高数数学教案详细doc高等数学电子教案8(多元函数微分学)高等数学电子教案8
【授课日期】第18周之第8次课
【授课课时】4课时
【授课班级】 09建筑1、2、3班
【授课课题】多元函数微分法及其应用
【内容要点】
通过本次课的学习,学生应掌握如下内容要点:(红色字体的为重点内容)
1. 多元函数的基本概念;
2. 偏导数与高阶偏导数;
3. 全微分;
4. 复合函数微分法;
5. 隐函数的求导;
6. 偏导数在几何上的应用;
7. 多元函数的极值。
第八章 多元函数微分法及其应用
第1节 多元函数的基本概念
一、平面点集,
维空间
1.平面点集
(1) ...
高等数学电子教案8
【授课日期】第18周之第8次课
【授课课时】4课时
【授课班级】 09建筑1、2、3班
【授课课
】多元函数微分法及其应用
【内容要点】
通过本次课的学习,学生应掌握如下内容要点:(红色字体的为重点内容)
1. 多元函数的基本概念;
2. 偏导数与高阶偏导数;
3. 全微分;
4. 复合函数微分法;
5. 隐函数的求导;
6. 偏导数在几何上的应用;
7. 多元函数的极值。
第八章 多元函数微分法及其应用
第1节 多元函数的基本概念
一、平面点集,
维空间
1.平面点集
(1) 邻域:设
为
平面上一个点,
为一个正数,集合
点
的
邻域(以
为中心,以
为半径的邻域),即
的去心
邻域(以
为中心,以
为半径的去心邻域)为
或
(
)也通常称为点
的(去心)邻域。
(2) 内点:设
为平面点集,
为一点,如果存在
,则
称为
的内点。集合
的点都是
的内点。
(3) 外点:设
为平面点集,
为一点,如果存在
使得
,则
称为
的外点。
(4) 边界点:设
为平面点集,
为一点,如果
的任何邻域既含有属于
的点,又含有不属于
的点,则
称为
的边界点。
(5) 边界:平面点集
的边界点的全体称为
的边界,记为
。
注意:
的内点一定属于
;
的外点一定不属于
;
的边界点可能属于
,也可能不属于
。
(6) 聚点:设
为平面点集,
为一点,如果
的任何去心邻域
总含有
中点,即对于任何
,
,则
称为
的聚点。
由定义,点集
的聚点可以属于
,也可以不属于
。如
中的点也是
的聚点。
(7) 开集:如果点集
的点都是
的内点,则
称为开集。
(8) 闭集:如果点集
的余集
是开集,或者说点集
的聚点都属于
,则
称为闭集。
例如:
为开集;
为闭集;
既不是开集,也不是闭集。
(9) 连通集:如果点集
中的任何两点总可用完全属于
的折线连接,则
称为连通集。
(10) 区域:连通的开集称为区域(开区域)
(11) 闭区域:区域连同其边界构成的集合称为闭区域。
例如:
是区域;
为闭区域;
不是区域,也不是闭区域。
(12) 有界集:对于平面点集
,如果存在某一正数
,使得
,则
称为有界集;否则,
称为无界集。
例如:
为有界集;
为无界集。
2.
维空间
集合
记为
。
在
中定义线性运算:即
,
,定义
在
中定义线性运算后,
称为
维空间。
中两点间
与
的距离定义为
二、多元函数概念
例1 圆柱体的体积
,
例2 设
是电阻
与
并联后的总电阻,则
,
定义1 设
是
的一个非空子集,称映射
为定义在
上的二元函数,记为
,
或
,
其中点集
称为函数的定义域,集合
称为函数的值域。
类似,可以定义三元函数
,
以及
元函数
,
或
,
一般情况,用算式表达的多元函数
,其定义域为使算式有意义的点
的全体所构成的集合。例如,
的定义为
函数
的定义域为
对于二元函数
,
中的点集
称为二元函数
的图形。一般情况,二元函数
的图形为一个曲面。如
的图形为旋转抛物面;
的图形为上半球面。
三、多元函数的极限
对于二元函数
,
或
表示
定义2 设二元函数
的定义域为
,
为
的聚点,如果存在常数
,对于任意给定的正数
,总存在正数
,使得当点
时,都有
则常数
称为函数
当
时的极限,记为
或
也可记为
或
例3 设
,求证
。
证明:由于
因此,任给
,取
,当
时,有
所以
注意:
是
以任何方式趋向于
时,
都趋向于
,或者说
沿任何路径趋向于
时,
都趋向于
。如果
