高考数学一轮复习人教A版第5章第4讲数列的求和名师制作优质课件

第4讲　数列的求和* 考纲要求 考点分布 考情风向标 1.掌握等差数列、等比数列的求和公式.2.了解一般数列求和的几种方法 2013年新课标Ⅰ第17题(2)考查裂项相消法数列求和；2013年大纲第17题考查裂项相消法数列求和；2014年新课标Ⅰ第17题(2)考查错位相减法数列求和；2016年北京第15题(2)考查分组法数列求和，山东第19题(2)考查错位相减法数列求和；2017年新课标Ⅰ第17题(2)考查等比数列求和，新课标Ⅱ第15题及新课标Ⅲ第17题(2)考查裂项相消法数列求和 从近几年的高考试题来看，对等差、等比数列的求和，以考查公式为主；对非等差、非等比数列的求和，主要考查分组法、裂项相消法、错位相减法等.题型既有选择题、填空题，又有解答题，属较难题目*数列求和*B*A*3.若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，则a5＝_____，前8项的和S8＝________.(用数字作答)为10，则项数n＝_______.16255120*考点1公式或分组法求和例1：(2016年北京)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.(1)求{an}的通项公式；(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.*设等差数列{an}的公差为d.因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以1＋13d＝27，即d＝2.所以an＝2n－1(n＝N*).WWW.ziyuanku.com* 【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成，则求和时，可采用分组求和，即先分别求和，再将各部分合并.(2)由(1)知，an＝2n－1，bn＝3n－1.因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1.从而数列{cn}的前n项和Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1*【互动探究】1.(2015年福建)在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.(1)求数列{an}的通项公式；*(2)由(1)，可得bn＝2n＋n.所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)＝(211－2)＋55＝211＋53＝2101.*考点2裂项相消法求和解：(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，两式相减，得(2n－1)an＝2.ziyuanku.com** 【规律方法】在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前面剩多少项则后面也剩多少项.常见的拆项公*【互动探究】****考点3错位相减法求和例3：(2017年天津)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)求数列{a2nbn}的前n项和(n∈N*).*解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12.因为b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝2.所以bn＝2n.由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8.　①由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16.　②联立①②，解得a1＝1，d＝3.由此可得an＝3n－2.所以{an}的通项公式为an＝3n－2，{bn}的通项公式为bn＝2n.*(2)设数列{a2nbn}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，得Tn＝4×2＋10×22＋16×23＋…＋(6n－2)×2n，2Tn＝4×22＋10×23＋16×24＋…＋(6n－8)×2n＋(6n－2)×2n＋1，上述两式相减，得－Tn＝4×2＋6×22＋6×23＋…＋6×2n－(6n－2)×2n＋1*＝－(3n－4)2n＋2－16.所以Tn＝(3n－4)2n＋2＋16.所以数列{a2nbn}的前n项和为(3n－4)2n＋2＋16.【规律方法】(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，那么求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法，一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比，然后作差求解.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.*【互动探究】*** 思想与方法 ⊙放缩法在数列中的应用《南方新课堂·高考总复习》2019届高考理数一轮复习：第5章第4讲数列的求和**(3)证明：当k∈N*时，k2＋∴＝＝《南方新课堂·高考总复习》2019届高考理数一轮复习课件：第5章第4讲数列的求和*∴<＝*【规律方法】本题要利用放缩技巧构造裂项相消法求和.本题的关键在于能否看出条件方程能十字相乘求出Sn，然后利用an＝Sn－Sn－1求an，请记住，他山之石，可以攻玉！* 【互动探究】* 假设存在符合条件的k： ①若k为偶数，则k＋5为奇数. 有f(k＋5)＝k＋3，f(k)＝2k－2. 若f(k＋5)＝2f(k)－2，则k＋3＝4k－6⇒k＝3与k为偶数矛盾.不符舍去.* ②若k为奇数，则k＋5为偶数. 有f(k＋5)＝2k＋8，f(k)＝k－2. ∴2k＋8＝2(k－2)－2,8≠－6，则这样的k也不存在. 综上所述，不存在符合条件的k∈N*，使得f(k＋5)＝2f(k)－2. (3)证明：∵Pn(n－2,2n－2)，P1(－1,0)，*********WWW.ziyuanku.com****ziyuanku.com**************《南方新课堂·高考总复习》2019届高考理数一轮复习课件：第5章第4讲数列的求和**《南方新课堂·高考总复习》2019届高考理数一轮复习课件：第5章第4讲数列的求和*******