任意角规矩三分法全文最新

《任意角规矩三分法》renyijiaoguijusanfenfa为古希腊所谓几何三大问题之一——“三等分角问题”作解（版权保护登记号：蒙作登字——2015——A——00000562）高世英著ADEBC(0°＜∠ABC≤180°) 联系单位：内蒙古自治区包头第一热电厂联系人：高先生联系电话：0472——5134117（宅电）网址：tntgaofeng＠126.com手机：15024798201目录序BF几何?关于等腰三角形底边长度的探讨┄┄┄┄┄┄┄XUⅠ──Ⅲ《任意角规矩三分法》为古希腊所谓几何三大问题之一──“三等分角问题”作解Ⅰ2015年受内蒙古自治区版权局版权保护（登记号：蒙作登字──2015──A──00000562）┄┄┄1──19跋BF几何?┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄16──17破解古希腊所谓几何三大问题之一“三等分角问题”的可循规律┄┄┄┄┄┄┄┄17简捷作图┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄20──22《任意角规矩三分法》为古希腊所谓几何三大问题之一──“三等分角问题”作解方案Ⅱ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄23──27“周平钝锐太极三分尺”1994年荣获国家外观设计专利。（专利号：ZL94312917．6）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄28─34序BF几何?（关于等腰三角形底边长度的探讨）已知：在△ABF中，∠ABF=∠AFB（0°＜∠ABF=∠AFB≤60°）试求：BF几何？ 解：以B为顶点，以BF为公共边作∠CBF=2∠ABF。并延长CB交FA之延长线于D。（∠ABF=60°时，A、D、重合）。∵∠ABF=∠AFB【已知】，∵∠CBF=2∠ABF=2∠AFB【所作】，∵∠FBC=∠BFD（∠AFB）+∠BDF【三角形中，任意外角等于和它不相邻的两个内角之和】，∴∠BFD=∠BDF。∴BD=BF【三角形中,等角对等边】。故D、F以B为圆心共圆【距一定点等距离的四点共圆】。以B为圆心，DB为半径，作⊙BD。D、F皆在此圆上。令⊙BD交BA及其反向延长线于M、E；交∠ABC角平分线及其反向延长线于K、W。当∠ABF=60°时，CB之延长线与BA相重合。A、D、M重合（即BF=BD=BA）；E、C重合（见图二）。连结MW、DK。令MW、DK相交于T（∠ABF=60°时，A、D、M、T重合）。在⊙BD中，∵∠ABK=∠KBC【所作】，∴∠DBW=∠WBE=∠ABK（∠MBK）=∠KBC【对顶角相等】。∴∠DKW=∠MWK【在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么，所对应的其余各组量就都分别相等】。XU─Ⅰ在△TWK中，∵∠TWK=∠TKW（∠MWK=∠DKW），∴TW=TK【三角形中，等角对等边】。∵WB=KB【同圆或等圆的半径相等】，故过T、B作直线TB时，则TB⊥WK【等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合】。当线段TB、BA相交（0°＜∠TBA＜60°）时，过T、B、A可作一圆【不在同一直线上的三点定圆】。当线段TB=BA，且TB、BA重合（∠TBA=0°，∠ABF=60°时），过线段TB（BA）两端点可作一圆【已知直径的位置和长短】。作TB弦的垂直平分线IJ，作BA弦的垂直平分线SU,令IJ、SU相交于A′；A′为圆心。求TB弦的弦心距：OA′＝√BA′2-BO2＞0。求BA弦的弦心距：A′A′=0。依据在同圆或等圆中，“【大弦的弦心距较小】”的定理和“【直径是最大的弦】”的推论，BA之弦心距A′A′=0。BA是最大的弦──直径。而TB之弦心距OA′＞0，TB为弦。在∠ABF=60°(∠TBA=0°)时,TB、BA重合,TB之弦心距OA′=0；BA之弦心距A′A′=0。