高数答案习题册答案第六版下册同济大学数学系编

第八章多元函数的微分法及其应用、设f(x,y)x2।1y2,(x,y)多元函数概念答案：f((x,y),y2)(x22\2y)、求下列函数的定义域:1、f(x,y)1x2(1y)2、.yzarcsin—x求下列极限:{(x,/吗。,。）2.xsin、/m,2)(1；)3xx四、证明极限（x,y）%。）？x证明：当沿着x轴趋于（0,0）,求：f[(x,y),y2].4224x2xy2y，2{(x,y)|yy)Iyx,x0};不存在.时，极限为零，当沿着二者不相等，所以极限不存在五、证明函数f（x,y）证明：当（x,y）…1xysin2,x0,(0,0)时，2,(x,y)y(x,y)x21);(0)21yx趋于（0，0）时，极限为一2（0,0），人在整个xoy面上连续。（0,0）f（x,y）为初等函数，连续。当（x,y）(0,0)时,limxysin(x,y)(0,0)Jf（0,0），所以函数在（0,0）也连续。所以函数在整个xoy面上连续。六、设zx解：2yf(x)=f(x2xy）且当y=0时zx22y2偏导数2x2xy求f（x）及z的达式.y1、设z=xyyxex验证xy证明：—xyexex,一yxex，zy-xyyyxyxexxy2、求空间曲线：3、设f(x,y)xyz4、设uxy,求z解：—-x?1xy5、设uxx2y2zxy311在点(组」,1)处切线与y轴正向夹角(―)y2242(y1)2arcsinJ-,求fx(x,1)(1),yuux'yuyuzzzy.2xylnxy1-xylnxy2z2,证明：一2x6、判断下面的函数在(0,0)处是否连续是否可导(偏导)说明理由f(x,y)…1xsin-2xy0,limf(x,y)0f(0,0)连续；fx(0,0)x0y0limsinx07、设函数f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，求(2fx(a,b))00，一、..00c不存在，fy(0,0)lim0y0y0f(ax,b)f(ax,b)lim——x0x§3全微分1、单选(1)二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的(A)必要条件而非充分条件(B)充分条件而非必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件(2)对于二元函数f(x,y),下列有关偏导数与全微分关系中正确的是―(A)偏导数不连续，则全微分必不存在(B)偏导数连续,则全微分必存在(C)全微分存在，则偏导数必连续(D)全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：TOC\o"1-5"\h\zyy1)zexdzex(-yrdxdy)xx)zsin(xy2)解：dzcos(xy2)(y2dx2xydy)yyyyV:1,1V)uxz解：du工xzdx—xzlnxdy竹xzlnxdzzzz3、设zycos(x2y),求dz(0,4)解：dzysin(x2y)dx(cos(x2y)2ysin(x2y))dydz|(0,/=4dx—dy2求：df(1,2,1)—(2dx254dy5dz)5、讨论函数f(x,y)(x221y)sin———2xy的连续性、偏导数、可微性-111解：lim(xy)sin(x,y)(0,0)22xyf(0,0)fx(0,0)limx(x,y)(0,0)f(x,0)f(0,0)1、解:2、3、4、f(x,y)0(x)2(y)20,所以可微。vu,usint,v§4小卡dze,求一dt解：—xdz_cost.(sint)dt,(x,y)(0,0)在(x,y)(0,0)所以f(x,y)在(0,fy(0,0)(M。,。)“0」1tteelnsint(sint)e(xy)2x3y,,求—,—zxy(2x3y)(xxnf(J2),xf(x22xf12yfi(0,0)点处0)点处连续。多元复合函数的求导法则、2x3y12x3y,,、y)3(xy)ln(xy),f可微，证明x—2y—nzy2,2xy),其中2yf2,22xf2,—zf具有二阶连续偏导数，求2x(fn(2y)fi22x)2z2y2y(f2i(2y)f222x)5、解:6、2f14xy。解:7、设Z224(xy)34xyf222f14x2f112r8xyf124yf222刍2f1y22r4yf118xyf124xf22f(xy,-)flx4f2xf1F(x,y,z)，义、一g(-),其中f具有二阶连续偏导数、y1一gyg具有二阶连续导数，求y(fiixf12-)xzf(x,y),duFiF2(x)dxz(u,v),且变换uv其中z具有二阶连续偏导数,证明:F3(fxfyx2yxay求常数2z-2yx2z""2u4a得:(105a)uv2—(6uvzy2u-2v22、ua)—2vx(x),求dudx(x))。