【精选五套高考模拟卷】江苏省南通市如皋市2019年高考数学一模试卷含答案解析

2019年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷　一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁UA=　　．2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是　　．3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为　　．4．如图所示的图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为　　．5．已知等差数列{an}的前11项的和为55，a10=9，则a14=　　．6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为　　．7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为　　．8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为　　．9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为　　．10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=　　．11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为　　．12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=　　．13．已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　　．14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是　　．　二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．16．（14分）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．17．（15分）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．18．（15分）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证：+为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．19．（16分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．20．（16分）已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{an}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{an}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、ar、as成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{an}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．　附加题21．（10分）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1，+1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．23．（10分）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．24．（10分）已知集合A={a1，a2，…an}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪Am=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，Am}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…Am=Bm时，{A1，A2，…，Am}与{B1，B2，…，Bm}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fn（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示fn（m）；（3）证明：fn（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定fn（1）=1）　2019年江苏省南通市如皋市高考数学一模试卷参考答案与解析　一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．设全集U={x|x≥3，x∈N}，集合A={x|x2≥10，x∈N}，则∁UA=　{3}　．【考点】补集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集，列举出解集中的自然数解确定出A，求出A的补集即可．【解答】解：∵全集U={x|x≥3，x∈N}，A={x|x2≥10，x∈N}={x|x≥，x∈N}，∴∁UA={x|3≤x≤，x∈N}={3}，故答案为：{3}【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．　2．复数z=（i为虚数单位）的共轭复数是　　．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．　3．抛掷一枚骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），则事件“向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率为　　．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】分别求出P（向上的数字为奇数），p（向上的数字大于4），p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4），从而求出向上的数字为奇数或向上的数字大于4”发生的概率即可．【解答】解：P（向上的数字为奇数或向上的数字大于4）=P（向上的数字为奇数）+p（向上的数字大于4）﹣p（向上的数字为奇数且向上的数字大于4）=+﹣=，故答案为：．【点评】本题考查了古典概型问题，是一道基础题．　