2019高三二模北京市西城理数无水印

高三（理科）第1页（共7页）北京市西城区高三模拟测试数学（理科）参考答案及评分标准2019.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B2．C3．D4．A5．B6．C7．D8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1010．2214yx，2yx11．2412．213．答案不唯一，如4nan14．①③注：第10题第一问3分，第二问2分；第14题漏选、多选或错选均不得分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为π()cos(2)2sincos6fxxxxππcos2cossin2sinsin266xxx„„„„„„4分33sin2cos222xxπ3sin(2)6x.„„„„„„6分所以函数()fx的最小正周期2ππ2T.„„„„„„8分（Ⅱ）由（Ⅰ），知π()3sin(2)6fxx，所以ππ5π()3sin[2()]3sin(2)366gxxx.„„„„„10分由π5ππ2π22π262kxk≤≤，kZ，得2ππππ36kxk≤≤，所以()gx的单调增区间为2ππ[π,π]36kk，kZ.„„„„„„13分(注：单调区间写成开区间不扣分)高三数学（理科答案）第2页（共7页）16．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）将从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，记事件“甲手机为T型号手机”为1M，记事件“乙手机为T型号手机”为2M，依题意，有1122()6123PM，293()695PM，且事件1M，2M相互独立.„„„„„„2分设“抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机”为事件M，则12233()1()1355PMPMM.即抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率为35.„„„„„„4分（Ⅱ）由可知：W型号手机销售量超过T型号的手机店共有2个，故X的所有可能取值为：0，1，2.„„„„„„5分且032335CC1(0)C10PX，122335CC3(1)C5PX，212335CC3(2)C10PX.所以随机变量X的分布列为：X012P10153103„„„„„„8分故5610325311010)(XE.„„„„„„10分（Ⅲ）.92ms„„„„„„13分17．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）在图1中，由2AE，22AF，45A，得AEEF.所以在图2中1AEEF.„„„„„„1分因为平面1AEF平面BCDEF，平面1AEF平面BCDEFEF，所以1AE平面BCDEF.„„„„„„3分又因为CD平面BCDEF，所以1AECD.„„„„„„4分高三数学（理科答案）第3页（共7页）（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1,,EFEDEA两两垂直，故以1,,EFEDEA分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，„„„„„„5分则(0,0,0)E，(2,0,0)F，(0,2,0)D，(4,2,0)B，(4,6,0)C，1(0,0,2)A，(2,3,1)M.所以(4,0,0)DB,(2,1,1)DM.设平面MBD的一个法向量为(,,)xyzm，由0DBm，0DMm，得40,20,xxyz令1y，得(0,1,1)m.„„„„„„7分易得平面BCD的法向量(0,0,1)n.所以2cos,||||2mnmnmn.由图可得二面角MBDC为锐二面角，所以二面角MBDC的大小为45.„„„„„„9分（Ⅲ）当N为线段1AD的中点（注：表述不唯一）时，平面//NEF平面MBD.„„„10分证明如下：由N为线段1AD的中点，得(0,1,1)N.所以(0,1,1)EN，又因为(2,0,0)EF，设平面NEF的法向量为(,,)abcu，由0ENu，0EFu，得0,20,bca令1c，得(0,1,1)u.„„„„„„12分又因为平面MBD的法向量为(0,1,1)m，所以mu，即//mu，所以平面//NEF平面MBD.„„„„„„14分MA1BCDEFzxyN高三数学（理科答案）第4页（共7页）18．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）求导，得()2lnfxx，„„„„„„1分所以曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率为00()2lnfxx.„„„3分由题意，得02ln1x，解得100ex.„„„„„„5分（Ⅱ）“1()()2fxkx≥对(0,)x恒成立”等价于“当0x时，1()()02fxkx≥恒成立”.令11()()()ln(1)22gxfxkxxxkxk，„„„„„„7分求导，得()ln2gxxk，由()0gx，得2ekx.„„„„„„8分随着x变化，()gx与()gx的变化情况如下表所示：x2(0,e)k2ek2(e,)k()gx0()gx↘极小值↗所以()gx在2(0,e)k上单调递减，在2(e,)k上单调递增.所以函数()gx的最小值221(e)e02kkgk≥.„„„„„„10分令21()e2khkk，则221(2)2e02h，当2k时，因为()gx的最小值2(e)(1)0kgg，所以1()()2fxkx≥对于0x恒成立，符合题意；„„„„„„11分当2k时，由22211()ee022khk，得函数21()e2khkk在(2,)单调递减，所以()(2)0hkh，故此时()gx的最小值2(e)()0kghk，不符合题意.