据此判定TB、BA皆为直径。以A′为圆心，BA′为半径，作⊙A′。B、T、A[B、T（A）]在此圆上。XU─Ⅱ连结TA，∠BTA=90°【直径上的圆周角是直角】（∠ABF=60°时，T、A重合）。以B为圆心，BA为半径，作⊙BA。令⊙BA交BA、BC于A、C（∠ABF=60°时，A、D、M、T重合；E、C重合。⊙BD、⊙BA圆心皆为B，两圆半径BD=BA，⊙BD、⊙BA重合）。连结AC，令AC交WK于H（∠ABF=60°时，AC与互为反向延长线的BA、BC重合，H重于B）。∵BA=BC【同圆或等圆的半径相等】，∵∠ABK=∠KBC【所作】，∴BH⊥AC【等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合】。故TBHA是矩形【有三个角是直角的四边形是矩形】。∴TA∥BH；∴TB∥AC；∴TA=BH【矩形对边平行且相等】。∴∠MTA=∠MWB【两直线平行，同位角相等】。∵∠MWB=∠WMB【在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么所对应的其余各组量就都分别相等】。∴∠MTA=∠TMA【等量代换】。∴TA=MA【三角形中，等角对等边】。∴TA=MA=BH。则：BF=BM=BA+AM=BA+BH（∠ABF=60°时，BH=0）。于是等腰三角形△ABF的底边BF的长度，等于等腰三角形△BCA底边CA上的高BH与其腰长BA之和（见图一、二）。XU─Ⅲ任意角规矩三分法为古希腊所谓几何三大问题之一“三等分角问题”作解方案Ⅰ2015年受内蒙古自治区版权局版权保护（登记号：蒙作登字──2015──A──00000562）已知：∠ABC（0°＜∠ABC≤180°）。（见图三、四）求作：三等分∠ABC。解：①以∠ABC的顶点B为端点，在BA、BC两边上截取BA′=BC′。②以A′、C′为圆心，取BA′为半径，作⊙A′、⊙C′。令⊙A′、⊙C′相交（切）于B、H（B）。交BA、BC于A、C。③作⊙A′、⊙C′的公共弦BH[平角时，⊙A′、⊙C′相切于B，过B作⊙A′、⊙C′的公切线BH（B、H重合）]。延长公共弦BH为直线。④以A为圆心，2BA+BH（平角时，公共弦BH=0）为半径，作弧交直线BH于K。⑤以K为圆心，BA为半径，作iXj弧。⑥以B为圆心，2BA+BH（BH同上）为半径，作弧与iXj弧相交于i、j。⑦过B、i作直线Bi。⑧过A、K作直线AK，令AK与Bi相交于F。则∠ABF=1／3∠ABC。1：（一）在⊙A′、⊙C′中，（见图三、四）∵BA′=BC′【所作】，∴BA=BC【等量的同倍量相等】。…………………【1—1】∴BHA弧=BHC弧（平角时，BnA弧=BhC弧）【在同圆或等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么，所对应的其余各组量就都分别相等】。∵BH=BH（平角时，BH=0）【公共弦】，∴⊙A′之BH弧与⊙C′之BH弧相等[平角时，d=R1+R2（A′C′=BA′+BC′），⊙A′、⊙C′只有一个公共点B，并且公共点B在⊙A′、⊙C′的连心线A′C′上，⊙C′（⊙A′）在⊙A′（⊙C′）外，⊙A′与⊙C′是外切。B为公共点即切点。故BH=0;两圆的BH弧=0°]【在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么，所对应的其余各组量就都分别相等】。∴AH弧=CH弧（平角时，AnB弧=ChB弧=AnH弧=ChH弧=180°）【等量减等量差相等】。∴∠ABH=∠CBH=∠ABK=∠CBK（平角时∠ABK=∠CBK=90°）【在同圆或等圆中，同弧或等弧所对应的圆周角相等】；【弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半】。…………【1—2】2(二)以B为圆心，取BA为半径，作⊙B，令⊙B交BA、BC及其反向延长线于A、C、P、Q（平角时，A、Q重合；C、P重合）。令⊙B交BF于Y（平角时，Y、F重合）。令AK与BC反向延长线相交于D（平角时，A、Q、D重合）。