2019高三北京市东城一模理数试卷及答案无水印

⾼高三数学（理理）（东城）第1⻚页（共5⻚页）北北京市东城区2018-2019学年年度第⼆二学期⾼高三综合练习（⼀一）2019.4数学（理理科）本试卷共5⻚页，共150分。考试时⻓长120分钟。考⽣生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答⽆无效。考试结束后，将答题卡交回。第⼀一部分（选择题共40分）⼀一、选择题共8⼩小题，每⼩小题5分，共40分。在每⼩小题列列出的四个选项中，选出符合题⽬目要求的⼀一项。（1）已知集合则（A）（B）（C）（D）（2）在复平⾯面内，若复数对应的点在第⼆二象限，则可以为（A）（B）（C）（D）（3）在平⾯面直⻆角坐标系中，⻆角以为始边，终边经过点，则下列列各式的值⼀一定为负的是(A)(B)(C)(D)（4）正⽅方体被⼀一个平⾯面截去⼀一部分后，所得⼏几何体的三视图如图所示，则该截⾯面图形的形状为（A）等腰三⻆角形（B）直⻆角三⻆角形（C）平⾏行行四边形（D）梯形⾼高三数学（理理）（东城）第2⻚页（共5⻚页）（5）若满⾜足则的最⼤大值为（A）（B）（C）（D）（6）已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，与其准线交于点.若点是的中点，则线段的⻓长为(A)(B)(C)(D)（7）南北北朝时代的伟⼤大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础提出祖暅原理理：“幂势既同，则积不不容异”.其含义是：夹在两个平⾏行行平⾯面之间的两个⼏几何体，被平⾏行行于这两个平⾏行行平⾯面的任意平⾯面所截，如果截得的两个截⾯面的⾯面积总相等，那么这两个⼏几何体的体积相等.如图，夹在两个平⾏行行平⾯面之间的两个⼏几何体的体积分别为被平⾏行行于这两个平⾯面的任意平⾯面截得的两个截⾯面的⾯面积分别为则“相等”是“总相等”的(A)充分⽽而不不必要条件(B)必要⽽而不不充分条件(C)充分必要条件(D)既不不充分也不不必要条件（8）已知数列列满⾜足：，，则下列列关于的判断正确的是（A）使得（B）使得（C）总有（D）总有⾼高三数学（理理）（东城）第3⻚页（共5⻚页）第⼆二部分（⾮非选择题共110分）⼆二、填空题共6⼩小题，每⼩小题5分，共30分。（9）在的展开式中，的系数是.（⽤用数字作答）（10）在△中，若，则.（11）若曲线（为参数）关于直线(为参数)对称，则；此时原点到曲线上点的距离的最⼤大值为.（12）已知向量量，向量量为单位向量量，且，则与夹⻆角为.（13）已知函数，若都有成⽴立，则满⾜足条件的⼀一个区间是________.（14）设是中两个⼦子集，对于，定义：①若.则对任意，_____；②若对任意，，则的关系为__________.三、解答题共6⼩小题，共80分。解答应写出⽂文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本⼩小题13分）已知函数，且.(Ⅰ)求的值及的最⼩小正周期；(Ⅱ)若在区间上单调递增，求的最⼤大值.⾼高三数学（理理）（东城）第4⻚页（共5⻚页）（16）（本⼩小题13分）改⾰革开放40年年来，体育产业蓬勃发展反映了了“健康中国”理理念的普及．下图是我国2006年年⾄至2016年年体育产业年年增加值及年年增速图．其中条形图为体育产业年年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年年增⻓长率（％）．983.0126515552100222027403136356340415494.4647530.0%25.0%37.0%5.0%25.0%14.5%14.0%13.0%17.3%11.1%10.0%0.0%5.0%40.0%35.0%30.0%25.0%20.0%15.0%0.01000.02000.03000.04000.05000.06000.07000.020062007200820092010201120122013201420152016体育产业增加值体育产业年年增⻓长率（%）（Ⅰ）从2007年年⾄至2016年年随机选择1年年，求该年年体育产业年年增加值⽐比前⼀一年年的体育产业年年增加值多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年年⾄至2016年年随机选择3年年，设是选出的三年年中体育产业年年增⻓长率超过20%的年年数，求的分布列列与数学期望；（Ⅲ）由图判断，从哪年年开始连续三年年的体育产业年年增⻓长率⽅方差最⼤大？从哪年年开始连续三年年的体育产业年年增加值⽅方差最⼤大？（结论不不要求证明）（17）（本⼩小题14分）如图，在棱⻓长均为的三棱柱中，点在平⾯面内的射影为与的交点，分别为的中点．（Ⅰ）求证：四边形为正⽅方形；（Ⅱ）求直线与平⾯面所成⻆角的正弦值；（Ⅲ）在线段上存在⼀一点，使得直线与平⾯面没有公共点，求的值.⾼高三数学（理理）（东城）第5⻚页（共5⻚页）（18）（本⼩小题13分）设函数的极⼩小值点为.（I）若，求的值的单调区间；（II）若，在曲线上是否存在点，使得点位于轴的下⽅方？若存在，求出⼀一个点坐标，若不不存在，说明理理由.