所以整数k的最大值是2．„„„„„„13分高三数学（理科答案）第5页（共7页）19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意，可知12p，所以2p.„„„„„„1分所以抛物线方程为24yx，焦点为(1,0)F.不妨设00(,)Axy，则0||15AFx，解得04x.代入抛物线方程，得04y，则点A的坐标为(4,4)或(4,4)，所以||42OA.„„„„„„3分故以OA为直径的圆的方程为22(2)(2)8xy或22(2)(2)8xy.„„5分（Ⅱ）结论：四边形OABC不可能为等腰梯形.„„„„„„6分理由如下：假设四边形OABC为等腰梯形，由题意，可知直线OA的斜率k存在且不为零，故设直线OA的方程为ykx，直线BC的方程为(1)ykx，11(,)Bxy，22(,)Cxy，„„„„„„7分联立2,4,ykxyx消去y，得2240kxx，解得0x或24xk，所以点244(,)Akk，线段OA的中点M的坐标为222(,)kk.„„„„„„9分联立2(1)4ykxyx，，消去y，得2222(24)0kxkxk.因为直线BC过焦点(1,0)F，斜率存在且不为0，所以0恒成立，所以212224kxxk，121xx.„„„„„„11分设线段BC的中点为33(,)Nxy，则2123222xxkxk，332(1)ykxk，故2222(,)kNkk.„„„„„„12分因为直线MN的斜率22222022MNkkkkkk，OA的斜率为k，高三数学（理科答案）第6页（共7页）所以1MNkk，故直线MN与直线OA不垂直.这与等腰梯形上下底中点的连线垂直于上下底矛盾，所以四边形OABC不可能为等腰梯形.„„„„„„14分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）100(1,1,0)X.„„„„„„3分（Ⅱ）假设,,iiiabc三个数中有2个为0，或三个数均为0.„„„„„„4分（1）当,,iiiabc三个数中有2个为0时，显然i≥1.不妨设0(1)iiabi≥，0ic，则11||0iiiaab，11||0iiibbc，即111iiiabc.这与11||0iiicca矛盾；„„„„„„6分（2）当,,iiiabc三个数均为0时，显然i≥1.则11||0iiiaab，11||0iiibbc，11||0iiicca.所以111iiiabcw==（定值）.由000,,abc三数互不相等，得2i≥，且122||iiiaabw，122||iiibbcw，122||iiiccaw.不妨设222iiiabc≤≤，则有22iibaw，22iicbw，22iicaw，由222222()()iiiiiibacbca，得2ww，所以0w，即1110iiiabc==.以此类推，可得2220iiiabc==，3330iiiabc==，，1110abc==，0000abc==，这与000,,abc三个数互不相等矛盾，所以对于任意的iN，,,iiiabc三个数中至多有一个数为0.„„„„„„8分（Ⅲ）设,,iiiabc三个数中最大的为im,记作max{,,}iiiimabc.高三数学（理科答案）第7页（共7页）因为1||iiiaab，1||iiibbc，1||iiicca，且,,iiiabcN,所以1iimm≤,其中=0123i，，，，,由题意，可知imN,其中=0123i，，，，所以123,,,mmm不可能单调递减，即必存在某个*kN，使得1kkmm.„„„„„„10分根据1kX的定义，可得向量(,,)kkkkXabc中的三个数,,kkkabc中必有0.由（Ⅱ）知,,kkkabc中有且仅有一个为0，不妨设0ka，（1）若kkbc，由题意，不妨设0kkbc，则1||=kkkkaabb，1||=kkkkkbbccb，1||=kkkkccac，1kkkmmc所以2111||max{,}kkkkkkkaabbcbm，同理21kkbm，21kkcm，所以21kkmm.又因为imN，所以此种情形不可能一直出现（至多出现1km次）.所以一定能找到某个*jN，使得jjbc.„„„„„„12分（2）若kkbc，由题意，得(0,,)kkkXbb，1(,0,)kkkXbb，2(,,0)kkkXbb，3(0,,)kkkXbb，所以存在正整数tk，使得3ttXX.综上，存在正整数t，使得3ttXX.„„„„„„13分数学（理科）第1页（共5页）北京市西城区高三统一测试数学（理科）2019.5第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合1{|1}Axx，1{2,,3}2B，则AB（A）1{2,}2（B）1{}2（C）1{,3}2（D）2．若复数i(i)za满足||2z≥，则实数a的取值范围是（A）[3,+)（B）[1,1]（C）(,3][3,+)（D）(,1][1,+)3.执行如图所示的程序框图，则输出的S值等于（A）1111238（B）1111237（C）11111238（D）111112374．在极坐标系中，直线cos2与圆4cos交于,AB两点，则||AB（A）4（B）23（C）2（D）31kk输出S开始否结束1SSk是1,1kS8k数学（理科）第2页（共5页）5.设函数()fx的定义域为R，则“函数|()|yfx的图象关于y轴对称”是“函数()fx为奇函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件6.若实数x，y，z互不相等，且满足423logxyz，则（A）zxy（B）zyx（C）zx，zy（D）xy，xz7.已知正四面体ABCD的棱长为1，平面与该正四面体相交.