4．如图所示的流程图，当输入n的值为10时，则输出的S的值为　30　．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知可得：进入循环的条件为n≥2，模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=10，S=0不满足条件n＜2，执行循环体，S=10，n=8不满足条件n＜2，执行循环体，S=18，n=6不满足条件n＜2，执行循环体，S=24，n=4不满足条件n＜2，执行循环体，S=28，n=2不满足条件n＜2，执行循环体，S=30，n=0满足条件n＜2，退出循环，输出S的值为30．故答案为：30．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用法对数据进行管理，属于基础题．　5．已知等差数列{an}的前11项的和为55，a10=9，则a14=　13　．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出第14项．【解答】解：∵等差数列{an}的前11项的和为55，a10=9，∴，解得a1=0，d=1，∴a14=a1+13d=0+13=13．故答案为：13．【点评】本题考查数列的第14项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．　6．若点（x，y）位于曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包含边界），则2x﹣y的最小值为　﹣5　．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=2x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出曲线y=|2x﹣1|与y=3所围成的封闭区域内（包括边界）如图：设z=2x﹣y，则y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大，由，解得A（﹣1，3），此时z=﹣2×1﹣3=﹣5，故答案为：﹣5【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．　7．已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，则三棱锥A1﹣ABM的体积为　　．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A1﹣ABM的体积为，由此能求出结果．【解答】解：∵棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱CC1的中点，∴三棱锥A1﹣ABM的体积为：===．故答案为：．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等体积法的合理运用．　8．已知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），则圆C的方程为　（x﹣1）2+y2=4　．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出圆心坐标，利用知圆C过点（2，），且与直线x﹣y+3=0相切于点（0，），结合斜率公式，求出圆心与半径，即可求圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，b），则，解得a=1，b=0，r=2．即所求圆的方程为（x﹣1）2+y2=4，故答案为（x﹣1）2+y2=4．【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，正确求出圆心坐标与半径是关键．　9．已知F1、F2分别是双曲线﹣=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与双曲线交于A、B两点，G是△ABF1的重心，且•=0，则双曲线的离心率为　　．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），将x=c代入双曲线的方程，可得A，B的坐标，再由三角形的重心坐标公式，求得G的坐标，得到，的坐标，运用向量数量积的坐标表示，可得a，b，c的方程，由离心率公式，解方程可得．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），令x=c代入双曲线的方程，可得y2=b2•（﹣1）=，解得y=±，可设A（c，），B（c，﹣），由重心坐标公式可得xG==c；yG=0，即G（c，0），=（c，），=（2c，﹣），由•=c•2c+（﹣）•（）=0，即4a2c2=3b4，即为2ac=b2=（c2﹣a2），由e=，可得e2﹣2e﹣=0，解得e=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用重心坐标公式和向量的数量积的坐标表示，考查化简整理的运算能力，属于中档题．　10．已知三角形ABC是单位圆的内接三角形，AB=AC=1，过点A作BC的垂线交单位圆于点D，则•=　　．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，利用平面向量的坐标运算得答案．【解答】解：由题意作图如下，则A（﹣1，0），B（﹣，﹣），C（﹣，），D（1，0）．∴=．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．　11．已知函数f（x）=，则不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集为　（﹣2，1）　．【考点】其他不等式的解法．【分析】画出函数f（x）的，可知f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，即可求不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0的解集【解答】解：函数f（x）=，其图象如下：∴f（x）是定义域为R的奇函数也是增函数，不等式f（x2﹣2）+f（x）＜0，⇔f（x2﹣2）＜f（﹣x）等价于x2﹣2＜﹣x，解得：﹣2＜x＜1，∴原不等式的解集为（﹣2，1）．故答案为：（﹣2，1）．【点评】本题考查不等式的解法，利用了函数的奇偶性和单调性，考查运算能力，属于基础题．　12．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=　　．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由题意求出g（x）的解析式，对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，根据0＜φ＜，可得φ的值．