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高数数学教案详细doc高等数学电子教案8(多元函数微分学)

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高数数学教案详细doc高等数学电子教案8(多元函数微分学)高等数学电子教案8 【授课日期】第18周之第8次课 【授课课时】4课时 【授课班级】 09建筑1、2、3班 【授课课题】多元函数微分法及其应用 【内容要点】 通过本次课的学习,学生应掌握如下内容要点:(红色字体的为重点内容) 1. 多元函数的基本概念; 2. 偏导数与高阶偏导数; 3. 全微分; 4. 复合函数微分法; 5. 隐函数的求导; 6. 偏导数在几何上的应用; 7. 多元函数的极值。 第八章 多元函数微分法及其应用 第1节 多元函数的基本概念 一、平面点集, 维空间 1.平面点集 (1) ...
高数数学教案详细doc高等数学电子教案8(多元函数微分学)
高等数学电子教案8 【授课日期】第18周之第8次课 【授课课时】4课时 【授课班级】 09建筑1、2、3班 【授课课】多元函数微分法及其应用 【内容要点】 通过本次课的学习,学生应掌握如下内容要点:(红色字体的为重点内容) 1. 多元函数的基本概念; 2. 偏导数与高阶偏导数; 3. 全微分; 4. 复合函数微分法; 5. 隐函数的求导; 6. 偏导数在几何上的应用; 7. 多元函数的极值。 第八章 多元函数微分法及其应用 第1节 多元函数的基本概念 一、平面点集, 维空间 1.平面点集 (1) 邻域:设 为 平面上一个点, 为一个正数,集合 点 的 邻域(以 为中心,以 为半径的邻域),即 的去心 邻域(以 为中心,以 为半径的去心邻域)为 或 ( )也通常称为点 的(去心)邻域。 (2) 内点:设 为平面点集, 为一点,如果存在 ,则 称为 的内点。集合 的点都是 的内点。 (3) 外点:设 为平面点集, 为一点,如果存在 使得 ,则 称为 的外点。 (4) 边界点:设 为平面点集, 为一点,如果 的任何邻域既含有属于 的点,又含有不属于 的点,则 称为 的边界点。 (5) 边界:平面点集 的边界点的全体称为 的边界,记为 。 注意: 的内点一定属于 ; 的外点一定不属于 ; 的边界点可能属于 ,也可能不属于 。 (6) 聚点:设 为平面点集, 为一点,如果 的任何去心邻域 总含有 中点,即对于任何 , ,则 称为 的聚点。 由定义,点集 的聚点可以属于 ,也可以不属于 。如 中的点也是 的聚点。 (7) 开集:如果点集 的点都是 的内点,则 称为开集。 (8) 闭集:如果点集 的余集 是开集,或者说点集 的聚点都属于 ,则 称为闭集。 例如: 为开集; 为闭集; 既不是开集,也不是闭集。 (9) 连通集:如果点集 中的任何两点总可用完全属于 的折线连接,则 称为连通集。 (10) 区域:连通的开集称为区域(开区域) (11) 闭区域:区域连同其边界构成的集合称为闭区域。 例如: 是区域; 为闭区域; 不是区域,也不是闭区域。 (12) 有界集:对于平面点集 ,如果存在某一正数 ,使得 ,则 称为有界集;否则, 称为无界集。 例如: 为有界集; 为无界集。 2. 维空间 集合 记为 。 在 中定义线性运算:即 , ,定义 在 中定义线性运算后, 称为 维空间。 中两点间 与 的距离定义为 二、多元函数概念 例1 圆柱体的体积 , 例2 设 是电阻 与 并联后的总电阻,则 , 定义1 设 是 的一个非空子集,称映射 为定义在 上的二元函数,记为 , 或 , 其中点集 称为函数的定义域,集合 称为函数的值域。 类似,可以定义三元函数 , 以及 元函数 , 或 , 一般情况,用算式表达的多元函数 ,其定义域为使算式有意义的点 的全体所构成的集合。例如, 的定义为 函数 的定义域为 对于二元函数 , 中的点集 称为二元函数 的图形。一般情况,二元函数 的图形为一个曲面。如 的图形为旋转抛物面; 的图形为上半球面。 三、多元函数的极限 对于二元函数 , 或 表示 定义2 设二元函数 的定义域为 , 为 的聚点,如果存在常数 ,对于任意给定的正数 ,总存在正数 ,使得当点 时,都有 则常数 称为函数 当 时的极限,记为 或 也可记为 或 例3 设 ,求证 。 证明:由于 因此,任给 ,取 ,当 时,有 所以 注意: 是 以任何方式趋向于 时, 都趋向于 ,或者说 沿任何路径趋向于 时, 都趋向于 。如果 沿不同路径趋向于 时, 趋向于不同的极限,则 趋向于 时, 没有极限。 例4 考察函数 当 的极限情况。 