可把方程a的值2zx(af22x3)1)x1Tg-=0y化为2z——0，uvza—v2z2z-2ua=32z-2x(a2)2u2v2u8、设函数f(x,y)又，(x)f23(a+ab+ab+b)具有连续的一阶偏导数,x,f[x,f(x,x)]f(1,1)=1,(1).和,才(1,1)/(1)a,1、设ylnyxy-dx解：令F(x,y)ylnyFx1,FyIdylny,至2、设zz(x,y)由方程yf(勺确定，其中y(x222、zyz)—x2xy-zy2xz3、设zz(x,y)由方程eyz所确定，其中f可微，求f2/(1,1)b隐函数的求导公式1lnyf可微，证明4、x(1z)'y222xyz22zxyx(1zz)35、解:6、7、1、解:2、3、L求dydxdzdxdydxdzdx0)zz(x,y)由方程F(xy,yz,xz)0所确定,F可微,求-,F(x,y,z)F(xy,yz,xz)，则zf(x,y)由方程zx设z=z(x,y)由方程3xyx.3xyIn3xzsin(yz)13z2求螺旋线切线方程为xysin(yz)FxFiyxcos(yz)3xy.yln3cos(yz)23zxysin(yz)zFyF1xF2,yFzF2XF3dzdxdy)zz,xy,zF3F2xF30所确定，求dz(求xyz3y所确定,微分法在几何中的应用x2cost,y2sint,z3t在对应于t一处的切线及法平面方程4法平面方程、.2(x.2)222xyz求曲线22zx解：切线方程为求曲面2x23y2解：切平面方程为2(x一x1及法线方程250人2在yx349在(11)3(yy133z-432(y(3,4,,2)3(z—)045)处的切线及法平面方程z5--,法平面方程：4x3y002)处的切平面及法线方程1)2(z2)z224、设f(u,v)可微，证明由方程f(axbz,aybz)0所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令F(x,y,z)f(axbz,aybz)，则Fx3a,Fyf2a,Fzbf1bf2,n(f1a,f2a,bf1bf2)n(b,b,a)0,所以在(Xo,y。，。)处的切平面与定向量(b,b,a)平行。TOC\o"1-5"\h\zHYPERLINK\l"bookmark68"\o"CurrentDocument"22225、证明曲面x3y3z3a3(a0和为a22222证明：令F(x,y,z)x3y3z3a3在任一点X0,y0,z0处的切平面方程为)上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方iii232323，则Fx—X,Fy—y,Fz—z,3y33iiix0"xx°)y03(yy0)z03(z〃)在在三个坐标轴上的截距分别为x03a3,y03a3,z0?a3,在三个坐标轴上的截距的平方和为证明曲面zxf(―)上任意一点M(x0,y0,z0),(x00)处的切平面都通过原点x7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t,总有F(tx,ty,tz)tkF(x,y,z)k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明：F(tx,ty,tz)tkF(x,y,z)两边对t求导，并令t=1xFxyFyzFzkF(x,y,z)设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：Fx(x0,y0,z0)(xx0)+Fy(x0,y0,z0)(yy0)+Fz(x0,y0,z0)(zz0)=0此平面过原点(0,0,0)方向导数与梯度21、设函数f(x,y)xxy2)在点(1,3)处沿着方向2y,1)求该函数在点(1,3)处的梯度l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为gradf(1,3)i5j,f7(1,3)到cos5sin方向导数达到最大值的方向为s(1,5),方向导数达最小值的方向为222、求函数uxyyzs(1,5)o2「zx在(1,2,-1)处沿方向角为6009001500的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：：方向导数为一”(121)1任，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向TOC\o"1-5"\h\zl(,,)2gradu(1,2,1)2i5j,3k,此时最大值为-u|(1,2,1)J38232.33、求函数uxyz在(1,1,-1)处沿曲线xt,yt,zt在(1,1,1)处的切线正万向(对应于t增大的方向)的方向导数。