数学问题与模式探求第23题 水缸养鱼

第23题 水缸养鱼 　　一个鱼缸容积为60升。在养鱼过程中，鱼缸中的水将不断地挥发，所以必须定时加入一定量的新鲜水才能保证鱼的正常生存。假设每周有10升水挥发，新鲜水中的盐含量为0．1克／升(这些数据不一定符合实际，只是为了教学上计算的方便)。由于水挥发时，盐分不会挥发掉，所以如果只定时注入与挥发量相同的新鲜水，水缸中的盐含量将迅速增加。由于水缸开始所含盐分为6克，每周由于注入10升水，所以所含盐分每周将增加1克(见下表)。 　　这样，过了若干周后，水缸中的盐含量将相当大而使水缸中的鱼全部死亡。为了保证鱼的正常生存，通常我们还定时从水缸中取出一定量的水，然后注入与挥发量及取出量之和相等的新鲜水，来控制水缸中盐含量的上升速度。 　　假设养鱼者取放水周期为1周，每次取出10升水，然后注入20升新鲜水，以保持水缸中水量平衡。问： 　　(1)养鱼开始第n周后，水缸中共含多少克盐？ 　　(2)对(1)的计算结果加以分析。 　　分析：我们可以先计算前几周水缸中所含盐分，寻找每周水缸中盐分的变化规律，得出所需的递推关系式，从而求解。 　　解：(1)刚开始时水缸中共含盐分0.1×60=6克一周后，水缸中 　　第二周后，水缸中所含盐分为 　　一般地，设n-1周后(n＞1)，水缸中所含盐分为an-1，则完成第n周取放水过程后，水缸中共有盐 　　即 　　因此，数列｛an｝为等比差数列(此概念见第22题)，于是，其通项为 　　 　　＝10＋(6.8-10)×0.8n-1 　　=10-3.2×0.8n－1 　　因此，养鱼开始第n周后，水缸中共含10-3.2×0.8n-1克盐。 　　(2)从通项公式an=10-3.2×0.8n-1，我们发现： 　　1)不论n取何值，an＜10。因此，水缸中所含盐分总是小于10克。 　　2)当n越来越大时，0.8n-1的值越来越小，且逐渐接近于0。因此，水缸中所含盐分将越来越大，且逐渐接近于10克。 　　回顾：在银行储蓄讨论利息与本金的基本问题时也常遇到递推关系式为 　　an-an-1q+d (n＝1，2，…) (1) 　　的数列｛an｝。 　　当(1)式中，q=1时，(1)式写成 　　an=an-1+d (n=1，2，…) (2) 　　当a0表示存入银行的本金，an表示第n年末的本利和(即本金与利息之和)，d表示本金a0存入银行一年所得的年利时，(2)式就是单利的基本公式。 　　当(1)式中，d=0时，(1)式写成 　　an=an-1q (n＝1，2，…) (3) 　　如果a0表示存入银行的本金，an表示第n年末的本利和，再设r表示年利率(按复利计算)，q=1+r，那么第1年末的本利和为 a1=a0 q＝a0 (1＋r) 　　第2年末的本利和为 a2＝a1q＝a1(1+r)＝a0(1＋r)2 　　第n年末的本利和为 an=an-1q=an-1(1＋r)＝a0(1＋r)n 　　于是，(3)式就是复利的基本公式。 　　当q≠1，d≠0时，(1)式可以成为复利年金终值的一个公式。下面我们举个例子来加以说明。设某户每年初都存入银行b元(此每年等额发生的本金简称年金)，r表示年利率，并按复利计算，问第n年末的本利和是多少？ 　　设q=1＋r，d=bq，a0=0，那么第1年末的本利和为 a1=b(1＋r)=a0q+bq=a0q+d 　　第2年末的本利和为 a2=(a1＋b)(1＋r)=a1q+bq=a1q＋d 　　第3年末的本利和为 a3＝(a2＋b)(1＋r)=a2q＋d …… 　　第n年末的本利和为 an=an-1q+d 　　上式恰好是(1)式(即(1)式成为复利年金终值的一个公式)，因此，数列｛an｝为等比差数列，递推关系式为(1)式的数列，可以按第22题所示的方法，直接写出其通项公式： 　　因此，第n年末的本利和为 　　如果某户每年初都存入银行1000元，年利率为10％，并按复利计算，那么第5年末的本利和为 　　 　　=11000×(1.61051-1) 　　=6715.61(元) 　　注：形如 xn=axn-1+b(其中a，b为常数) 　　的方程称为线性差分方程，它的解是一个数列 　　x0，x1，x2，…，xn，… 　　它满足递推关系式 xn＝axn-1＋b，n=1，2，3，… 　　因此，第22题和第23题都可以看作求解线性差分方程的问题。线性差分方程是一种最简单的差分方程。差分方程现已成为解决许多科学技术问题不可缺少的工具。 练习23 　　1.在水缸养鱼问题中，如果在取水过程中改成每次取出20升水，然后注入30升新鲜水，则养鱼开始第n周后，水缸中共含多少克盐？试对计算结果加以分析。 　　2．假设水缸中水的盐含量超过0．25克／升时，鱼将全部死亡。那么在每周一次的取水过程中至少取出多少升水，然后再注入适当的新鲜水，才能保持鱼的存活？ 　　3．定期储蓄年息10%，每年初存多少则满5年后可得本利和10000元？(用复利计息) PAGE 5