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）=2cos（2x﹣2φ），∵对满足|f（x1）﹣g（x2）|=4的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，即两个函数的最大值与最小值的差为4时，有|x1﹣x2|min=，不妨设x1=0，则x2=，0＜φ＜，若x1=0，x2=，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=（舍去）若x1=0，x2=﹣，此时g（x2）=2cos（2x2﹣2φ）=﹣2，解得φ=，满足题意．∴φ的值为．故答案为．【点评】本题主要考查了三角函数的平移，函数的最值以及周期的运用，考查了分析能力．属于中档题．　13．已知函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，则实数a的取值范围为　a≤﹣　．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．【分析】求出函数的导数，判断函数的极值点，利用函数的零点列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=（x﹣1）ex﹣ax2，可得f′（x）=x（ex﹣2a），令x（ex﹣2a）=0可得，x=0或ex=2a，当a≤0时，函数只有一个零点，并且x=0是函数的一个极小值点，并且f（0）=﹣1＜0，若y=f（cosx）在x∈[0，π]上有且仅有两个不同的零点，也就是若y=f（x）在x∈[﹣1，1]上有且仅有两个不同的零点，可得：，即，可得a．当a＞0可得：函数两个极值点为：x=0，x=ln（2a），如果ln（2a）＜0，因为f（0）＜0，可知不满足题意；如果ln（2a）＞0，必有可得：，即，可得a．与a＞0矛盾；综上：a≤﹣故答案为：a≤﹣．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值的求法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，考查计算能力．　14．设实数x、y满足4x2﹣2xy+4y2=13，则x2+4y2的取值范围是　　．【考点】基本不等式．【分析】设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，代入4x2﹣2xy+4y2=13，可得t2==，利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：设x2+4y2=t2，则x=tcosα，y=tsinα，∵4x2﹣2xy+4y2=13，∴t2====，∴=﹣1时，t2取得最小值：=10﹣4；=1时，t2取得最大值：=10+4．综上可得：t2∈．即x2+4y2的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的单调性与值域、换元方法、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．　二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）（2019•如皋市一模）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB，AB⊥BC，且N是A1B的中点．（1）求证：直线AN⊥平面A1BC；（2）若M在线段BC1上，且MN∥平面A1B1C1，求证：M是BC1的中点．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明AN⊥BC，AN⊥A1B，即可证明直线AN⊥平面A1BC；（2）证明MN∥A1C1，利用N是A1B的中点，可得结论．【解答】证明：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC，∵AB⊥BC，AA1∩AB=A，∴BC⊥平面A1AB，…（3分）∵AN⊂平面A1AB，∴AN⊥BC，∵AA1=AB，且N是A1B的中点，∴AN⊥A1B，∵A1B∩BC=B，∴直线AN⊥平面A1BC…（7分）（2）证明：∵MN∥平面A1B1C1，∴MN∥A1C1，∵N是A1B的中点，∴M是BC1的中点…（14分）【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　16．（14分）（2019•如皋市一模）在△ABC中，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若sin（A﹣）=，求sin2C．【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的化简求值．【分析】（1）利用三角形内角和定理消去C，化简可得B的大小．（2）利用换元法，把A换出来，与三角形内角和定相结合，把C表示出来即可求值．【解答】解：（1）由cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0，根据三角形内角和定理消去C，则cosC+（cosA﹣sinA）cosB=﹣cos（A+B）+（cosA﹣sinA）cosB=﹣cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB﹣sinAcosB=sinAsinB﹣sinAcosB=0；由sinA＞0，则有tanB=．∵B∈（0，π），故得B=．（2）sin（A﹣）=，令A﹣=t，即sint=，∵，∴，则A=，那么：sin2C=sin2（π﹣A﹣B）=sin2（）=sin（2t+）=sin2t+cos2t，由，∵sint=，∴cost=，sin2t=2sintcost=，cos2t=故得sin2C=【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和二倍角，两角和与差的公式的灵活运用和化简计算能力．属于中档题．　17．（15分）（2019•如皋市一模）如图，矩形公园OABC中，OA=2km，OC=1km，公园的左下角阴影部分为以O为圆心，半径为1km的圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路EF（点E、F分别在边OA与BC上），D为切点．（1）试求观光道路EF长度的最大值；（2）公园计划在道路EF右侧种植草坪，试求草坪ABFE面积S的最大值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出∠DOF=﹣，分别求出DE，DF，从而求出EF的表达式，求出EF的最大值即可；（2）求出S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出S的最大值即可．