连结iK。在△ABK与△iKB中，∵BA=Ki【所作】，∵AK=iB【所作】，∵BK=KB【公共边】，∴△ABK≌△iKB【SSS】。∴∠19=∠iBK【全等三角形对应角相等】。……………………………………………【1—3】（三）过C、K作直线CK，令CK与BA反向延长线相交于E（平角时，C、P、E重合）。在△BAK与△BCK中，∵BA=BC【1—1】，∵BK=BK【公共边】，∵∠ABK=∠CBK【1—2】，∴△BAK≌△BCK【SAS】。∴∠19=∠20【全等三角形对应角相等】。…………【1—4】3（四）过B、j作直线Bj，令Bj交CK于G、交⊙B于Z（平角时，G、Z重合）。连结Kj。在△BiK与△BjK中，∵BK=BK【公共边】，∵Bi=Bj【所作】，∵iK=jK【所作】，∴△BiK≌△BjK【SSS】。∴∠iBK=∠jBK=【全等三角形对应角相等】。………………………………………………【1—5】（五）过Q作WM∥EK，令WM与BH相交于W；与Bj相交于I；与AK相交于V；与BA相交于M（平角时，A、Q、V、M、D重合）。在△BCK与△BQW中，∵QB=BC【所作】，∵∠QBW=∠CBK【对顶角相等】，∵∠WQC=∠QCK【两直线平行，内错角相等】，∴△BCK≌△BQW【ASA】。∴∠20=∠17【全等三角形对应角相等】。∴KB=WB【全等三角形对应边相等】。………………………………………………【1—6】4(六)过W、P作直线WN，令WN与Bi相交于J；与CK相交于U；与BC相交于N（平角时，C、P、E、U、N重合）。在△WBQ与△WBP中，∵∠ABK=∠CBK【1—2】,∴∠PBW=∠QBW=∠ABK=∠CBK【对顶角相等】。…………………………………………………【1—7】∵WB=WB【公共边】,∵QB=PB【所作】,∴△WBQ≌△WBP【SAS】；∴∠17=∠18【全等三角形对应角相等】。∵∠20=∠17【1—6】,∵∠19=∠20【1—4】,∵∠19=∠iBK【1—3】,∵∠iBK=∠jBK【1—5】,∴∠19=∠20=∠iBK=∠jBK=∠17=∠18【等量代换】。……………………………………………………【1—8】∴DK∥IG∥WN（平角时，VK∥IG∥WU）；∴WM∥JF∥EK（平角时，WV∥JF∥UK）【同位角相等，两直线平行】；【内错角相等，两直线平行】。…………【1—9】(七)在△DBK、△MBW、△EBK与△NBW中，5∵∠PBW=∠QBW=∠ABK=∠CBK【1—7】,∵∠ABQ=∠CBP（平角时，∠ABQ=∠CBP=0°）【对顶角相等】，∴∠DBK=∠MBW=∠EBK=∠NBW【等量加等量和相等】。∵KB=WB【1—6】,∵∠19=∠20=∠iBK=∠jBK=∠17=∠18【1—8】,∴△DBK≌△MBW≌△EBK≌△NBW【ASA】；∴DB=MB=EB=NB；∴DK=MW=EK=NW（平角时，VK=VW=UK=UW）【全等三角形对应边相等】。…………………………………【1—10】(八)连结DE，令DE与WK相交于T。连结MN，令MN与WK相交于S（平角时，T、B、H、S重合；DE、MN重合与互为反向延长线的BA、BC重合与互为反向延长线的PB、QB重合）。在△WMN与△KED中， ∵∠19=∠20=∠iBK=∠jBK=∠17=∠18【1—8】,∴∠DKE=∠MWN【等量加等量和相等】。∵DK=MW=EK=NW（平角时VK=VW=UK=UW）【1—10】,∴△WMN≌△KED【SAS】。6∴MN=DE【全等三角形对应边相等】。∵∠19=∠20=∠iBK=∠jBK=∠17=∠18【1—8】,∵DK=MW=EK=NW（平角时VK=VW=UK=UW）【1—10】,∴DE⊥WK⊥MN；∴DT=ET=MS=NS【等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合】；【等量的同分量相等】。故WK是DE、MN的垂直平分线。………………【1—11】。（九）在△WVK与△WUK中，∵∠19=∠20=∠iBK=∠jBK=∠17=∠18【1—8】,∵WK=KW【公共边】，∴△WVK≌△WUK【ASA】。