沿不同路径趋向于
时,
趋向于不同的极限,则
趋向于
时,
没有极限。
例4 考察函数
当
的极限情况。
解:当
沿
轴方向趋向于
时,有
当
沿
方向趋向于
时,有
因此,当
时,
没有极限。
例5 求
解:
四、多元函数的连续性
定义3 设二元函数
的定义域为
,
为
的聚点,且
,如果
则称函数
在点
连续。
如果函数
在
的每一点都连续,则称函数
在
上连续,或者说
是
上的连续函数。
定义4 设函数
的定义域为
,
为
的聚点,如果函数
在点
不连续,则称
为函数
的间断点。
例如,根据前面讨论,函数
在
不连续,
是函数
的一个间断点。又如函数
在圆周
上的点没有定义,因此,
在圆周
上不连续。
与一元函数连续性类似,可得一切多元初等函数在其定义区域(包含在定义内的区域)内是连续的。
如果
是初等函数,
是其定义区域内的一点,则
例如
例6 求
解:
与闭区间上一元连续函数的性质类似,在有界闭区域上连续的多元函数具有如下性质:
有界性质:在有界闭区域
上连续的多元函数必定在
上有界。
最大值与最小值性质:在有界闭区域
上连续的多元函数必定在
上取得它的最大值和最小值。
介值性质:在有界闭区域
上连续的多元函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值。
第2节 偏导数
一、偏导数的定义与计算
定义 设函数
在点
的某邻域内有定义,如果
存在,则称此极限为函数
在点
处对
的偏导数,记为
,
,
或
即
类似,函数
在点
处对
的偏导数记为
,
,
或
定义为
如果函数
在区域
内每一点
处的偏导数都存在,则在区域
内定义两个偏导函数
与
。偏导函数也简称为偏导数。
偏导数的概念可推广到二元以上的函数。例如,三元函数
在
处对
的偏导数定义为
类似可定义
和
。
例1 求
在点
的偏导数。
解:将
看成常数,得
同理
因此得
,
例2 求
的偏导数。
解:
,
例3 设
,求证:
证:因为
,
得
例4 求
的偏导数。
解:将
和
看成常数,得
由于所给函数关于自变量的对称性,得
,
二元函数
在点
处的偏导数的几何意义:
由偏导数的定义,
可看成函数
在
处的导数,根据导数的几何意义,
是曲线
在
处的切线对
轴的斜率。同理,
是曲线
在
处的切线对
轴的斜率。
例5 考察函数
在点
处的偏导数。
解:
同样有
即函数在点
处的两个偏导数都存在。但由第一节讨论知道,该函数点
处是不连续的。
二、高阶偏导数
一般情况,函数
的两个偏导数
和
仍然是
,
的函数。因此,可以考虑
和
的偏导数,即二阶偏导数,依次记为
,
,
类似,可定义三阶、四阶以及
阶偏导数。
例6 设
,求
,
,
,
及
解:由于
,
得
,
,
由此例看出:
。本书所涉及的函数都满足与求导数的次序无关的条件。
例7 验证函数
满足方程
解:因为
,得
,
由此看出
例8 证明函数
满足方程
其中
。
证:
由于函数关于自变量的对称性,得
,
因此
第3节 全微分
一、全微分的定义
根据一元函数微分学增量与微分的关系,可得
这里,
与
称为偏增量,
与
称为偏微分。对于函数
,在点
处的全增量为
定义 如果函数
在点
处的全增量
可表示为
其中
、
不依赖于
、
而仅与
、
有关,
,则称函数
在点
可微分,而
称为函数
在点
的全微分,记为
,即
如果函数
在区域
内每一点都可微分,则称函数
在区域
内可微分。
如果函数
在点
处可微分,即
或
因此
这说明函数
在点
处连续。
定理1(必要条件)如果函数
在点
可微分,则函数
在点
的偏导数
、
存在,而且有
证:设
在点
可微分,因此
取
,得
因此得
即
存在,且
。同理证
。
但是,如果一个函数
偏导数存,函数不一定可微分。考查函数
在
处,偏导数存在,且
,
,从而
注意到
不存在,即
不能表示为
的高阶无穷小,故函数
在
处是不可微分的。
定理2(充分条件)如果函数
的偏导数
、
在点
连续,则函数在该点可微分。
证:考察全增量
应用微分中值定理,得
,
,
由于
的偏导数
、
在点
连续,可得
这里,当
时
,因此
由于
故当
,即
时,
。即函数
在点
处可微分。