解：：—y2z3,—2xyz3,—3xy2z2,s(1,2,3),该函数在点(1,1,-1)处的方xyz向导数为u「(i,i,1)gradu(1,1,1)u2~2，zy2：i32yu~222，xyzz2.2.-j.k332z—222，xyz多元函数的极值及求法1、求函数f(x,y)3x23y22x2y2的极值。答案：(1,1)极小值点332.求函数f(x,y)x2y22lnx18lny的极值答案：极小值f(1,3)1018ln33.函数f(x,y)2x2axxy24、求函数zx2y21在条件x解：F(x,y,)x2y21Fx0(22)Fy0(3,32y在点(1,1)处取得极值，求常数a(-5)y30下的条件极值(xy3)»11,极小值为一25、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。(长和宽2米，高3米)6、在球面x2y2z25r2(x0,y0,z0)上求一点，使函数f(x,y,z)lnxlny3lnz达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明a,b,c有abc327(--b-c)55证明：令Llnxlny3lnz(x2y2z25r2)令—0,—0,—0,x2y2z25r2解得驻点xyr,zJ3r。所以函数xyzf(x,y,z)lnxlny3lnz在xyr,zJ3r处达到极大值。极大值为ln(3<3r5)222即xyz33<3r5x2y2(z2)327(r2)527(-——y——z-)5,令22.2xa,yb,z3c,得abc27r)5。27、求椭球面人y-z21被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的2长度解:z21)2(xyz)2ix-Fx2x203Fy2yiy20Fy2zx2(32222HYPERLINK\l"bookmark158"\o"CurrentDocument"1(x2y2z2)d2i11"13长半轴J”;3,短半轴6:6第八章自测题■、选择题：(每题2分，共14分)11132—x-y—(xV)(00)1、设有二元函数f(x,y)x2y4,(x,y)(0,0),则0,(x,y)(0,0),A、BC、Dklim(x,y)(0,0)lim(x,y)(0,0)lim(x,y)(0,0)lim(x,y)(0,0)f(x,y)存在;f(x,y)不存在;f(x,y)存在,f(x,y)存在,f(x,y)在(0,0)处不连续;f(x,y)在(0,0)处连续。2、函数f(x,y)在P0(x0，Yo)各一阶偏导数存在且连续是f(x,y)在P0(x°,y°)连续的[]A、必要条件；B、充分条件;C、充要条件；D、既非必要也非充分条件。xy3、函数f(x,y)xy0,A极限值为1;C连续；xy,在(0,0)点处xyB、极限值为-1;D、无极限。4、zf(x,y)在P0(x0,y0)处fx(x,y),fy(x,y)存在是函数在该点可微分的[](A)必要条件;(B)充分条件；(C)充要条件；(D)既非必要亦非充分条件。5、点O(0,0)是函数zxy2的[](A)极小值点；(B)马1点但非极值点；(C)极大值点；(D)最大值点。6、曲面ezzxy3在点P(2,1,0)处的切平面方程是(A)2xy40；(B)2xyz4；(C)x2y40；(D)2xy507、已知函数f(t,x,y),x(s,t),y(s,t)均有一阶连续偏导数，那么(A)fx(C)f、填空题:(B)ftfx1、lim(x,y)(0,0)(每题3分,2xsiny(D)18分)ft2、设3、设4、设f(x,y,z)exyz,则3fexyz(13xyzxf(x,y)sin(xy)2y0,5、曲线(x2y2x2y)x6、曲线2x三、计算题xyxy0,,则fx(0,1)(00,(1,0)处的全微分.dz(dxx在点Po(1,1,1)处的切线方程为zx122y4y6z(每题6分)1、设f(x,y)xln(x23x在点(1,1,1)处的切线方程为42dy)fx(x,y)ln(x22、设f(x,y)ln0到R(2,3、设2xy,解:4、设f(x,y))，求f(x,y)的一阶偏导数2x2fy(x,y)2xy~22xy求此函数在点射方向的方向导数2xf1x2Po(1,1)处的全微分。