∴WV=WU=KV=KU【全等三角形对应边相等】；【三角形中等角对等边】。∵VK=VW=UK=UW【1—10】,故WVKU是菱形【四条边都相等】。………………【1—12】∵KB=WB【1—6】,故过V、U两点作直线VU，则VU必然经过WK之中点B。并且WK⊥VU，B即垂足(平角时，直线VU与互为反向延长线的BA、BC重合；与互为反向延长线的QB、PB重合；与DE、MN重合)。7∴VB=UB【菱形对角线互相垂直平分】。………【1—13】(十)在△VUK中，∵VB=UB【1—13】,∵DK∥IG∥WN（平角时，VK∥IG∥WU）【1—9】,∴UG=GK【经三角形一边中点且与另一边平行的直线平分第三边】。∴BG=1/2KV【三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半】。同理BF=1/2KU。∵KV=KU【1—12】,∴BG=BF【等量的同分量相等】。∵DK∥IG∥WN（平角时，VK∥IG∥WU），∵WM∥JF∥EK（平角时，WV∥JF∥UK）【1—9】,∴BF=GK=IV=BG=FK=JU=VF=IB=WJ=UG=JB=WI。【夹于两条平行线间的平行线段相等】。[I、J、G、F共圆【距一定点等距离的四点共圆】]。故JUGB、BGKF、WJBI与IBFV是菱形【四条边都相等】。∴∠VFB=∠VIB【菱形对角相等】。……………【1—14】(十一)连结FG，令FG与WK相交于a。连结IJ，令IJ与WK相交于b。则IJ⊥WK⊥FG。b、a为垂足。8∴Ib=Jb； ∴Fa=Ga【菱形对角线互相垂直平分】。故WK是IJ、FG的垂直平分线。………………【1—15】∵WK是DE、MN、VU的垂直平分线【1—11】，【1—13】，∴IJ∥DE∥VU∥MN∥FG【如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行】。……………【1—16】(十二)连结IF，令IF与DE相交于d；与VU相交于O（平角时，d、O、A′重合）。连结JG，令JG与DE相交于e；与VU相交于R（平角时，e、R、C′重合）。则IF⊥VU⊥JG；∴IO=FO；∴JR=GR；∴∠IFB=∠IFV；∠FIV=∠FIB【菱形对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角】。∵∠VFB=∠VIB【1—14】，∴∠VFI=∠VIF（∠DFI=∠MIF）【等量的同分量相等】。故VU是IF、JG的垂直平分线。………………【1—17】∵VU与WK互为垂直平分线【1—13】，９∴IF∥WK∥JG【如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行】。……………………………【1—18】(十三)∵IF∥WK∥JG【1—18】,∵IJ∥DE∥VU∥FG∥MN【1—16】,∵Ib=Jb【1—15】,∴Ib=Jb=dT=eT；∴Id=Je【夹于两条平行线间的平行线段相等】。……………………………………………【1—19】∵IF∥WK∥JG【1—18】，∵IJ∥DE∥VU∥FG【1—16】,∵IF⊥VU⊥JG【1—17】,∴∠IJG=∠JGF=∠GFI=∠FIJ=90º；∴∠DdI=∠EeJ=90º(平角时，∠VdI=∠UeJ=90°º)【如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，这条直线也和另一条垂直】。……………………………………【1—20】∵DT=ET【1—11】[平角时，VT=UT(VB=UB)【1—13】,∵Ib=Jb=dT=eT【1—19】,∴Dd=Ee（平角时，Vd=Ue）【等量减等量差相等】。………………………………………………【1—21】（十四）连结JD、IE、ID、JE、MF（平角时，连结JV、IU；连结IV、JU、VF分别与VW、UW、VK相重合）。10在△IdD、△JeE（平角时，在△IdV、△JeU）中，∵Dd=Ee(平角时，Vd=Ue)【1—21】,∵∠DdI=∠EeJ=90°(平角时∠VdI=∠UeJ=90°)【1—20】，∵Id=Je【1—19】,∴△IdD≌△JeE(平角时△IdV≌△JeU)【SAS】。