对于自变量
、
,增量也是微分,即
、
。因此对于可微分的函数
,其全微分可写成
对于可微分的三元函数
,也有
例1 计算函数
的全微分
解:因为
,
,得
例2 计算函数
在点
处的全微分。
解:因为
,
,得
,
因此
例3 计算函数
的全微分。
解:因为
,
,
得
二、全微分在近似计算中的应用
如果函数
在点
处可微分,则
或
或
例4 计算
的近似值
解:设
,则
取
,
。由于
,
,
得
第四节 多元复合函数的求导法则
定理1 如果函数
及
都在
处可导,函数
在对应点
具有连续偏导数,则复合函数
在
处可导,而且有
证:设
有增量
时,
及
的对应增量为
,
因此
这里,当
时,
。
两边除以
,得
因为当
时,
,
,
,得
即
(1)
类似,对于三元函数
,
,
,
,其复合函数
,有
(2)
例1 设
,而
,
,求
。
解:利用公式(1),得
定理2 如果函数
及
都在点
具有对
及
的偏导数,函数
在对应点
具有连续偏导数,则复合函数
在点
的两个偏导数存在,而且有
(3)
(4)
证明与定理1类似。
类似,对于三元函数
,
,
,
,其复合函数
,有
(5)
(6)
例2 设
,而
,
,求
,
。
解:由公式(3)、(4)得
例3 设函数
在对应点
具有连续偏导数,函数
在点
具有对
及
的偏导数,
在点
处可导,求复合函数
的偏导数
解:本题属于定理2的特例,即
,
转化为
,而因此有
例4 设
具有连续偏导数,而
具有偏导数,求复合函数
的偏导数。
解:本题可看成公式(5)、(6)的特例,即
,而
,
,
,因此得
,
,
,
这样,
注意:
与
、
与
的差别。
例5 设
,而
,求
,
。
解:参考例4,得
例6 设
,
具有二阶连续偏导数,求
,
。
解:令
,
,并引入记号
,
得
再记
,
,
,得
全微分形式不变性:设
具有连续偏导数,则有全微分
如果
、
又是
、
的函数,即
,
,则复合函数
的全微分为
由复合函数的偏导数公式,得
这说明:无论
、
是自变量或是中间变量,函数
的全微分的形式
总是正确的。这个性质称为全微分形式不变性。
例7 设
,
,
,其中
、
与
都具有一阶连续偏导数,求
,
。
解:对各个函数求全微分,得
代入,得
利用全微分的形式不变性,得
第五节 隐函数的求导公式
一、一个方程的情形
隐函数存在定理1 设函数
在点
的某一邻域内具有连续偏导数,且
,
,则方程
在点
的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数
,满足条件
,并有
设函数
由方程
确定,得
两边对
求导数,得
因此得
对于函数
求二阶导数,得
例1 设函数
由方程
确定,求
。
解:由于
得
例2 设方程
在点
的某邻域内确定
,求
。
解:由于
,故
由于是在点
的某邻域内,故
时,
,因此
隐函数存在定理2 设函数
在点
的某一邻域内具有连续偏导数,且
,
,则方程
在点
的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数
,满足条件
,并有
,
设函数
由方程
确定,得
两边分别对
、
求偏导数,得
,
因此得
,
例3 设
,求
。
解:由于
得
从而
二、方程组的情形
一般情况,方程组
可确定两个二元函数
,
,有下面的定理保证。
隐函数存在定理3 设函数
、
在点
的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数,又
,
,且函数
、
的雅可比行列式
在点
不等于零,则方程组
,
在点
的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数
,
,满足条件
,
,并有
,
,
定理不证,仅推导求导公式:设
,
由方程组
,
确定,则
两边都对
求偏导数
由于
解得
,
同理可得
,
例4 设
,
,求
,
,
,
。
解: 把
看成
的函数,将方程两边对
求偏导,得
解出
、
得
用同样的
,可得
,
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线