【解答】解：（1）设∠DOE=𝜃，因为点E、F分别在边OA与BC上，所以0≤θ≤，则∠DOF=﹣，在Rt△DOE中，DE=tan𝜃，在Rt△DOF中，DF=tan（﹣）==，EF=DE+DF=tan𝜃+=，∵0＜θ≤，∴当θ=时，[cos𝜃]min=，EFmax=2；（2）在Rt△DOE中，OE=，由（1）可得CF=DF=，S=S矩形OABC﹣S梯形OEFC=2+（0≤θ≤），S′=，令S′＞0，解得：0＜θ＜， 𝜃 （0，） （，） S’ + 0 ﹣ S ↗ 极大值 ↘因为S在θ∈（0，]时有且仅有一个极大值，因此这个极大值也即S的最大值．∴当θ=时，Smax=2﹣；答：（1）观光道路EF长度的最大值为2km；（2）草坪面积S的最大值为2﹣km．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查三角函数的性质，是一道中档题．　18．（15分）（2019•如皋市一模）如图，已知F为椭圆+=1的左焦点，过点F且互相垂直的两条直线分别交椭圆于A、B及C、D．（1）求证：+为定值；（2）若直线CD交直线l：x=﹣于点P，试探究四边形OAPB能否为平行四边形，并说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+=，当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB与椭圆方程联立，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由此利用韦达定理和弦长公式能求出AB，同理求出CD，由此能证明=．（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），推导出，无解，由此得到四边形OAPB不可能是平行四边形．【解答】证明：（1）当直线AB、CD有一平行于x轴时，+===，…（2分）当直线AB、CD都不平行于x轴时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB：y=k（x+1），则直线CD：y=﹣（x+1），将直线直线AB与椭圆方程联立，整理，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，∴x1+x2=，x1x2=．AB=|x1﹣x2|===，…同理：CD=，…（6分）∴===．综上：=．故+为定值．…（8分）（2）假设四边形OAPB是平行四边形，即，此时直线AB、CD都不平行于x轴．由（1），得P（﹣，），则=（x1，y1），=（﹣，），∴，即，…（12分）又x1+x2=，则y1+y2=k（x1+1）+k（x2+1）=k（x1+x2+2）∴，解得，无解…（14分）∴四边形OAPB不可能是平行四边形…（15分）【点评】本题考查代数式的值为定值的证明，考查四边形是否是平行四边形的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、直线方程、韦达定理、弦长公式的合理运用．　19．（16分）（2019•如皋市一模）已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a∈R）．（1）若a=2，求证：f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；（2）讨论h（x）=f（x）﹣g（x）的单调性；（3）求证：当x＞0时，f（x+1）＞．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）设h（x）=f（x）﹣g（x），求出函数的导数，判断出函数的单调性即可；（2）求出函数h（x）的导数，通过讨论a的范围，判断h（x）的单调性即可；（3）问题转化为证明＞，即证2ex﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2ex﹣x2﹣2x﹣2，根据函数的单调性证明即可．【解答】证明：（1）当a=2时，设h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣，h′（x）=﹣=，所以h′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（1）=0，所以f（x）＞g（x）在（1，+∞）恒成立；解：（2）h′（x）=，令h′（x）=0，即x2﹣2（a﹣1）x+1=0，△=4（a﹣1）2﹣4=0，解得：a=0或a=2，①若0≤a≤2，此时△≤0，h′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，所以h（x）在（0，+∞）单调递增；②若a＞2，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＞0，所以h（x）在（0，a﹣1﹣）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减，在（a﹣1+，+∞）上单调递增；③若a＜0，此时△＞0，方程x2﹣2（a﹣1）x+1=0的两根为x1，2=（a﹣1）±，且x1，2＜0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增；综上，若a≤2，h（x）在（0，+∞）单调递增，若a＞2，h（x）在（0，a﹣1﹣），（a﹣1+，+∞）上单调递增，在（a﹣1﹣，a﹣1+）上单调递减；证明：（3）由（1）可知lnx＞在（1，+∞）恒成立，所以f（x+1）=ln（x+1）＞在（0，+∞）恒成立，下证＞，即证2ex﹣2x2﹣x﹣2＞0，设φ（x）=2ex﹣x2﹣2x﹣2，φ′（x）=2ex﹣2x﹣2，φ′′（x）=2ex﹣2，易知φ″（x）＞0在（0，+∞）恒成立，所以φ′（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ′（x）=2ex﹣2x﹣2＞φ′（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）单调递增，所以φ（x）＞φ（0）=0，所以＞，即当x＞0时，f（x+1）＞．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．　20．（16分）（2019•如皋市一模）已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣（﹣1）n，n∈N*．