∴∠IDd=∠JEe(平角时，∠IVd=∠JUe)。即∠IDE=∠JED(平角时∠IVU=∠JUV)【全等三角形对应角相等】。∴ID=JE(平角时,IV=JU)【全等三角形对应边相等】。………………………………………………………【1—22】（十五）在△IED、△JDE(平角时，在△IUV、△JVU)中，∵ID=JE(平角时，IV=JU)，∵∠IDE=∠JED(平角时，∠IVU=∠JUV)【1—22】,∵DE=ED(平角时，VU=UV)【公共边】，∴△IED≌△JDE(平角时△IUV≌△JVU)【SAS】。∴∠DIE=∠EJD(平角时，∠VIU=∠UJV）【全等三角形对应角相等】。故D、I、J、E四点共圆(平角时，V、I、J、U共圆)【同底同侧顶角相等的两三角形的两顶点与公共底边的两端点共圆】。∵D、I、J、E四点共圆(平角时，V、I、J、U共圆),∵IJ∥DE∥VU【1—16】,∵ID=JE（平角时，IV=JU）【1—22】，11∴ID弧=JE弧（平角时，IV弧=JU弧）【在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么，所对应的其余各组量就都分别相等】；【两条平行弦所夹的弧相等】。…………………………………【1—23】（十六）在△DFI与△MIF（平角时，△VFI与△VIF）中，∵BF=GK=IV=BG=FK=JU=VF=IB=WJ=UG=JB=WI【1—14】,∵DK=MW=EK=NW（平角时VK=VW=UK=UW）【1—10】，(WV=WU=KV=KU)【1—12】，∴DF=MI(平角时，VF=VI)【等量减等量差相等】。∵FI=IF【公共边】,∵∠DFI=∠MIF（∠VFI=∠VIF）【1—17】,∴△DFI≌△MIF（平角时，△VFI≌△VIF）【SAS】。∴ID=FM(平角时，IV=FV)【全等三角形对应边相等】；∴∠DIF=∠MFI（平角时，∠VIF=∠VFI）；∴∠IDF=∠FMI(平角时，∠IVF=∠FVI)【全等三角形对应角相等】。……………………………………………【1—24】延长ID与VU相交于m′；延长FM与VU相交于m（平角时m′、V、m、D、Q、A、M重合）。在△IOm′与△FOm中，∵∠IOm′=∠FOm=90°，12∵IO=FO【1—17】，∵∠m′IO=∠mFO（∠DIF=∠MFI）【1—24】，∴△IOm′≌△FOm【ASA】。∴∠Im′O=∠FmO【全等三角形，对应角相等】。∴m′I=mF；∴m′O=mO【全等三角形，对应边相等】。m′、m为ID、FM的延长线与IF的垂直平分线VU的交点，于是在直线VU上得到了线段m′O、mO；m′O、mO公共端点O在IF上，ID、FM在IF的同一侧与VU相交于m′、m，并证得m′O=mO。故m′、m重合，权且以m记之。在△mIF中，∵∠ImO=∠FmO（∠Im′O=∠FmO），∵mI=mF（m′I=mF），∵ID=FM（平角时，IV=FV）【1—24】，∴mD=mM（平角时，mD=mM=0）【等量减等量差相等】。连结DM，则∠mDM=∠mMD=∠mIF=∠mFI。∴DM∥IF【同位角相等，两直线平行】。………【1—25】故D、I、F、M四点共圆（平角时,I、V、F三点定圆）【外角等于内对角的四边形的四顶点共圆】；【同底同侧顶角相等的两三角形的两顶点与公共底边的两端点共圆】；【不在同一直线上的三点定圆】。13∵D、I、F、M四点共圆（平角时,I、V、F三点定圆），∵ID＝FM（平角时,IV=FV）【1—24】，∵DM∥IF【1—25】，∴ID弧＝FM弧（平角时，IV弧＝FV弧）【在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么，所对应的其余各组量就都分别相等】；【两条平行弦所夹的弧相等】。………………………【1—26】（十七）∵ID弧＝FM弧（平角时IV弧＝FV弧）【1—26】，∵ID弧＝JE弧（平角时，IV弧＝JU弧）【1—23】，∴ID弧＝FM弧＝JE弧（平角时，IV弧＝FV弧＝JU弧）【等量代换】。