的参数方程为
:
,
,
在曲线
取一点
,对应参数为
;在
的邻近取一点
,对应参数为
,连接
与
的割线的方程为
当
沿曲线
趋向于
时,割线
的极
限位置
就是曲线
在点
的切线(图)。
割线
的方程也可写成
当
时,
,因此,割线
的极限位置
的方程(曲线
在点
的切线方程)为
切线的方向向量
也称为曲线
的切向量。
过切点
且与切线垂直的平面称为曲线
在点
的法平面。故曲线
在点
的法平面的方程为
例1 求曲线
,
,
在点
处的切线与法平面的方程。
解:因为
,
,
,点
对应
,所以曲线在点
处的切向量为
故切线方程为
法平面方程为
即
如果空间曲线
的方程为
:
则可转化为参数形式
:
因此,曲线
的切向量为
,曲线
在点
处的切线方程为
法平面方程为
如果空间曲线
的方程为
:
并假设
则曲线
的方程等价为
:
其中
,
是由方程组
确定的隐函数。因此有
两边分别对
求导数,得
由假设,在点
的某邻域内
因此可解得
,
曲线
在点
的切向量
,其中
,
这里,下标0表示在点
处取值。注意:切向量也可等价的取成
这样,曲线
在点
处的切线方程为
法平面方程为
例2 求曲线
,
在点
处的切线及法平面的方程。
解:将所给方程的两边对
求导,得
解得
,
因此
,
从而,曲线在点
处的切向量为
。
故曲线在点
处的切线方程为
法平面方程为
即
二、曲面的切平面与法线
设曲面
由一般方程给出,即
:
为曲面
上一点,
为曲面
上过
的一条曲线,
的方程为
,
,
对应于
,即
,
,
。由于曲线
在曲面
上,故
两边对
求导数,并
处取值,得
引入向量
由此看出:
垂直于曲线
的切向量
。注意到在曲面
的
,
为常向量,而
为曲面
过
点的任意一条曲线,即
垂直于曲面
过点
的任何曲线的切向量,也就是曲面
过
点的所有曲线的切向量在一个平面内,这个平面称为曲面
在
点的切平面。明显,切平面的法向量为
称为曲面
在点
的法向量。因此,法平面的方程为
过点
且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线,法线方程为
特例,如果曲面
的方程为
:
则
,因此,曲面的法向量为
或
故曲面的切平面方程为
其中
,或
曲面的法线方程为
例3 求球面
在点
处的切平面及法线方程。
解:由于
得
在点
处,
,故切平面方程为
或
法线方程为
例4 求旋转抛物面
在点
处的切平面及法线方程。
解:
第七节 方向导数与梯度
一、方向导数
设
是
平面上以
为始点的一条射线,
是与
同方向的单位向量,射线
的参数方程为
函数
在点
的某邻域
内有定义,
EMBED Equation.3 上的另一点,考虑极限
定义 如果
沿射线
趋向于
(
)时,极限
存在,则称此极限值为函数
在
点沿射线
方向的方向导数,记为
,即
如果函数
在
点的偏导数存在,取
为
轴的正向,即
,则
同理,取
为
轴的正向,即
,则
思考题:取
为
轴和
轴的负向时,
与
及
的关系。
如果函数
在
点的偏导数存在,则沿
轴和
轴(正向或负向)的方向导数存在,而且分别为
在
点对变量
和
的偏导数。
当
在
的方向导数存在时,偏导数不一定存在,例如
,在原点
沿任何方向
的方向导数
但其偏导数不存在,原因是极限
不存在。
如果函数
在
点的偏导数存在,可保证
沿
轴和
轴(正向或负向)的方向导数存在,不能保证
在
沿其它方向的方向导数存在,例如
显然,
,但在
点,除去沿坐标轴方向外,沿其它方向的方向导数都不存在。
定理 如果函数
在
点可微分,那么函数在该点沿任何方向
的方向导数存在,而且有
其中
,
是方向
的方向余弦。
证:由于
在
点可微分,故有
由于点
在以
为始点的射线
上,应有
,
,
,因此
例1 求函数
在点
处沿从点
到点
方向的方向导数。
解:
方向为
,与
同方向的单位向量为
,又由于
,
因此得
对于三元函数
,在空间一点
,
沿方向
的方向导数定义为
可以证明:如果
在
点可微分,则函数在该点沿方向
的方向导数为
例2 求
在点
沿方向
的方向导数,其中
的方向角分别为
.
