同济六版高等数学上下册课后习题答案1-10

习题1(10 1( 证明方程x5(3x(1至少有一个根介于1和2之间( 证明 设f(x)(x5(3x(1( 则f(x)是闭区间[1( 2]上的连续函数( 因为f(1)((3( f(2)(25( f(1)f(2)(0( 所以由零点定理( 在(1( 2)内至少有一点( (1(((2)( 使f(()(0( 即x(( 是方程x5(3x(1的介于1和2之间的根( 因此方程x5(3x(1至少有一个根介于1和2之间( 2( 证明方程x(asinx(b( 其中a(0( b(0( 至少有一个正根( 并且它不超过a(b( 证明 设f(x)(asin x(b(x( 则f(x)是[0( a(b]上的连续函数( f(0)(b( f(a(b)(a sin (a(b)(b((a(b)(a[sin(a(b)(1](0( 若f(a(b)(0( 则说明x(a(b就是方程x(asinx(b的一个不超过a(b的根( 若f(a(b)(0( 则f(0)f(a(b)(0( 由零点定理( 至少存在一点(((0( a(b)( 使f(()(0( 这说明x(( 也是方程x=asinx(b的一个不超过a(b的根( 总之( 方程x(asinx(b至少有一个正根( 并且它不超过a(b( 3( 设函数f(x)对于闭区间[a( b]上的任意两点x、y( 恒有|f(x)(f(y)|(L|x(y|( 其中L为正常数( 且f(a)(f(b)(0( 证明( 至少有一点(((a( b)( 使得f(()(0( 证明 设x0为(a( b)内任意一点( 因为 ( 所以 ( 即 ( 因此f(x)在(a( b)内连续( 同理可证f(x)在点a处左连续( 在点b处右连续( 所以f(x)在[a( b]上连续( 因为f(x)在[a( b]上连续( 且f(a)(f(b)(0( 由零点定理( 至少有一点(((a( b)( 使得f(()(0( 4( 若f(x)在[a( b]上连续( a(x1(x2( ( ( ( (xn(b( 则在[x1( xn]上至少有一点( ( 使 ( 证明 显然f(x)在[x1( xn]上也连续( 设M和m分别是f(x)在[x1( xn]上的最大值和最小值( 因为xi([x1( xn](1( i(n)( 所以有m(f(xi)(M( 从而有 ( ( 由介值定理推论( 在[x1( xn]上至少有一点(  使 ( 5( 证明( 若f(x)在(((( (()内连续( 且 存在( 则f(x)必在(((( (()内有界( 证明 令 ( 则对于给定的((0( 存在X(0( 只要|x|(X( 就有 |f(x)(A|(( ( 即A(((f(x)(A(( ( 又由于f(x)在闭区间[(X( X]上连续( 根据有界性定理( 存在M(0( 使|f(x)|(M( x([(X( X]( 取N(max{M( |A((|( |A((|}( 则|f(x)|(N( x((((( (()( 即f(x)在(((( (()内有界( 6( 在什么条件下( (a( b)内的连续函数f(x)为一致连续？ _1095060096.unknown _1118469376.unknown _1118469378.unknown _1118469379.unknown _1118469377.unknown _1118469373.unknown _1118469375.unknown _1118469371.unknown _1118469372.unknown _1095060336.unknown _1118469370.unknown _1095058714.unknown _1095059064.unknown _1095059992.unknown _1095058760.unknown _1093157600.unknown _1095058698.unknown _1092317943.unknown