∵1／2FM弧的度数＝∠MIF角的度数（平角时，1／2FV弧的度数＝∠VIF角的度数），∵1／2JE弧的度数＝∠JIE角的度数（平角时，1／2JU弧的度数＝∠JIU角的度数）【圆周角的度数等于圆周角所对的弧的度数的一半】，∴∠MIF＝∠JIE（平角时，∠VIF＝∠JIU）【等量的同分量相等】。∵∠IJG＝∠JGF＝∠GFI＝∠FIJ＝90°【1—20】，∴∠FIJ＋∠MIF－∠JIE=∠EIM＝90°（平角时，∠FIJ+∠VIF－∠JIU＝∠UIV＝90°）【等量代换】。∵DB＝MB＝EB＝NB【1—10】(平角时，VB＝UB)【1—13】，14∴IB=EB=MB(平角时，IB=UB=VB)【直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】。∵IB=BG=JB=BF【1—14】,∴DB=BN=IB=BG=JB=BF=EB=BM（平角时,IB=JB=UB=BG=BF=VB）。故D、I、J、E、N、G、F、M共圆（平角时，V、I、J、U、G、F共圆）【距一定点等距离的四点共圆】。以B为圆心，取BF为半径，作⊙BF，则D、M（V）、F、G、N．E（U）、J、I皆在此圆上。(十八)∵D、I、J、E、N、G、F、M共圆，（平角时，V、I、J、U、G、F共圆），∵DK∥IG∥WN（平角时，VK∥IG∥WU），∵WM∥JF∥EK（平角时，WV∥JF∥UK）【1—9】,∴IJ弧=FM弧=NG弧（平角时，IJ弧=FV弧=UG弧）【两条平行弦所夹的弧相等】。∴∠IBJ=∠MBF=∠NBG。（平角时，∠IBJ=∠VBF=∠UBG）【在同圆或等圆中，等弧对等弦，且所对的圆心角也相等】。∵∠IBJ=∠FBG【对顶角相等】，∴∠MBF=∠FBG=∠NBG（平角时，∠VBF=∠FBG=∠UBG）。∴∠ABF=∠FBG=∠GBC=1／3∠ABC。（见图三、四）15跋BF几何?（1）∵DK∥IG（见图三、四），∴∠AFB=∠FBG。∵∠ABF=∠FBG=∠GBC=1／3∠ABC，∴∠ABF=∠AFB=1／3∠ABC。∴BA=AF。同理：BC=CG。（2）∵AK=2BA＋BH，∵BA=AF，∴FK=（2BA＋BH）－BA=BA＋BH。∵BF=GK=IV=BG=FK=JU=VF=IB=WJ=UG=JB=WI，∴BF=GK=IV=BG=FK=JU=VF=IB=WJ=UG=JB=WI=BA＋BH。（3）连结AZ，令AZ与BF相交于L；连结YC，令YC与BG相交于t。在△ABZ中，∵∠ABF=∠FBG=∠GBC=1／3∠ABC，∵BA=BZ，∴BF⊥AZ；∴AL=LZ。同理：BG⊥YC。∴Yt=tC。（4）连结FZ，连结YG（平角时，FZ、YG重合于FG）。在△ALF与△ZLF中，16∵∠ALF=∠ZLF=90°，∵AL=ZL，∵LF=LF，∴△ALF≌△ZLＦ（SAS）。∴AF=ZF。同理YG=CG。∵BA=AF，（BC=CG），∵A、C、Y、Z在同一圆上，∴BA=AF=BY=YG=BZ=ZF=BC=CG。于是△ABF（△ZBF、△YBG、△CBG）为底边BF（BG）＝BA+BH，而腰长为BA的等腰三角形，其底角的度数等于∠ABC度数的三分之一。根据《任意角规矩三分法》对破解“三等分角问题”的诠释，经过对部分结论的进一步推导，遂以如下三个途径阐述破解古希腊所谓几何三大问题之一——“三等分角问题”的可循规律。破解“三等分角问题”的可循规律（Ⅰ）两单位圆相交（切），取公共弦（两单位圆相切时，公共弦为0）加单位圆直径作底边，以单位圆直径作腰的等腰三角形的底角的度数，等于经两单位圆的一个公共点所作的两单位圆的两条直径所夹的角的度数的三分之一。（Ⅱ）弦心距（圆心角为平角时，弦心距为0）加半径作底边，以半径为腰的等腰三角形的底角的度数，等于该弦所对圆心角度数的三分之一。（Ⅲ）等腰三角形底边的长度，等于以其底角（0°＜∠ABF≤60°）度数三倍的平面角为顶角，以其腰长为腰构成的等腰三角形的底边上的高与其腰长之和。