解:当 沿 轴方向趋向于 时,有 当 沿 方向趋向于 时,有 因此,当 时, 没有极限。 例5 求 解: 四、多元函数的连续性 定义3 设二元函数 的定义域为 , 为 的聚点,且 ,如果 则称函数 在点 连续。 如果函数 在 的每一点都连续,则称函数 在 上连续,或者说 是 上的连续函数。 定义4 设函数 的定义域为 , 为 的聚点,如果函数 在点 不连续,则称 为函数 的间断点。 例如,根据前面讨论,函数 在 不连续, 是函数 的一个间断点。又如函数 在圆周 上的点没有定义,因此, 在圆周 上不连续。 与一元函数连续性类似,可得一切多元初等函数在其定义区域(包含在定义内的区域)内是连续的。 如果 是初等函数, 是其定义区域内的一点,则 例如 例6 求 解: 与闭区间上一元连续函数的性质类似,在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质: 有界性质:在有界闭区域 上连续的多元函数必定在 上有界。 最大值与最小值性质:在有界闭区域 上连续的多元函数必定在 上取得它的最大值和最小值。 介值性质:在有界闭区域 上连续的多元函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。 第2节 偏导数 一、偏导数的定义与计算 定义 设函数 在点 的某邻域内有定义,如果 存在,则称此极限为函数 在点 处对 的偏导数,记为 , , 或 即 类似,函数 在点 处对 的偏导数记为 , , 或 定义为 如果函数 在区域 内每一点 处的偏导数都存在,则在区域 内定义两个偏导函数 与 。偏导函数也简称为偏导数。 偏导数的概念可推广到二元以上的函数。例如,三元函数 在 处对 的偏导数定义为 类似可定义 和 。 例1 求 在点 的偏导数。 解:将 看成常数,得 同理 因此得 , 例2 求 的偏导数。 解: , 例3 设 ,求证: 证:因为 , 得 例4 求 的偏导数。 解:将 和 看成常数,得 由于所给函数关于自变量的对称性,得 , 二元函数 在点 处的偏导数的几何意义: 由偏导数的定义, 可看成函数 在 处的导数,根据导数的几何意义, 是曲线 在 处的切线对 轴的斜率。同理, 是曲线 在 处的切线对 轴的斜率。 例5 考察函数 在点 处的偏导数。 解: 同样有 即函数在点 处的两个偏导数都存在。但由第一节讨论知道,该函数点 处是不连续的。 二、高阶偏导数 一般情况,函数 的两个偏导数 和 仍然是 , 的函数。因此,可以考虑 和 的偏导数,即二阶偏导数,依次记为 , , 类似,可定义三阶、四阶以及 阶偏导数。 例6 设 ,求 , , , 及 解:由于 , 得 , , 由此例看出: 。本书所涉及的函数都满足与求导数的次序无关的条件。 例7 验证函数 满足方程 解:因为 ,得 , 由此看出 例8 证明函数 满足方程 其中 。 证: 由于函数关于自变量的对称性,得 , 因此 第3节 全微分 一、全微分的定义 根据一元函数微分学增量与微分的关系,可得 这里, 与 称为偏增量, 与 称为偏微分。对于函数 ,在点 处的全增量为 定义 如果函数 在点 处的全增量 可表示为 其中 、 不依赖于 、 而仅与 、 有关, ,则称函数 在点 可微分,而 称为函数 在点 的全微分,记为 ,即 如果函数 在区域 内每一点都可微分,则称函数 在区域 内可微分。 如果函数 在点 处可微分,即 或 因此 这说明函数 在点 处连续。 定理1(必要条件)如果函数 在点 可微分,则函数 在点 的偏导数 、 存在,而且有 证:设 在点 可微分,因此 取 ,得 因此得 即 存在,且 。同理证 。 但是,如果一个函数 偏导数存,函数不一定可微分。考查函数 在 处,偏导数存在,且 , ,从而 注意到 不存在,即 不能表示为 的高阶无穷小,故函数 在 处是不可微分的。 定理2(充分条件)如果函数 的偏导数 、 在点 连续,则函数在该点可微分。 证:考察全增量 应用微分中值定理,得 , , 由于 的偏导数 、 在点 连续,可得 这里,当 时 ,因此 由于 故当 ,即 时, 。即函数 在点 处可微分。 对于自变量 、 ,增量也是微分,即 、 。因此对于可微分的函数 ,其全微分可写成 对于可微分的三元函数 ,也有 例1 计算函数 的全微分 解:因为 , ,得 例2 计算函数 在点 处的全微分。 解:因为 , ,得 , 因此 例3 计算函数 的全微分。 解:因为 , , 得 二、全微分在近似计算中的应用 如果函数 在点 处可微分,则 或 或 例4 计算 的近似值 解:设 ,则 取 , 。