（1）在数列{an}中，是否存在连续3项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，说明理由；（2）试证在数列{an}中，一定存在满足条件1＜r＜s的正整数r、s，使得a1、ar、as成等差数列；并求出正整数r、s之间的关系；（3）在数列{an}中是否存在某4项成等差数列？若存在，求出所有满足条件的项；若不存在，说明理由．【考点】等差数列的通项公式．【分析】（1）若存在连续的三项ak，ak+1，ak+2成等差数列，k∈N*，则2ak+1=ak+ak+2，代入化简即可得出．（2）若a1，ar，as成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．（3）由于an+1﹣an=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，不妨设aq，ar，as，at成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是aq+at=ar+as，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，化简即可得出．【解答】解：（1）若存在连续的三项ak，ak+1，ak+2成等差数列，k∈N*，则2ak+1=ak+ak+2，即：2[2k+1﹣（﹣1）k+1]=2k﹣（﹣1）k+2k+2﹣（﹣1）k+2，…（1分）所以2k=﹣4（﹣1）k，…（2分）由于=﹣4（﹣1）k=±4，∴2k=4，即k=2．所以当且仅当k=2时，ak，ak+1，ak+2成等差数列…（4分）（2）若a1，ar，as成等差数列，则2[2r﹣（﹣1）r]=3+2s﹣（﹣1）s，∴2s﹣2r+1=（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3…（6分）∵r＜s，∴2s﹣2r+1≥0，而（﹣1）s﹣2（﹣1）r﹣3≤0，…（8分）∴2s﹣2r+1=0，可得s=r+1，且s为大于等于4的偶数…（10分）（3）由于an+1﹣an=2n+1﹣（﹣1）n+1﹣2n+（﹣1）n=2n+2（﹣1）n≥0，…（12分）不妨设aq，ar，as，at成等差数列，其中1≤q＜r＜s＜t．于是aq+at=ar+as，即2q﹣（﹣1）q+2t﹣（﹣1）t=2r﹣（﹣1）r+2s﹣（﹣1）s，所以2q+2t﹣2r﹣2s=（﹣1）q+（﹣1）t﹣（﹣1）r﹣（﹣1）t．（*）因为（*）式左边≥22+2=6，（*）式右边≤4，所以（*）式无解，故在数列{an}中不存在某4项成等差数列…（16分）【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　附加题21．（10分）（2019•如皋市一模）已知a、b是实数，矩阵M=所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（﹣1，+1）．（1）求实数a、b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵N．【考点】逆矩阵与投影变换；几种特殊的矩阵变换．【分析】（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，解得即可，（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．【解答】解：（1）由题意，得2a﹣1=﹣1，1+2b=+1，所以a=b=．（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=．【点评】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．　22．（10分）（2019•如皋市一模）已知曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0，曲线C2和曲线C1关于直线θ=对称，求曲线C2的极坐标方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】根据ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，将极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0和直线θ=化为直角坐标方程，利用对称关系求解曲线C2的直角坐标方程，在转化为极坐标方程．【解答】解：由题意：极坐标方程ρ2﹣4ρcosθ﹣4=0转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y﹣4=0，直线θ=转化为直角坐标方程为x=y，∵曲线C2和曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4=0，由ρ2=x2+y2，ρsinθ=y，ρcosθ=x，∴曲线C2极坐标方程为：ρ2﹣4ρsinθ﹣4=0．【点评】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互换．　23．（10分）（2019•如皋市一模）甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．（1）求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率；（2）设X表示参加舞蹈的同学人数，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈，事件A、B、C相互独立，甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]，由此能求出结果．（2）X可能的取值为0，1，2，3，分别示出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望E（X）．【解答】解　（1）设A表示事件“甲同学选中舞蹈”，B表示事件“乙同学选中舞蹈”，C表示事件“丙同学选中舞蹈”，…（1分）则P（A）==，P（B）==，P（C）==．∵事件A、B、C相互独立，∴甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为：P（A）=P（A）•P（）•P（）=P（A）•[1﹣P（B）][1﹣P（C）]=××=．…（4分）（2）∵X可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P（X=0）=××=，P（X=1）=××+××+××=，P（X=2）=××+××+××=，P（X=3）=××=，…（8分）∴X的分布列为： X 0 1 2 3 P ∴X的数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×==…（10分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．　