并求该函数在该点处沿着从(df,1.(i,i)dx/,f具有各二阶连续偏导数，求25)f(x,0)f(0,0)当(x,y)(0,0)时，有2x3f11y3鼻f22x1sin-2,xy0,xsinlimx0x1~~2—不存在,0求fx(x,y)0和fy(x,y)o故fx"。不存在，同理，fy(0,0)也不存在。_xfx(x,y)—2xfy(x,y)f(x,y)f[(x)fl(x)2x2x2xy2y2u解：记rsin—nn~~oTycos，x2y2(x2y2)3/2sin1由方程zy,(y)x]2y2、3/2y)(x)fn0xy[(x)x2f(r)确定函数1cos^—x0所确定，求dzf具有连续的二阶偏导数,(x)[fii(y)1]fi2uu(x,y),424xuu22,2(u22)x2yxy22-,-Juyf(.x2yf(r)r1rf(r)rf(r)f12(y)](y)f22[f21(x,y),求，24xyHYPERLINK\l"bookmark182"\o"CurrentDocument"222(u22)2yuxy~22~uz2）,式中f二阶可导,dz可导,dxdy)2zf22(y)]2u2x2u2y2u2zx2uxux,—y(r)rf(r)f(r)r3rf(r)zr2f(r)3[f(r)rf(r)]f(r)rf(r)类似地，有2u2y2u2zf(r)3[f(r)rf(r)]5r2-rf(r)3[f(r)rf(r)](r)rf(r)3rf(r)rf(r)2u2xf2u2y(r)r2u2zr2f(r)3[f(r)r5rf(r)]r23[f(r)r3rf(r)]四、（io分）试分解正数a为三个正数之和，而使它们的倒数和为最小。…人一，…、一111设三个正数为x,y,z,则xyza,记F一—一，令xyzTOC\o"1-5"\h\z111-——(xyza)xyz则由1X-2X1y-2y1z2~2zxyza五、证明题：(io分)f连续可导。试证：曲面zxf(yz)上任一点处的切平面都平行于一条直线，式中证明：曲面在任一点M(x,y,z)处的切平面的法向量为n1,f,1f定直线L的方向向量若为S1,1,1,则ns0,即ns则曲面上任一点的切平面平行于以(1,1,1)为方向的定直线。第九章重积分二重积分的概念与性质1、由二重积分的几何意义求二重积分的值I辰―y2dxdy其中D为：x2y24D(Ix2y2dxdy=.4.2—..4.2—)2、设D为圆域x2y2a2,aD-33Q右积分仙2x2y2dxdy=12，求a的值。D解：a2x2y2dxdy=2.3.「a8D3、设D由圆(x2)2(y1)22围成，求3dxdy解：由于D的面积为24、设D:{(x,y)|3x5,0I1ln(xy)dxdy,I2D解：在D上，ln(xy)故=y1},[ln(xy)]2dxdy,比较I1,D[ln(xy)]2,故I1I2与12的大小关系5、设f(t)连续，则由平面z=0,柱面x2y21,和曲面z[f(xy)]2所围的立体的体积，可用二重积分表示为V[f(xy)]2dxdyD:x2y216、根据二重积分的性质估计下列积分的值・2・2sinxsinydxdyD：0x,0yD/c.2.2,,2、(0sinxsinydxdy)D7、设f(x,y)为有界闭区域D:上的连续函数，求1.1lim—2f(x,y)dxdya0a2d)f(0,0)i解：利用积分中值止理及连续性有lim——2f(x,y)dxdylimf(a02a0aD8§2二重积分的计算法1、设I—x—dxdy,其中D是由抛物线yx21与直线y=2x,x=0所围成的区dy1TOC\o"1-5"\h\z域，则i=().71_91A:-ln3ln2-B:-ln3ln2—828291_91C:—ln31n2—D:—ln31n2—82842、设D是由不等式|x|y1所确定的有界区域，则二重积分(xy)dxdy为D()A:0B:1C:2D:13—33、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分yexydxdy为(1,-e21.e21-e214-e214-e21-e224、设f(x,y)是连续函数,则二次积分01dx1x1f(x,y)dy为(1.y1-.a0dy1f(x,y)dx2.y21dy11f(x,y)dxB10dyf(x,y)dxC0dyy11f(x,y)dx12dy1y212/f(x,y)dxd0dy1f(x,y)dx5、设有界闭域D、D2关于oy轴对称,积分f(x2y)dxdy为(DA2f(x2,y)dxdyBD1C4f(x2,y)dxdyDD1f是域D=D+B上的连续函数，则二重)4f(x2,y)dxdyD212f(x,y)dxdy2DD26、设D是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|<1D22A2f(x,y)dxdyBD122C8f(x,y)dxdyDD1ax7、.