由于 , , 得 第四节 多元复合函数的求导法则 定理1 如果函数 及 都在 处可导,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数 在 处可导,而且有 证:设 有增量 时, 及 的对应增量为 , 因此 这里,当 时, 。 两边除以 ,得 因为当 时, , , ,得 即 (1) 类似,对于三元函数 , , , ,其复合函数 ,有 (2) 例1 设 ,而 , ,求 。 解:利用公式(1),得 定理2 如果函数 及 都在点 具有对 及 的偏导数,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数 在点 的两个偏导数存在,而且有 (3) (4) 证明与定理1类似。 类似,对于三元函数 , , , ,其复合函数 ,有 (5) (6) 例2 设 ,而 , ,求 , 。 解:由公式(3)、(4)得 例3 设函数 在对应点 具有连续偏导数,函数 在点 具有对 及 的偏导数, 在点 处可导,求复合函数 的偏导数 解:本题属于定理2的特例,即 , 转化为 ,而因此有 例4 设 具有连续偏导数,而 具有偏导数,求复合函数 的偏导数。 解:本题可看成公式(5)、(6)的特例,即 ,而 , , ,因此得 , , , 这样, 注意: 与 、 与 的差别。 例5 设 ,而 ,求 , 。 解:参考例4,得 例6 设 , 具有二阶连续偏导数,求 , 。 解:令 , ,并引入记号 , 得 再记 , , ,得 全微分形式不变性:设 具有连续偏导数,则有全微分 如果 、 又是 、 的函数,即 , ,则复合函数 的全微分为 由复合函数的偏导数公式,得 这说明:无论 、 是自变量或是中间变量,函数 的全微分的形式 总是正确的。这个性质称为全微分形式不变性。 例7 设 , , ,其中 、 与 都具有一阶连续偏导数,求 , 。 解:对各个函数求全微分,得 代入,得 利用全微分的形式不变性,得 第五节 隐函数的求导公式 一、一个方程的情形 隐函数存在定理1 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导数,且 , ,则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 ,满足条件 ,并有 设函数 由方程 确定,得 两边对 求导数,得 因此得 对于函数 求二阶导数,得 例1 设函数 由方程 确定,求 。 解:由于 得 例2 设方程 在点 的某邻域内确定 ,求 。 解:由于 ,故 由于是在点 的某邻域内,故 时, ,因此 隐函数存在定理2 设函数 在点 的某一邻域内具有连续偏导数,且 , ,则方程 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 ,满足条件 ,并有 , 设函数 由方程 确定,得 两边分别对 、 求偏导数,得 , 因此得 , 例3 设 ,求 。 解:由于 得 从而 二、方程组的情形 一般情况,方程组 可确定两个二元函数 , ,有下面的定理保证。 隐函数存在定理3 设函数 、 在点 的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数,又 , ,且函数 、 的雅可比行列式 在点 不等于零,则方程组 , 在点 的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数 , ,满足条件 , ,并有 , , 定理不证,仅推导求导公式:设 , 由方程组 , 确定,则 两边都对 求偏导数 由于 解得 , 同理可得 , 例4 设 , ,求 , , , 。 解: 把 看成 的函数,将方程两边对 求偏导,得 解出 、 得 用同样的,可得 , 第六节 多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线 的参数方程为 : , , 在曲线 取一点 ,对应参数为 ;在 的邻近取一点 ,对应参数为 ,连接 与 的割线的方程为 当 沿曲线 趋向于 时,割线 的极 限位置 就是曲线 在点 的切线(图)。 割线 的方程也可写成 当 时, ,因此,割线 的极限位置 的方程(曲线 在点 的切线方程)为 切线的方向向量 也称为曲线 的切向量。 过切点 且与切线垂直的平面称为曲线 在点 的法平面。故曲线 在点 的法平面的方程为 例1 求曲线 , , 在点 处的切线与法平面的方程。 解:因为 , , ,点 对应 ,所以曲线在点 处的切向量为 故切线方程为 法平面方程为 即 如果空间曲线 的方程为 : 则可转化为参数形式 : 因此,曲线 的切向量为 ,曲线 在点 处的切线方程为 法平面方程为 如果空间曲线 的方程为 : 并假设 则曲线 的方程等价为 : 其中 , 是由方程组 确定的隐函数。