一元二次方程的第五种解法

一元二次方程的第五种解法 一元二次方程的第五种解法 ——利用图形解一元二次方程 凤阳县第五中学 张志网 背景介绍 一次在做时，发现这样一道：三国时期的家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用图形的来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是 35），拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ） （A）x(x+2)=35 (B) x(x+2)=35+4 (C) x(x+2)=4x35 (D) x(x+2)=4x35+4 X+2 这道题的答案很显而易见，但我没有做完了事，我注意到这句话：“用图形的方法来解一元二次方程”。仔细一想，用图形法该怎样解一元二次方程呢？这种解法有什么依据呢？这种解法是否具有一般性（或广泛应用性）呢？经过思考，终于有了一些发现，本打算待有时间时整理成一篇，恰巧遇上这次学校要求晒课，索性进行大胆尝试，选择此内容进行授课。 教学目标 1、知识与技能：通过教学，使学生掌握利用图形解简单系数的一元二次方程； 222、过程与方法：通过讨论、探究、发现图形解法的依据：(a+b)=(a-b)+4ab 3、情感态度与价值观：通过学生参与学习发现活动，提高学生的数学创新精神和数学学习兴趣。 重点难点 理解利用图形解一元二次方程的依据，会利用图形解一元二次方程， 教法教具：发现式，PPT， 课时安排：一课时， 教学过程 一、复习导入， 1、 我们学习过一元二次方程的哪些解法？它们各有什么特点？ （直接开平方法：主要用于缺少一次项的一元二次方程，形如ax+c=0； 2 因式分解法：方程左边容易分解，而且右边等于0； 配方法：可解任一道一元二次方程； 公式法：是一元二次方程的万能钥匙，但不一定简便，通常适用系数较小的一元二次方程） 2、 快速解方程： (1) 4(1+x)2=9 (直接开平方法) (2) x2+4x+2=0 (配方法) (3) 3x2+2x-1=0 (公式法) (4)(2x+1)2= -3(2x+1) (因式分解法) 二、新授 导入语，我们在解决实际问题时，经常出现类似(32-2x)(20-2x)=540的方程，（课件出示问题情景）这种类型的方程，通常是先去括号，整理后再选择解法，能不能找一种更直接的解法呢！我们来研究一道选择题，看是否会有所发现？ （一） 合作探究，勇于发现 （出示：三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载了用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35），拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（ ） （A）x(x+2)=35 (B) x(x+2)=35+4 (C) x(x+2)=4x35 (D) x(x+2)=4x35+4 X+ 2 ） x(x+2)=35该怎样解呢？你从图中能有什么发现？ 引导出： 每个长方形面积：x(x+2)=35 2小正方形面积：[(x+2)-x]=4 2大正方形的面积：[(x+2)+x]=4+35x4 22此图形反映了哪一个恒等式：(a+b)=(a-b)+4ab （这正是利用图形解一元二次方程的依据） （二）学以致用，例题解析 例1：解方程 (32-2x)(20-2x)=540 解：原方程可整理为 (x-16)(x-10)=135 ∴ [(x-16)+(x-10)]2=[ (x-16)-(x-10)]2+135x4 即 (2x-26)2=576 (x-13)2=144 x-13=±12 x=13±12 ∴ x1=25 ，x2=1 （可提示学生代入原方程检验） （三）巩固提高，熟能生巧 22利用恒等式(a+b)=(a-b)+4ab解下列方程： x(x-1) （1）  15 （2） (x-1)(2x+4)=20 2 （四）引申拓展，更进一步： 这种解法能解任意一个一元二次方程吗？ 试解：ax2+bx+c=0 (a≠0) 解： x(ax+b)= -c ax(ax+b)= -ac ∴ [ax +(ax+b)]2=[ ax -(ax+b)]2+4(-ac) 即 (2ax+b)=2ax+b 当b-4ac≥0时， b24ac 22 2ax= -b  b 2 ac  4 2bb4ac X= 2a 三、课时小结 谈一谈，这节课你有什么收获？ 221、利用图形解一元二次方程的主要依据是恒等式：(a+b)=(a-b)+4ab 2、利用图形法解一元二次方程可适用于 形如(ax+m)(ax+n)=b (a≠0,b≠0)的一元二次方程， 3、“图形法”同样具有一般性，和解任意一道一元二次方程， 4、要自觉培养“发现问题，解决问题”的创新意识。 四、声明 本课时教学内容并非是传统数学教学内容，含有作者自创成分，学习者可以自用，但禁止非法传播。对于一切侵权行为，作者有权追究其主体责任， 作者对教学内容的科学性完全负责！ 特此声明！ 声明人：张志网 2017年5月4日，