设f(x,y)为连续函数，则0dx0aaAdyf(x,y)dxB0yayC0dy0f(x,y)dxD上的连续函数，则二重积分f(x2y2)dxdy为()-224f(x,y)dxdyD11,22-f(x,y)dxdy2D1f(x,y)dy为()ay0dyaf(x,y)dxax0dy0f(x,y)dxTOC\o"1-5"\h\z2入x98、求I二dxdy,其中D:由x=2,y=x,xy=1所围成.(—)dy43lnx9、设I=1dx0f(x,y)dy,交换积分次序后I为：3lnxln332x2.1,xdx—2dx01yI=1dx0f(x,y)dy=0dyeyf(x,y)dx2x44x10、改变二次积分的次序：0dx0f(x,y)dy2dx0f(x,y)dyx11、设D={(x,y)|00)围成立体表面的外侧(12R)227.设S是椭球面)z21的上半部分，点Px,y,zS,为S在点22P处切平面，x,y,z为点o0,0,0到切平面的距离，求一z一dSSx,y,zS(2)四、(9分)在变力Fyzixzjxyk作用下，质点由原点沿直线运动,222到椭球面—三—1第一卦限的点P(x,h,z),问x,h,z取何值时，a2b2c2力F所作的功最大求出W的最大值。((3abc)第十一章无穷级数常数项级数的概念和性质、，一3n一一,设级数吝，则其和为()n05n□22、若limann0,则级数an收敛且和为发散收敛但和不一定为0一可能收敛也可能发散3、若级数收敛于S,则级数(unun1)(A收敛于2sn1B收敛于2S+u4、若limbnnbn0,求解：Sn((b11)所以limSnn(b21b16n1bn(b3bnb4)5、6、收敛于2S-UiD-)的值1…(bn1)11bn1b1bn1发散若级数收敛，问数列｛an｝是否有界解：由于liman0,故收敛数列必有界。n若limann解：sna,求级数(anan1)的值n1a2)((a2a3))……(anan1)a1an1故(ann1an1)lim(a1an1)a1an7、求(2n后2n齿)的值n1解：Sn(3aa)(5a3a)……(2n1a2nJa)2n1aa故(2n1an12n1a)=lim(2n而a)1an8、求的和n1n(n1)(n2)§2(4)常数项级数的审敛法、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性1、判定级数m(3n2)(3n1)的敛散性解：由于——(3n1,所以3手发散nanen1n6、判定级数4nn15n3n的敛散性解:limnan1an1,所以4nn15n3n收敛、n.tan——tn12n1n、(an)n1n1、判别下列级数是否收敛3一.nnsin一解：I-Bl2n3nnSin————1绝对收敛2n收敛a1收敛如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛7、（1）n1~nT（绝对收敛）n110、（i）n1（«"7n'n）（条件收敛）n13.nnSin——TOC\o"1-5"\h\z四、判定一怜-是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛n12n33二,用比值判别法知、收敛，所以2nonn12ni3幕级数1、设幕级数anxn在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（）n0A绝对收敛B条件收敛C发散D可能收敛也可能发散2、级数的收敛域(0,4]3、求幕级数[Hnxn3nxn]的收敛半径(1)n12n34、若级数n否绝对收敛an(x12)n在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是(绝对收敛)5、求幕级数(x5)2n1n12n4n的收敛域解：首先判断其收敛区间为(-7,-3),当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收敛域为(-7,-3)6、求幕级数(x匚的收敛域n131n而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以解：首先求得收敛区间为(-3,收敛域为(-3,3]7、求幕级数n4n1-—的和函数14n1/11x(-ln——41x1一arctanxx2-1