因此有 两边分别对 求导数,得 由假设,在点 的某邻域内 因此可解得 , 曲线 在点 的切向量 ,其中 , 这里,下标0表示在点 处取值。注意:切向量也可等价的取成 这样,曲线 在点 处的切线方程为 法平面方程为 例2 求曲线 , 在点 处的切线及法平面的方程。 解:将所给方程的两边对 求导,得 解得 , 因此 , 从而,曲线在点 处的切向量为 。 故曲线在点 处的切线方程为 法平面方程为 即 二、曲面的切平面与法线 设曲面 由一般方程给出,即 : 为曲面 上一点, 为曲面 上过 的一条曲线, 的方程为 , , 对应于 ,即 , , 。由于曲线 在曲面 上,故 两边对 求导数,并 处取值,得 引入向量 由此看出: 垂直于曲线 的切向量 。注意到在曲面 的 , 为常向量,而 为曲面 过 点的任意一条曲线,即 垂直于曲面 过点 的任何曲线的切向量,也就是曲面 过 点的所有曲线的切向量在一个平面内,这个平面称为曲面 在 点的切平面。明显,切平面的法向量为 称为曲面 在点 的法向量。因此,法平面的方程为 过点 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,法线方程为 特例,如果曲面 的方程为 : 则 ,因此,曲面的法向量为 或 故曲面的切平面方程为 其中 ,或 曲面的法线方程为 例3 求球面 在点 处的切平面及法线方程。 解:由于 得 在点 处, ,故切平面方程为 或 法线方程为 例4 求旋转抛物面 在点 处的切平面及法线方程。 解: 第七节 方向导数与梯度 一、方向导数 设 是 平面上以 为始点的一条射线, 是与 同方向的单位向量,射线 的参数方程为 函数 在点 的某邻域 内有定义, EMBED Equation.3 上的另一点,考虑极限 定义 如果 沿射线 趋向于 ( )时,极限 存在,则称此极限值为函数 在 点沿射线 方向的方向导数,记为 ,即 如果函数 在 点的偏导数存在,取 为 轴的正向,即 ,则 同理,取 为 轴的正向,即 ,则 思考题:取 为 轴和 轴的负向时, 与 及 的关系。 如果函数 在 点的偏导数存在,则沿 轴和 轴(正向或负向)的方向导数存在,而且分别为 在 点对变量 和 的偏导数。 当 在 的方向导数存在时,偏导数不一定存在,例如 ,在原点 沿任何方向 的方向导数 但其偏导数不存在,原因是极限 不存在。 如果函数 在 点的偏导数存在,可保证 沿 轴和 轴(正向或负向)的方向导数存在,不能保证 在 沿其它方向的方向导数存在,例如 显然, ,但在 点,除去沿坐标轴方向外,沿其它方向的方向导数都不存在。 定理 如果函数 在 点可微分,那么函数在该点沿任何方向 的方向导数存在,而且有 其中 , 是方向 的方向余弦。 证:由于 在 点可微分,故有 由于点 在以 为始点的射线 上,应有 , , ,因此 例1 求函数 在点 处沿从点 到点 方向的方向导数。 解: 方向为 ,与 同方向的单位向量为 ,又由于 , 因此得 对于三元函数 ,在空间一点 , 沿方向 的方向导数定义为 可以证明:如果 在 点可微分,则函数在该点沿方向 的方向导数为 例2 求 在点 沿方向 的方向导数,其中 的方向角分别为 . 解:由题设,与 同方向的单位向量为 因此 二、梯度 设 在平面区域 内具有一阶连续偏导数,对于每一点 ,给出一个向量 这个向量称为 在点 的梯度,记为 如果 是与方向 同方向的单位向量,则 其中 。由此看出:当 时,方向导数取得最大值,即沿梯度方向,函数的方向导数取得最大值,其最大值等于方向导数的模。 对于具有连续偏导数的三元函数 ,在其定义区域内的每一点 ,其梯度向量为 第八节 多元函数的极值及其求法 一、多元函数的极值 定义 设函数 的定义域为 , 为 的内点,如果存在 的某个邻域 ,使得对于该邻域内异于 的任何点 ,都有 则称函数 在点 有极大值 ,点 称为函数 的极大值点;如果存在 的某个邻域 ,使得对于该邻域内异于 的任何点 ,都有 则称函数 在点 有极小值 ,点 称为函数 的极小值点。极大值、极小值统称为函数的极值,使得函数取得极值的点称为极值点。 例1 函数 在 点处有极小值。 例2 函数 在 点处取得极大值。 例3 函数 在 点处既不取得极大值也不取得极小值,即 不是极值点。 定理1(必要条件)设函数 在点 具有偏导数,且在点 处有极值,则 , 证:不妨设 在点 处取得极大值。