对于实数(01)dd，记正四面体ABCD的四个顶点中到平面的距离等于d的点的个数为m，那么下列结论中正确的是（A）m不可能等于2（B）m不可能等于3（C）m不可能等于4（D）以上三个答案都不正确8.设f是直角坐标平面xOy到自身的一个映射，点(,)Pxy在映射f下的象为点(,)22yxQ，记作()QfP.已知1(16,8)P，1()nnPfP，其中1,2,3,n.那么对于任意的正整数n，（A）存在点M，使得||10nMP≤（B）不存在点M，使得||55nMP≤（C）存在无数个点M，使得||65nMP≤（D）存在唯一的点M，使得||85nMP≤数学（理科）第3页（共5页）第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.在二项式5(1)x的展开式中，2x的系数为____．10．以椭圆22154xyC：在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为____；此双曲线的渐近线方程为____.11．在△ABC中，若2ab，2bc，则三个内角中最大角的余弦值为____．12.某三棱锥的三视图如图所示，则在该三棱锥表面的四个三角形中，等腰三角形的个数为____．13．能说明“设数列{}na的前n项和为nS，对于任意的*nN，若1nnaa，则1nnSS”为假命题的一个等差数列是____．（写出数列的通项公式）14．因市场战略储备的需要，某公司从1月1日起每月1日购买了相同金额的某种物资，连续购买了4次.由于市场变化，5月1日该公司不得不将此物资全部卖出.已知该物资的购买和卖出都是以份为计价单位进行交易，且该公司在买卖的过程中没有亏本，那么下面三个折线图中反映了这种物资每份价格（单位：万元）的可能变化情况的是____.（写出所有正确的图表序号）0.501月1日2月1日3月1日4月1日5月1日....图○10.751.001.25万元/份..日期0.25侧(左)视图正(主)视图俯视图221111....1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日图○20.500.751.001.25.万元/份日期0.25.....1月1日2月1日3月1日4月1日5月1日图○30.500.751.001.25万元/份日期0.25数学（理科）第4页（共5页）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()cos(2)2sincos6fxxxx.（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期；（Ⅱ）将函数()fx的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的函数解析式为()gx，求()gx的单调增区间.16．（本小题满分13分）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W型号，T型号）同时投放市场.手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表.手机店ABCDEW型号手机销量6613811T型号手机销量1291364（Ⅰ）若在10月1日当天，从A，B这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X表示其中W型号手机销量超过T型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系34.若表中W型号手机销量的方差)0(20mms，试给出表中5个手机店的W型号手机销售成本的方差2s的值.（用m表示，结论不要求证明）数学（理科）第5页（共5页）17．（本小题满分14分）如图1，在平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，AB的中点，4AD，42AB，45A．将AEF△沿EF折起到1AEF△位置，使得平面1AEF平面BCDEF，如图2．记1AC的中点为M．（Ⅰ）求证：1AECD；（Ⅱ）求二面角MDBC的大小；（Ⅲ）设N为线段1AD上的一点，试给出点N满足的一个条件，使得平面//NEF平面MBD，并证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()(ln1)fxxx．（Ⅰ）若曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线的斜率小于1，求0x的取值范围；（Ⅱ）设整数k使得1()()2fxkx≥对(0,)x恒成立，求整数k的最大值．19．（本小题满分14分）已知抛物线W：22ypx的准线方程为1x，焦点为F,A为抛物线W上异于原点O的一点.（Ⅰ）若5AF，求以线段OA为直径的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且平行于OA的直线l交抛物线W于,BC两点，判断四边形OABC能否为等腰梯形？若能，求直线l的方程；若不能，请说明理由.20．（本小题满分13分）对于向量0000(,,)Xabc，若000,,abc三数互不相等，令向量1111(,,)iiiiXabc，其中1||iiiaab，1||iiibbc，1||iiicca，=0123i，，，，.（Ⅰ）当0(5,2,1)X时，试写出向量100X；（Ⅱ）证明：对于任意的iN，向量iX中的三个数,,iiiabc至多有一个为0；（Ⅲ）若000,,abcN，证明：存在正整数t，使得3ttXX.DABCMEA1BCDEFF图1图2 2019.5.西城区.高三数学理科答案06（终） 2019.5.西城区.高三数学理科试题06（终）