24．（10分）（2019•如皋市一模）已知集合A={a1，a2，…an}（n∈N*），规定：若集合A1∪A2∪…∪Am=A（m≥2，m∈N*），则称{A1，A2，…，Am}为集合A的一个分拆，当且仅当：A1=B1，A2=B2，…Am=Bm时，{A1，A2，…，Am}与{B1，B2，…，Bm}为同一分拆，所有不同的分拆种数记为fn（m）．例如：当n=1，m=2时，集合A={a1}的所有分拆为：{a1}∪{a1}，{a1}∪∅，∅∪{a3}，即f1（2）=3．（1）求f2（2）；（2）试用m、n表示fn（m）；（3）证明：fn（i）与m同为奇数或者同为偶数（当i=1时，规定fn（1）=1）【考点】集合的表示法．【分析】（1）集合A1∪A2=A，对于每一个Aj（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，由此能求出f2（2）=9．（2）an有2m﹣1种进入A1，A2，…，Am的不同方法，根据分步计数原理，a1，a2，…，an进入A1，A2，…，Am共有（2m﹣1）n种不同方法，从而求出．（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开得（2i﹣1）n==[（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]，由此能证明fn（i）与m同为奇数或者同为偶数．【解答】解：（1）集合A1∪A2=A，对于每一个Aj（j=1，2），a1都有进入或不进入两种可能，而且a1至少进入其中一个Aj（j=1，2），所以a1有=3种进入A1，A2的不同方法；同理a2有=3种进入A1，A2的不同方法；根据分步计数原理，a1，a2进入A1，A2共有3×3=9种不同方法，即f2（2）=9．（2）∵集合A1∪A2∪…∪Am=A（m≥2，m∈N*），下面按ai（i=1，2，…，n）是否进入Aj（j=1，2，…，m）分为n步求解：第一步：对于每一个Aj（j=1，2，…，m），a1都有进入或不进入两种可能，而且a至少进入其中一个Aj（j=1，2，…，m），所以a1有种进入A1，A2，…，Am的不同方法；…（4分）第二步：同理a2有2m﹣1种进入A1，A2，…，Am的不同方法；…第n步：同理an有2m﹣1种进入A1，A2，…，Am的不同方法．根据分步计数原理，a1，a2，…，an进入A1，A2，…，Am共有（2m﹣1）n种不同方法，即．…（6分）（3）运用二项式定理将（2i﹣1）n展开可得：（2i﹣1）n=+…+（﹣1）n，其中i=1，2，…，m，∴=[（2i）n+（﹣1）C（2i）n﹣1+（﹣1）2+…+（﹣1）n]=+（﹣1）2+…+=2S+（﹣1）nn，其中S∈N*，所以当m为奇数时，2S+（﹣1）nm为奇数；当m为偶数时，2S+（﹣1）nm也为偶数，即fn（i）与m同为奇数或者同为偶数．【点评】本题考查函数表达式的求法，考查fn（i）与m同为奇数或者同为偶数的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则为（）A．B．C．D．2.已知，满足不等式组则目标函数的最小值为（）A．B．C．D．3.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）A．B．C．D．4.已知为实数，直线，，则“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5.已知函数的最小正周期为，将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（）A．B．C.D．6.已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A．B．C.D．7.双曲线的左、右焦点分别为，，点，在双曲线上，且，，线段交双曲线于点，，则该双曲线的离心率是（）A．B．C.D．8.已知定义在上的函数则下列说法中正确的个数有（）①关于的方程有个不同的零点；②对于实数，不等式恒成立；③在上，方程有个零点；④当时，函数的图象与轴围成的面积为.A．B．C.D．第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.为虚数单位，设复数满足，则的虚部是．10.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点、，则．11.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12.若（其中），则的展开式中的系数为．13.已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使成立，则的最小值为．14.已知直角梯形中，，，，，，是腰上的动点，则的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在锐角中，角，，的对边分别为，，，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）已知，的面积为，求边长的值.16.某大学在一次公益活动中聘用了名志愿者，他们分别来自于，，三个不同的专业，其中专业人，专业人，专业人，现从这人中任意选取人参加一个访谈节目.（Ⅰ）求个人来自于两个不同专业的概率；（Ⅱ）设表示取到专业的人数，求的分布列与数学期望.17.如图，四边形与均为菱形，，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若为线段上的一点，且满足直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.18.已知数列的前项和满足：，（为常数，，）.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，若数列为等比数列，求的值；（Ⅲ）在满足条件（Ⅱ）的情形下，.若数列的前项和为，且对任意满足，求实数的取值范围.19.已知椭圆的两个焦点分别为和，过点的直线与椭圆交于轴上方的，两点，且.（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）（ⅰ）求直线的斜率；（ⅱ）设点与点关于坐标原点对称，直线上有一点在的外接圆上，求的值.20.已知函数，的最大值为.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性；（Ⅲ）当时，令，是否存在区间.使得函数在区间上的值域为若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由.试卷答案一、选择题1-5:ABDAD6-8:CDB二、填空题9.10.11.12.13.14.三、解答题15.解：（1）由已知得，由正弦定理得，∴，又在中，，∴∴.