数学问题与模式探求第33题 掷硬币的胜负

第33题 掷硬币的胜负 　　在一个游戏中，参与者们被要求向一个放大的围棋盘中投掷圆形硬币。如图33—1所示，若硬币接触到各个方格的边界，游戏者就输了；若硬币滚出棋盘，则游戏重新开始；若钱币完全落在某个方格的内部，则游戏者获胜。假设棋盘中小方格的边长为10cm，硬币直径为4cm时，问游戏者获胜的可能性有多大？ 　　：如图33-1所示，若掷下的硬币位于①的位置，游戏者获胜；若掷下的硬币位于②③位置，则游戏者输了。因为硬币是圆形的，棋盘中每个方格的大小均相同，所以只需考虑在某个方格内掷下的硬币不与方格边界接触的可能性有多大。 　　根据题意以及圆的性质，当硬币中心到正方形的四条边的距离均小于硬币半径时，游戏者获胜。因此，为了使问题得到解决，只要考虑硬币的中心所在位置与游戏者胜负间的关系。如图33—2所示，设外面的正方形A′B′C′D′表示棋盘的小方格，则当且仅当硬币圆心位于里面的小正方形ABCD内时，游戏者获胜，我们称正方形ABCD内的部分为“获胜区域”。由已知，A′B′=10cm，AB=10-4=6cm。 　　 　　解：略 　　回顾：一般地，在某个游戏中，若参与者获胜与输掉的可能性相等，才能称该游戏是公正的。由前面的分析可知，本问题中的游戏者获胜的可能性小于0.5，这显然不是一个公正的游戏。因此最容易想到的问题是当方格的边长与硬币的大小保持怎样的关系才能保证游戏是公正的。 　　设正方形方格的边长为l，硬币的半径为R，则游戏者在某方格中的获胜区域为边长等于(l-2R)的正方形，所以游戏者获胜的可能性为 　　上面得到了棋盘为正方形方格的一般结论，你能否设计出一个由正六边形构成的棋盘，当用半径为2cm的硬币按本问题中的规则进行游戏时是公正的。 　　首先，由于正六边形的每个内角均为120°，所以由边长相等的正六边形可以拼成一个平面(如图33-3)，即用正六边形可以构成一个棋盘，所以只需考虑用来构成棋盘的正六边形的边长的大小。 　　如图33-4所示，设正六边形A′1A′2A′3A′4A′5A′6的边长为xcm，其内部的小正六边形A1A2A3A4A5A6为游戏者的“获胜区域”，其中AiAi+1∥AiAi+1，AiAi+1与A′iA′i+1(i=1，2，3，4，5，6，i7=i1)间距离为2cm，且两个正六边形有公共中心O。 　　设半径为2cm的圆A1与A′1A′6相切于H，则∠HA1A′1=30°， 　　A1H⊥A′6A′1A1 　　　 　　 　　保证进行具有公正性的游戏。 　　注：这里所指的游戏者获胜的“可能性”，从概率论的角度来看，就是获胜的概率。 练习33 　　1．若已知棋盘边长为15cm，宽为10cm的长方形构成，按照本问题中的规则作游戏，若硬币的直径为4cm，问游戏者获胜的可能性为多少？ 　　2．能否用平行四边形构成棋盘？正五边形呢？ 　　3．甲、乙两人用投硬币的方法决定谁能得到一笔奖金。其规则如下：掷出的硬币落地后，若正面向上，则计甲得一分，若反面朝上，则计乙得一分，若某方首先得满十分，则该方获得全部奖金。当两人比赛结果为甲∶乙=8∶7时，因故比赛不能再进行下去了，问这些奖金应按何种比例分配给两人？ PAGE 1