossin,0,2fxxxxπ=−+∈.（1）求()fx的单调递增区间；（2）设ABC为锐角三角形，角A所对的边19a=，角B所对的边5b=.若()0fA=，求ABC的面积.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.【答案】（1）,2ππ（2）1534ABCS=19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）根据预测，某地第n()*Nn∈个月共享单车的投放量和损失量分别为na和nb（单位：辆），其中4515,13,10470,4,nnnann+≤≤=−+≥5nbn=+.第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量()24468800nSn=−−+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935（2）214,1102,2514,311919815,422nnQnnnn====−+−≥，所以当42n=时Q取最大值，为8782此时()242442468800=87368782S=−−+<，所以当Q取最大值时，停放点不能容纳20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:14xyΓ+=，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点.M为x正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且2OP=，求P的坐标；（2）设83,55P.若以APM、、为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若MAMP=,直线AQ与Γ交于另一点C，且2AQAC=，4PQPM=，求直线AQ的方程.【答案】（1）236,33P；（2）29,020M或3,05M或()1,0M；（3）5110yx=+解析（3）∵点P是Γ上一动点，设()2cos,sinPαα，(),0Mt，0t>，(),qqQxy，(),ccCxy，且()0,1A。记线段AP中点为点(),nnNxy，则sin1cos,2Nαα+∵4PQPM=，∴34PQQM=−，∴42cos346cos4134sin033sin413qqtxtyαααα−==−−−×==−−，()46cos,3sinQtαα−−；又2AQAC=，∴ACCQ=，∴C是AQ中点，∴1323cos,sin22Ctαα−−又∵C是Γ上的一点，∴()()22223cos13sin1236cos3sin044tttαααα−−+=⇒+−−=∵MAMP=，∴MAP为等腰三角形，N为底边AP中点，∴MNAP⊥∵sin1cos,2MNtαα+=−，()2cos,sin1APαα=−，∴()()()12coscossin1sin102MNAPtαααα⋅=−++−=()()24coscoscos0cos4cos4cos0ttαααααα⇒−−=⇒−−=（1）若cos0α=，则()0,sinPα，由P不在上顶点可知，sin1α≠，P为下顶点，sin1α=−，()0,1P−∴()2223603103ttt+−×−×−=⇒=−，无解；（2）cos0α≠，则33cos40cos04ttαα−=⇒=>，∴cos0α>∴22332cos36coscos3sin09sin8sin1044αααααα+−××−=⇒−−=∴1sin9α=−或1（舍），∴45cos9α=，∴3455493t=×=∴451,33Q−，∴1153104503AQk−==−，∴直线AQ方程5110yx=+21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）设定义在R上的函数()fx满足：对于任意的12Rxx∈，，当12xx<时，都有()()12fxfx≤.（1）若()31fxax=+，求a的取值范围；（2）若()fx是周期函数，求证：()fx是常值函数；（3）若()fx恒大于零.()gx是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是()gx的最大值.函数()()()hxfxgx=，证明：“()hx是周期函数”的充要条件是“()fx是常值函数”.【答案】（1）记12xx<，若()()12fxfx≤，()31fxax=+则()()()3312120fxfxaxx−=−≤，∵12xx<，∴33120xx−<，∴0a≥（2）若()fx是周期函数，记其周期为kT，任取0xR∈，则有()()00kfxfxT=+又由题意，对任意[]00,kxxxT∈+,()()()00kfxfxfxT≤≤+，∴()()()00kfxfxfxT==+又∵()()00,kfxfxnTnZ=+∈，并且[][][][][]0000000000...3,22,,,,2...kkkkkkkkxTxTxTxTxTxxxTxTxTR−−−−−+++=所以对任意xR∈，()()0fxfxC==，为常数，证毕。（3）充分性：若()fx是常值函数，记()1fxc=，设()gx的一个周期为gT，则()()1hxcgx=⋅，则对任意0xR∈，()()()()010100gghxTcgxTcgxhx+=⋅+=⋅=，故()hx是周期函数成立。必要性：若()hx是周期函数，记其一个周期为hT。集合(){}|Axgxm==任取0xA∈，则必存在2NN∈，使得020hgxNTxT−≤−，即[]00020,,ghxTxxNTx−⊆−，0000000000...3,22,,,,2...ggggggggxTxTxTxTxTxxxTxTxTR−−−−−+++=∴[][][][]02020200020202...2,,,,2...hhhhhhxNTxNTxNTxxxNTxNTxNTR−−−+++=()()()()()()000020202=hhhhxgxfxhxNTgxNTfxNT=⋅−=−⋅−因为()()0020hgxMgxNT=≥−>，()()0020hfxfxNT≥−>，因此若()()002hhxhxNT=−必有()()002hgxMgxNT==−，且()()002=hfxfxNTc−=，而由第（2）问证明可知对任意xR∈，()()0fxfxC==，为常数。必要性证毕。