（２）由已知及正弦定理又SΔABC=，∴eq\f(1,2)，得由余弦定理得.16.（1）令A表示事件“3个人来自于两个不同专业”，表示事件“3个人来自于同一个专业”，表示事件“3个人来自于三个不同专业”，则由古典概型的概率公式有；（2）随机变量X的取值为：0，1，2，3则，，,, X 0 1 2 3 P ．17.解析：（1）设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，∴,又，∴平面.（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵为中点，∴，又，∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，设，∵四边形为菱形，，∴.∵为等边三角形，∴.∴，∴，设平面的法向量为，则令，得设平面的法向量为，则，令，得所以又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为（3）设SKIPIF1<0所以化简得解得：所以.18.解：（1）且数列是以为首项，为公比的等比数列（2）由得，因为数列为等比数列，所以，解得.(3)由（2）知所以，所以，解得.19.解：(1)由得，从而整理，得，故离心率(2)解法一：(i)由（I）得，所以椭圆的方程可写设直线AB的方程为，即.由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得.依题意，而①②w由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得SKIPIF1<0，将代入②中，解得.解法二：利用中点坐标公式求出，带入椭圆方程消去，解得解出(依照解法一酌情给分)(ii)由(i)可知当时，得，由已知得.线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是外接圆的圆心，因此外接圆的方程为.直线的方程为，于是点H（m，n）的坐标满足方程组，由解得故20.(1)由题意得，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.所以当时，取得极大值，也是最大值，所以，解得.（2）的定义域为.①即,则，故在单调增②若,而,故,则当时，;当及时，故在单调递减，在单调递增。③若,即,同理在单调递减，在单调递增（3）由（1）知，所以，令，则对恒成立，所以在区间内单调递增，所以恒成立，所以函数在区间内单调递增.假设存在区间，使得函数在区间上的值域是，则，问题转化为关于的方程在区间内是否存在两个不相等的实根，即方程在区间内是否存在两个不相等的实根，令，，则，设，，则对恒成立，所以函数在区间内单调递增，故恒成立，所以，所以函数在区间内单调递增，所以方程在区间内不存在两个不相等的实根.综上所述，不存在区间，使得函数在区间上的值域是.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本小题12小题，每小题5分，计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，）1.设集合，则()A.B.C.D.2.若，则（）A.1B.C.D.3.＝（）A.B.C.D.4.为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学生段分层抽样D.系统抽样5.已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（）A.B.C.D.6.已知，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.[KS5UKS5U]7.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.112B.80C.72D.648.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的分别为14，18，则输出的＝（）A.0B.2C.4D.149.将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图像的对称轴为（）A.B.C.D.10.已知，，则的最小值是（）A.4B.C.2D.2[KS5UKS5U]11.二项式展开式中的系数为10，则（）A.3B.2C.1D.12.已知函数，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.第Ⅱ卷[KS5UKS5UKS5U][KS5UKS5U]本卷包括必考和选考题两部分，第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题—第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，计20分）13.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市。乙说：我没去过C城市。丙说：我们三人去过同一城市。由此可判断乙去过的城市为.14.已知满足不等式组，且的最大值是最小值的3倍，则.15.若数列的前项和为则的通项公式是.16.记实数中的最小值为，则的最大值为.三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17.（本小题满分12分）已知中，角所对的边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）已知等差数列的公差不为0，若，且成等比数列，求的前项和.18.（本小题12分）某校为了解2018届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右前3个小组的频率之比为1：2：4，其中第二小组的频数为11.（1）求该校报考飞行员的总人数；（2）若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的学生中（人数很多）任选3人，设表示体重超过60的学生人数，求的分布列及数学期望。19.（本小题12分）如图，矩形中，,半圆为直径，平面垂直于半圆所在的平面，为半圆周上任意一点（与B、C不重合）.（1）求证：平面;[KS5UKS5U]（2）若为半圆周中点，求此时二面角的余弦值。20.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点，得到菱形的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知，点在线段的垂直平分线上，，求的值.21.（本题满分12分）已知.（1）求函数在上的最小值.（2）对一切恒成立，求实数的取值范围.（3）证明：对一切