17DTAMDSTMASIOA′JFIOA′JFUWBHKWBHKCUEEC图一：0°＜∠ABC＜180°图二:∠ABC=180°m′mdHLYDM19 QVAIOA′FiWbTBSaKJRC′GPCjEUNZ2017t18eX图三:任意角规矩三分法方案Ⅰ0°＜∠ABC＜180°18m′DQVAMmiIdOA′nYFWL17bTBHSa19K1820JteRC′hGZXEPUCNj 图四：任意角规矩三分法方案Ⅰ∠ABC=180°19简捷作图Ⅰ已知：∠ABC（0°＜∠ABC≤180°）。求作：以简捷方式作出∠ABC的三等分线。解：①以∠ABC顶点B为圆心，以BA为半径，作⊙B令⊙B交∠ABC两边于A、C。②连结AC。③作∠ABC角平分线BH，令BH交AC于H，令BH反向延长线交⊙B于D。④以D、H为圆心，以BA为半径，作⊙D、⊙H。令⊙D、⊙H相交于E。⑤连结DE、HE。⑥以A为端点，在AC弧上截取AG弧＝EB弧。⑦以B为端点，过B、G作射线BG。则∠ABG＝1／3∠ABC。说明：图五△DEH中，DH＝DB+BH＝BA+BH为底边，而腰长为DE＝EH＝BA的等腰三角形见图五a（∠ABC＝180°时，DE＝EB＝BA＝DH，BH＝0）。见图五之b。根据《任意角规矩三分法》中序之结论和跋中三条规律之描述。则∠EDH＝∠EHD＝1／3∠ABC。因为⊙B、⊙D与⊙H之半径相等；又因AG弧与EB弧相等，所以∠ABG＝∠EDH＝∠EHD＝1／3∠ABC。20AEGDBHC图五：简捷作图Ⅰ简捷作图Ⅱ已知：∠ABC（0°＜∠ABC≤180°）。求作：以简捷方式作出∠ABC的三等分线。解：①以∠ABC顶点B为圆心，以BA为半径作⊙B，令⊙B交BA于A，交BC及其反向延长线于C、D（∠ABC=180°时，A、D重合）。②连结DA，令DA交∠ABD角平分线于Ο（平角时，A、D、Ο重合）。③以A为圆心，ΟA为半径，作⊙A交BA于M（平角时，A、D、Ο、M重合）。④以B为圆心，BM为半径作⊙BM。（平角时，⊙B、⊙BM重合）。⑤以A为圆心，BA为半径，作⊙AF，令⊙AF交⊙BM于F。连接BF，则∠ABF＝1／3∠ABC。（见图六）21连结AF，连结AC，令AC交∠ABC角平分线BH于H（平角时。B、H重合）。∵A、C、D在同一圆上，DC是直径；M∵BH是∠ABC的角平分线，DOA∵BO是∠ABD的角平分线，F∴DA⊥AC;【直径所对的BH圆周角是直角90°】C∴BH⊥AC;∴OB⊥DA。【等腰三角形a顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合】；DOAM　　　故得ΟBHA为矩形。【有F三个角是直角的四边形是矩形】。BH　　∴OA∥BH；　　　　　　　　∴OB∥AC；Cb∴BH=OA。∵OA=AM∵BM=BF，图六：简捷作图，∴BF=BM=BA+BH。a：0°＜∠ABC＜180°∵BA=AF，b：∠ABC=180°根据《任意角规矩三分法》中序之结论和跋中三条规律阐述之三径：则∠ABF=1／3∠ABC。22任意角规矩三分法为古希腊所谓几何三大问题之一——“三等分角问题”作解方案Ⅱ已知：∠ABC（0°＜∠ABC≤180°）。（图七）求作：三等分∠ABC。解：⑴以∠ABC之顶点B为圆心，取BA为半径作⊙B，令⊙B交∠ABC两边于A、C。⑵连结AC，令AC交∠ABC的角平分线BE于H（平角时AC重于互为反向延长线的BA、BC；H重于B）。⑶以A为圆心，2BA+BH为半径作弧，令其与∠ABC的角平线BE相交于E。过A、E作直线AE，令AE交BC反向延长线于K；过C、E作直线CE，令CE交BA反向延长线于L。⑷以E为圆心，BA+BH为半径作⊙E，令⊙E交AE于F，交CE于G。KN过B、FA作直线BF。F则∠ABF=IBHJE1／3∠ABC。CGLM图七任意角规矩三分法方案Ⅱa：0°＜∠ABC＜180°23证明：KAN⑴在△ABE与△CBE中，F∵BA=BC，【同圆半径相等】，IBHJE∵∠ABE=∠CBE【所作】，G∵BE=BE【公共边】，LCＭ　∴△ABE≌△CBE【SAS】。∴∠AEB=∠CEB；图七∴∠BAE=∠BCE【全等三任意角规矩三分法方案Ⅱ角形对应角相等】。b：∠ABC=180°∴AE=CE=2BA+BH【全等三角形对应边相等】。