解:由题设,与
同方向的单位向量为
因此
二、梯度
设
在平面区域
内具有一阶连续偏导数,对于每一点
,给出一个向量
这个向量称为
在点
的梯度,记为
如果
是与方向
同方向的单位向量,则
其中
。由此看出:当
时,方向导数取得最大值,即沿梯度方向,函数的方向导数取得最大值,其最大值等于方向导数的模。
对于具有连续偏导数的三元函数
,在其定义区域内的每一点
,其梯度向量为
第八节 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值
定义 设函数
的定义域为
,
为
的内点,如果存在
的某个邻域
,使得对于该邻域内异于
的任何点
,都有
则称函数
在点
有极大值
,点
称为函数
的极大值点;如果存在
的某个邻域
,使得对于该邻域内异于
的任何点
,都有
则称函数
在点
有极小值
,点
称为函数
的极小值点。极大值、极小值统称为函数的极值,使得函数取得极值的点称为极值点。
例1 函数
在
点处有极小值。
例2 函数
在
点处取得极大值。
例3 函数
在
点处既不取得极大值也不取得极小值,即
不是极值点。
定理1(必要条件)设函数
在点
具有偏导数,且在点
处有极值,则
,
证:不妨设
在点
处取得极大值。由定义,在点
的某邻域内异于
的点
,都有
特别地,在该邻域内取
,而
的点,也有
即一元函数
在
处取得极大值,因此必有
同理可证明
如果
在点
具有偏导数,且在点
处有极值,则曲面
在点
(
)的切平面为
与二元函数类似,如果三元函数
在点
具有偏导数,且在
处取得极值,则必有
,
,
使得
,
同时成立的点
称为函数
的驻点。由定理1知道:具有偏导数的极值点一定是驻点;驻点不一定是极值点(
);极值点不一定是驻点,偏导数不存在的点也可能是极值点(
)
定理2 (充分条件)设函数
在点
的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数,又
,
,令
,
,
则
(1)
时具有极值,且当
时有极大值,当
时有极小值;
(2)
时没有极值;
(3)
时可能有极值,也可能没有极值,需另作讨论。
由此得求极值的一般方法:
第一步 解方程组
,
以求得所有的驻点。
第二步 对于每一个驻点
,求出二阶偏导数值
、
和
。
第三步 对于每一个驻点
,确定
的符号,以判定该点是否为极值点,对极值点确得极大值与极小值,并求出极值。
例4 求函数
的极值。
解:解方程组
求得驻点为
、
、
、
。
求出二阶偏导数
,
,
在点
处,
,且
,故
为极小值;
在点
处,
,故
不是极值;
在点
处,
,故
不是极值;
在点
处,
,且
,故
为极大值。
二、多元函数的最大值与最小值
1.如果函数
在有界闭区域
上连续,在
内可微分且只有有限个驻点,求
在
上的最大值与最小值。其方法为:
(1) 求出
在
的全体驻点,并求出
在各驻点处的函数值;
(2) 求出
在
的边界上的最大值和最小值;
(3) 将
在各驻点处的函数值与
在
的边界上的最大值和最小值相比较,最大者为
在
上的最大值,最小者
在
上的最小值。
2.对于实际问题,如果根据问题的性质,知道函数
的最大值(最小值)一定在区域
的内部取得,而函数
在
的内部只有一个驻点,则驻点处的函数值就是
在
上的最大值(最小值)。
例5 某厂要用铁板做成一个体积为2 m3有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省。
解:设水箱的长为
(m),宽为
(m),则高应为
(m),因此,水箱的用料的面积为
即
令
,
解方程组,得
。
根据题意,水箱所用材料面积的最小值一定存在,并且只能在区域
内取得,而函数
在
内只有一个驻点
,因此可断定当
,
取得最小值。
三、条件极值,拉格朗日乘数法
在例5 中,求
在区域
内的最小值,称为无条件极值;问题也可转化为求
在条件
下的极值,后者称为条件极值。
再如,求表面积为
的最大长方体的体积。设长方体的三边为
,
和
,则
,但需满足条件
,即求
在条件
下的极值。如果解出
,代入得
化为无条件极值。
讨论函数
在条件
下的取得极值的必要条件:
如果函数
在
取得极值,首先有
设
,由隐函数存在定理,
确定一个隐函数
,满足
。因此,
在
取得极值等价于
在
处取得极值,从而
又由于
代入得
令
,
在
取得极值的条件可表为
若引入辅助函数
则条件可表为
综上讨论,可得以下结论:
拉格朗日乘数法 要找函数
在条件
下可能取得极值的点,可以先作拉格朗日函数
其中
为参数,解方程组
由此解出
,
及
,其中
就是函数
在条件
下可能取得极值的点。
例7 求表面积为
而体积为最大的长方体的体积。
解:设长方体的三棱长为
,则问题就是在条件
下,求函数
的最大值。作拉格朗日函数
对
求偏导数,得方程组
由此可得
,
解得
代入约束条件,得
最大体积为
。
例8 将周长为
的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体,问矩形的边长各为多少时,才能使得圆柱体的体积为最大?
解:设矩形的边长分别为
,
,则圆柱体的体积为
(或
)
,
应满足条件
(
)。即问题为求
在条件
下的极值。为此,令
得方程组
解得
,
最大体积为
(绕短边旋转)
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