（19）（本⼩小题13分）已知椭圆与轴交于两点，与轴的⼀一个交点为，△的⾯面积为2.（Ⅰ）求椭圆的⽅方程及离⼼心率；（Ⅱ）在轴右侧且平⾏行行于轴的直线与椭圆交于不不同的两点，直线与直线交于点.以原点为圆⼼心，以为半径的圆与轴交于两点（点在点的左侧），求的值.（20）（本⼩小题14分）已知，数列列中的项均为不不⼤大于的正整数.表示中的个数.定义变换，将数列列变成数列列其中.（Ⅰ）若，对数列列，写出的值；（Ⅱ）已知对任意的，存在中的项，使得.求证：的充分必要条件为（Ⅲ）若，对于数列列，令，求证：1北北京市东城区2018-2019学年年度第⼆二学期⾼高三综合练习（⼀一）2019.4数学（理理科）参考答案及评分⼀一、选择题（共8⼩小题，每⼩小题5分，共40分）（1）C（2）B（3）D（4）A（5）D（6）C（7）B（8）D⼆二、填空题（共6⼩小题，每⼩小题5分，共30分）（9）（10）（11）（12）（13）(答案不不唯⼀一)（14）三、解答题（共6⼩小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）由已知，得，解得.所以的最⼩小正周期为.............................7分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，若在区间上单调递增，则有，即.所以的最⼤大值为.............................13分（16）（共13分）解:（Ⅰ）设表示事件“从2007年年⾄至2016年年随机选出1年年，该年年体育产业年年增加值⽐比前⼀一年年的体育产业年年增2加值多亿元以上”．由题意可知，2009年年，2011年年，2015年年，2016年年满⾜足要求，故．............................4分（Ⅱ）由题意可知，的所有可能取值为,,，3，且；；；.所以的分布列列为：0123故的期望．............................10分（Ⅲ）从年年或年年开始连续三年年的体育产业年年增⻓长率⽅方差最⼤大．从年年开始连续三年年的体育产业年年增加值⽅方差最⼤大．............................13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）连结．因为在平⾯面内的射影为与的交点，所以平⾯面．由已知三棱柱各棱⻓长均相等，所以，且为菱形.由勾股定理理得，即.所以四边形为正⽅方形......................5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平⾯面在正⽅方形中，．如图建⽴立空间直⻆角坐标系．由题意得，．3所以设平⾯面的法向量量为则即令则于是．⼜又因为，设直线与平⾯面所成⻆角为，则．所以直线与平⾯面所成⻆角的正弦值为.............................10分（Ⅲ）直线与平⾯面没有公共点，即∥平⾯面．设点坐标为，与重合时不不合题意，所以．因为，．设为平⾯面的法向量量，则即令，则，.于是.若∥平⾯面，.⼜又，所以，解得．此时平⾯面，所以，.所以．......................14分4（18）（共13分）解：（Ⅰ）定义域为..由已知，得，解得.当时，当时，；当时，.所以的递减区间为，单调递增区间为所以时函数在处取得极⼩小值.即的极⼩小值点为时的值为.............................6分（II）当时，曲线上不不存在点位于轴的下⽅方，理理由如下：由（I）知当时，，所以在单调递减，不不存在极⼩小值点；当时，令，得.当时，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增.所以是在上的最⼩小值.由已知，若，则有，即.当时，，且，.所以当时，曲线上所有的点均位于轴的上⽅方.故当时，曲线上不不存在点位于轴的下⽅方.............................13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）因为由椭圆⽅方程知：，5，所以所以椭圆的⽅方程为.由，，得，所以椭圆的离⼼心率为.............................5分（Ⅱ）设点,不不妨设设，，由得即⼜又，得，化简得因为，所以，即所以点的轨迹为双曲线的右⽀支，两点恰为其焦点，为双曲线的顶点，且，所以.............................13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）............................3分6（Ⅱ）由于对任意的正整数，存在中的项，使得.所以均不不为零.必要性：若，由于，所以有；；；；.通过解此⽅方程组，可得成⽴立.充分性：若成⽴立，不不妨设，可以得到.所以有：；；；；.所以成⽴立.............................9分（Ⅲ）设的所有不不同取值为，且满⾜足：.不不妨设，其中；；；.⼜又因为，根据变换有：；；；所以即所以因为所以有.因此，即从⽽而.因此结论成⽴立.............................14分