………………………………………【2—1】⑵在△KBE与△LBE中，∵∠KEB＝∠LEB（∠AEB＝∠CEB）【2—1】，∵∠KBE＝∠LBE＝［1／2∠ABC+（180°-∠ABC）]，∵BE＝BE【公共边】，∴△KBE≌△LBE【ASA】。∴KE＝LE【全等三角形对应边相等】。……………【2—2】⑶∵AE＝CE＝2BA+BH【2—1】，∵FE＝GE＝BA+BH【所作】，∴AF＝CG＝AB＝CB【等量减等量差相等】。………【2—3】24于是B、F；B、G分别以A、C为圆心共圆【距一定点等距离的四点共圆】。以A、C为圆心，BA为半径作⊙A、⊙C。∵AF+FE＝AE（CG+GE=CE），［AF为⊙A半径，FE为⊙E半径。AE为⊙A、⊙E连心线]，（CE…亦同），故⊙A、⊙E外切于F【d＝R+r】。【同理】⊙C、⊙E亦外切于G。⑷过B、G作直线BG。在△ABF与△CBG中，∵AB＝AF＝CB＝CG【2—3】，∵∠BAE＝∠BCE【2—1】，∴△ABF≌∠CBG【SAS】。∴∠ABF＝∠CBG。∴∠AFB＝∠CGB。【全等三角形对应角相等】。∵AB＝AF＝CB＝CG【2—3】，∴∠ABF＝∠AFB＝∠CBG＝∠CGB【三角形中等边对等角】。………………………………………………………【2—4】⑸连结KL，令KL与BE相交于I。连结FG，令FG与BE相交于J。在△KEL与△FEG中，∵∠KEI=∠LEI（∠AEB=∠CEB），∵∠FEJ=∠GEJ（∠AEB=∠CEB），∴∠KEL＝∠FEG（∠AEB+∠CEB=∠AEB+∠CEB）。25∵KE＝LE【2—2】，∵FE＝GE【所作】，∴∠EKL＝∠ELK【等腰三角形底角相等】。∴∠EFG＝∠EGF【等腰三角形底角相等】。∴∠EKL＝∠ELK=∠EFG＝∠EGF。∴KL⊥IJ⊥FG；∴KI=LI；∴FJ=GJ【等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合】。…………………………………………【2—5】故K、L、G、F四点共圆。【外角等于内对角的四边形的四顶点共圆】。【2—5】⑹过F作⊙A、⊙E的公切线FM，令FM交BC于M。过G作⊙C、⊙E的公切线GN，令GN交BA于N（平角时，K、A、N重合；L、C、M重合）。则：∠KFM＝∠LGN＝90°【圆的切线垂直于过切点的半径】。故KM、LN皆为直径【90°的圆周角所对的弦为直径】。⑺FG、KL构成两条弦。∵KL⊥IJ⊥FG，∵KI＝LI，∵FJ＝GJ【2—5】，26故直线ＩＪ具备了【②垂直于弦】、【③平分弦】的两个性质，则直线ＩＪ就可具备另外三个性质中的【①经过圆心】这一性质。具备了【②垂直于弦】、【③平分弦】两个性质的直线ＩＪ和直径KM、LN必然相交于（且只相交于）称为圆心的一点B。则KB=NB=FB=GB=MB=LB。以B为圆心，以KB为半径作⊙B。则K、N、F、G、M、L皆在圆上。∵K、N、F、G、M、L共圆，∴∠NBG＝2∠NLG＝2∠BGL。∴∠MBF＝2∠MKF＝2∠BFK。【在同圆或等圆中，圆心角的度数等于所对应的圆周角的度数的二倍】。∵∠ABF＝∠AFB＝∠CBG＝∠CGB【2—4】，∴∠MBF＝2∠NBF；∴∠NBG＝2∠MBG；∴∠ABF＝∠FBG＝∠GBC＝1／3∠ABC。同样可证得其符合方案Ⅰ，序之结论和跋中阐述之规律。27周平钝锐太极三分尺1994年荣获国家外观设计专利。专利号：ZL94312917·6　说明1996年香港新闻出版社以中、英、德、日四国文字出版《中华优秀专利技术精选》〝周平钝锐太极三分尺〞借此面世。中文版书号：ISBN948—7484—32—6周平钝锐太极三分尺集规、矩于一体，测、绘并举，利用周平钝锐太极三分尺可以简捷、准确地将任意角分为三等份。利用该尺将任意角分为三等份并非规范作图。但因其携带方便，操作简捷，且具有完整的理论依据并有多种功能，在生产实践中，必将有其广阔的应用天地。一．周平钝锐太极三分尺原理：周平钝锐太极三分尺将数、量与空间形式结合在一起，A∠4∠5BDEC∠3∠1∠2图八：太极三分尺原理28根据平面几何相关理论制作而成。周平钝锐太极三分尺理