由定义,在点 的某邻域内异于 的点 ,都有 特别地,在该邻域内取 ,而 的点,也有 即一元函数 在 处取得极大值,因此必有 同理可证明 如果 在点 具有偏导数,且在点 处有极值,则曲面 在点 ( )的切平面为 与二元函数类似,如果三元函数 在点 具有偏导数,且在 处取得极值,则必有 , , 使得 , 同时成立的点 称为函数 的驻点。由定理1知道:具有偏导数的极值点一定是驻点;驻点不一定是极值点( );极值点不一定是驻点,偏导数不存在的点也可能是极值点( ) 定理2 (充分条件)设函数 在点 的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数,又 , ,令 , , 则 (1) 时具有极值,且当 时有极大值,当 时有极小值; (2) 时没有极值; (3) 时可能有极值,也可能没有极值,需另作讨论。 由此得求极值的一般方法: 第一步 解方程组 , 以求得所有的驻点。 第二步 对于每一个驻点 ,求出二阶偏导数值 、 和 。 第三步 对于每一个驻点 ,确定 的符号,以判定该点是否为极值点,对极值点确得极大值与极小值,并求出极值。 例4 求函数 的极值。 解:解方程组 求得驻点为 、 、 、 。 求出二阶偏导数 , , 在点 处, ,且 ,故 为极小值; 在点 处, ,故 不是极值; 在点 处, ,故 不是极值; 在点 处, ,且 ,故 为极大值。 二、多元函数的最大值与最小值 1.如果函数 在有界闭区域 上连续,在 内可微分且只有有限个驻点,求 在 上的最大值与最小值。其方法为: (1) 求出 在 的全体驻点,并求出 在各驻点处的函数值; (2) 求出 在 的边界上的最大值和最小值; (3) 将 在各驻点处的函数值与 在 的边界上的最大值和最小值相比较,最大者为 在 上的最大值,最小者 在 上的最小值。 2.对于实际问题,如果根据问题的性质,知道函数 的最大值(最小值)一定在区域 的内部取得,而函数 在 的内部只有一个驻点,则驻点处的函数值就是 在 上的最大值(最小值)。 例5 某厂要用铁板做成一个体积为2 m3有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省。 解:设水箱的长为 (m),宽为 (m),则高应为 (m),因此,水箱的用料的面积为 即 令 , 解方程组,得 。 根据题意,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并且只能在区域 内取得,而函数 在 内只有一个驻点 ,因此可断定当 , 取得最小值。 三、条件极值,拉格朗日乘数法 在例5 中,求 在区域 内的最小值,称为无条件极值;问题也可转化为求 在条件 下的极值,后者称为条件极值。 再如,求表面积为 的最大长方体的体积。设长方体的三边为 , 和 ,则 ,但需满足条件 ,即求 在条件 下的极值。如果解出 ,代入得 化为无条件极值。 讨论函数 在条件 下的取得极值的必要条件: 如果函数 在 取得极值,首先有 设 ,由隐函数存在定理, 确定一个隐函数 ,满足 。因此, 在 取得极值等价于 在 处取得极值,从而 又由于 代入得 令 , 在 取得极值的条件可表为 若引入辅助函数 则条件可表为 综上讨论,可得以下结论: 拉格朗日乘数法 要找函数 在条件 下可能取得极值的点,可以先作拉格朗日函数 其中 为参数,解方程组 由此解出 , 及 ,其中 就是函数 在条件 下可能取得极值的点。 例7 求表面积为 而体积为最大的长方体的体积。 解:设长方体的三棱长为 ,则问题就是在条件 下,求函数 的最大值。作拉格朗日函数 对 求偏导数,得方程组 由此可得 , 解得 代入约束条件,得 最大体积为 。 例8 将周长为 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才能使得圆柱体的体积为最大? 解:设矩形的边长分别为 , ,则圆柱体的体积为 (或 ) , 应满足条件 ( )。即问题为求 在条件 下的极值。为此,令 得方程组 解得 , 最大体积为 (绕短边旋转) PAGE 1 _1236876760.unknown _1236879755.unknown _1236933697.unknown _1239626849.unknown _1239674802.unknown _1239699318.unknown _1239727063.unknown _1239730513.unknown _1239768099.unknown _1239772137.unknown _1239798322.unknown _1239801077.unknown _1239803355.unknown 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