数学问题与模式探求第29题 过 河

第29题 过 河 　　人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，每次只能运载其中的一物和人本身，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。问人、狗、鸡、米怎样过河？ 　　分析：问题的初始状态是人、狗、鸡、米均在本岸，要求经过一系列的过河运载(每次运载只能一人一物，而且不能把狗和鸡留在一起，也不能把鸡和米留在一起)，最后达到目标状态，即人、狗、鸡、米均在对岸。为了将问题数学化，我们用四元数组(即由4个数所组成的数组来示初始状态，目标状态以及中间的各种可取状态。当一物在本岸时，用数字“1”表示；在对岸时，用数字“0”表示。于是，人、狗、鸡、米的状态可以用每个数取0或1的四元数组来表示。例如，(1，0，1，0)表示人在本岸，狗在对岸，鸡在本岸，米在对岸，每个数取0或1的四元数组共有16个： 　　(1，1，1，1)　　　　　　 (0，0，0，0) 　　(1，1，1，0) 　　　　　　(0，0，0，1) 　　(1，1，0，1) 　　　　　　(0，0，1，0) 　　(1，0，1，1) 　　　　　　(0，1，0，0) 　　(1，1，0，0) 　　　　　　(0，0，1，1) 　　(1，0，1，0) 　　　　　　(0，1，0，1) 　　(1，0，0，1) 　　　　　　(0，1，1，0) 　　(1，0，0，0) 　　　　　　(0，1，1，1) 　　由于鸡和米或者狗和鸡不能留在一起，所以(1，1，0，0)，(0，0，1，1)，(1，0，0，1)，(0，1，1，0)(1，0，0，0)，(0，1，1，1)所表示的状态都是不允许的，而其他10个状态都是允许存在的，也就是说，是可取状态，它们分别是 　　(1，1，1，1) 　　　　　　(0，0，0，0) 　　(1，1，1，0) 　　　　　　(0，0，0，1) 　　(1，1，0，1) 　　　　　　(0，0，1，0) 　　(1，0，1，1) 　　　　　　(0，1，0，0) 　　(1，0，1，0) 　　　　　　(0，1，0，1) 　　我们用10个顶点分别表示以上10个可取状态。如果一个可取状态可以经过一次过河运载转移到另一个可取状态，那么在表示这两个可取状态的顶点之间联结一条边，从而构成一个图(图29-1)。例如，(1，0，1，1)和(0，0，1，0)之间联结一条边表示如果人把米从本岸运到对岸，那么可取状态(1，0，1，1)就转移到可取状态(0，0，1，0)；反过来，如果人把米从对岸运到本岸，那么可取状态(0，0，1，0)就转移到可取状态(1，0，1，1)。现在问题变为在图29-1中找一条从顶点(1，1，1，1)通过相联结的边到顶点(0，0，0，0)的路径，每条路径就是一个解。 　　解：从图29-1可以找到两条从顶点(1，1，1，1)到顶点(0，0，0，0)的路径(如图29-2所示)，其中一条所表示的解为 　　(1)人把鸡运到对岸； 　　(2)留下鸡，人返回； 　　(3)人把狗运到对岸； 　　(4)留下狗，人把鸡带回； 　　(5)人把米运到对岸； 　　(6)人独自返回，留下米(还有狗)； 　　(7)人把鸡运到对岸。 　　只要把(3)，(4)，(5)分别改为 　　(3)人把米运到对岸； 　　(4)留下米，人把鸡带回； 　　(5)人把狗运到对岸 　　就得到另一解。 　　这二解所需的运载次数相等，所以是等优的。 　　回顾：以上我们采用图作数学模型，直观明了地解决了问题。由于人狗鸡米过河问题比较简单，也可以用递推方法来解，这方法基于逻辑推理。 　　为了直观起见，我们可以如表29-1所示边画边思考。 　　由于狗鸡或鸡米不能留在一起，第1次过河只能是人把鸡运到对岸；第2次过河只能考虑留下鸡，人返回，否则人与鸡都返回，那么又恢复原状；第3次过河可以考虑人把狗运到对岸(如果考虑人把米运到对岸，那么可能得到另一解)；第4次过河人不能把狗带回(否则又恢复第3次过河前的状态)，也不能人独自返回(否则狗鸡留在一起)，所以只能考虑人把鸡带回；同样，第5次过河也只能人把米运到对岸；第6次过河将是人独自返回；最后，只有人与鸡在本岸；于是，第7次过河只要人把鸡运到对岸，就完成了过河问题。 　　在第3次过河时，如果人把米运到对岸，则将得到另一解。 　　注：50年代中期，由于计算机科学技术迅猛发展，出现了一门新兴的学科，叫做“人工智能”。人工智能研究的是如何使计算机具有人类的智能，使计算机像人类那样智能地工作，去完成那些需要人的智能才可以完成的工作。从另一个角度来说，人工智能研究如何使人的智能用计算机来实现。例如，本题中从初始状态(1，1，1，1)到目标状态(0，0，0，0)的搜索过程都可以用人工智能的方法——由计算机来实现。利用人工智能的方法还能证明定理(例如，平面几何中的定理)。机器证明定理就是把人证明定理的过程通过一套符号体系，变成一系列能在计算机上实现的符号运算过程，从而把人的推理演绎过程机械化。最近，人工智能的研究还在下棋方面取得巨大的成就，下国际象棋的计算机程序已达到世界冠军级的水平，人们不仅将国际象棋大师们下棋的经验知识和技巧变成计算机可用的规则，编进计算机程序中去，而且计算机已达到在3分钟内可计算500亿步棋的速度。人们认为，人工智能的发展将对人类的生活方式以及人类认识自己的方式产生巨大而深刻的影响。 练习29 　　1．夫妻过河问题(阿拉伯早期数学题)：有三对夫妻要过河，而渡船最多载2人。由于封建意识严重，要求任一女子不能在丈夫不在场的情况下与另外的男人在一起。如何安排三对夫妻过河。 　　2．分油问题：有一个人用装10斤油的瓶装了一瓶油拿到市场上去卖，正好来了两个买油的，每人要买5斤，但是没有秤，只有二只空瓶，一个能装7斤油，另一个能装3斤油。试用这3个瓶把10斤油分成两份各为5斤的油。 PAGE 1