数学问题与模式探求第20题 正方体涂漆第20题 正方体涂漆
由n3(n=2,3,…)个单位正方体可以组成一个体积为n×n×n的正方体(如图20—1,由53个单位正方体组成一个体积为5×5×5的正方体),将它的表面涂漆后,再把它分解成原来的单位正方体。问有多少个单位正方体三面涂漆?有多少个两面涂漆?有多少个一面涂漆?有多少个没有涂漆?
分析:我们可以通过观察n=2,3,4,5,6…的特例,编排数表,寻找模式。
从表20—1可以发现,对任一个n(n=2,3,4,…),3面涂漆的单位正方体的个数都是8,而且这8个单位正方体恰好位于n×n×n的正方体的顶点...
第20题 正方体涂漆
由n3(n=2,3,…)个单位正方体可以组成一个体积为n×n×n的正方体(如图20—1,由53个单位正方体组成一个体积为5×5×5的正方体),将它的表面涂漆后,再把它分解成原来的单位正方体。问有多少个单位正方体三面涂漆?有多少个两面涂漆?有多少个一面涂漆?有多少个没有涂漆?
分析:我们可以通过观察n=2,3,4,5,6…的特例,编排数表,寻找模式。
从表20—1可以发现,对任一个n(n=2,3,4,…),3面涂漆的单位正方体的个数都是8,而且这8个单位正方体恰好位于n×n×n的正方体的顶点处。进一步观察,又将发现,2面涂漆的单位正方体都位于大正方体的12条棱处。对于n=3,每条棱上恰有1个,所以共有12个;对于n=4,每条棱上恰有2个,所以共有2×12=24个……同样,1面涂漆的单位正方体都位于大正方体的6个面上,而不在大正方体表面的单位正方体都没有涂漆。由以上规律,我们将很容易给出问题的解。
解:因为只有在n×n×n的正方体的8个顶点处的单位正方体才是3面涂漆的,所以共有8个单位正方体3面涂漆。因为只有在n×n×n的正方体的12条棱处且不在顶点处的单位正方体才是2面涂漆的,所以共有12(n-2)个单位正方体2面涂漆。同样,1面涂漆的单位正方体都位于n×n×n的正方体的6个面上且不在12条棱处,所以共有6(n-2)2 个单位正方体1面涂漆。余下的(n-2)3个单位正方体都没有涂漆。
回顾:观察n=2,3,4,…时,3面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第3列),2面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第4列),1面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第5列),0面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表20-1的第6列),我们发现,第1个数列8,8,8,8,8…是一个常数列,而第2个数列0,12,24,36,48,…有什么性质呢?如果我们把这数列的每一项去减它右边的项。
0—12—24—36—48…
↓ ↓ ↓ ↓
12 12 12 12…
就得到一个新的数列12,12,12,12…,它也是一个常数列。
如果我们把第3个数列0,6,24,54,96,…的每一项去减它右边的项,
0—6—24—54—96…
↓ ↓ ↓ ↓
6 18 30 42…
得到一个新的数列6,18,30,42,…,再把这数列的每一项去减它右边的项,再次得到一个常数列12,12,12,…。
给定一个数列{an}={a0,a1,a2,…,an,…},我们把
bn=an+1—an
叫做数列{an}的差分,把数列{bn}={a1-a0,a2-a1,…,an-an-1,…}叫做{an}的一阶差分数列,把数列{bn}的一阶差分数列{b2-b1,b3-b2,…,bn+1-bn,…}叫做{an}的二阶差分数列,再把{an}的二阶差分数列的一阶差分数列叫做{an}的三阶差分数列,依次类推。
有了差分数列的概念后,再看上述问题所得到的4个数列,就会发现这样的规律:
第2个数列0,12,24,36,48,…,12(n-2),…的一阶差分数列
12,12,12,12,…
是非零的常数列,它的通项12(n-2)为n的1次多项式;第3个数列
0, 6, 24, 54, 96,…, 6(n-2)2,…
的二阶差分数列也是非零的常数列,它的通项6(n-2)2为n的2次多项式;
对于第4个数列
0, 1, 8, 27, 64, 125, 216,…,(n-2)3 ,…,
它的通项(n-2)3为n的3次多项式,那么是否它的三阶差分数是一个非零的常数列呢?
可以看到,第4个数列的三阶差分数列是一个非零的常数列。
一般地,数列{an}的k阶差分数列为非零的常数列的充要条件是它的通项an为n的k次多项式。
利用上述结果,我们可以从一个数列的前若干项来猜测它的通项。因为数列{an}的通项an不一定是n的k次多项式,而用计算差分所猜测的通项只能是n的多项式,所以对猜测的结果必须加以证明。例如,我们从上述的第4个数列的前7项
0,1,8,27,64,125,216,
发现它的三阶差分数列是一个非零常数列6,6,6,6。于是,我们立即可以猜测它的通项是n的3次多项式,设为
an=an3+bn2+cn+d
这样就可以用待定系数法求出a,b,c,d,因为
a2=23·a+22·b+2c+d=0
a3=33·a+32·b+3c+d=1
a4=43·a+42·b+4c+d=8
a5=53·a+52·b+5c+d=27
所以由解上述方程组可得
a=1,b=-6,c=12,d=-8
于是,我们从表20—1的前若干项,用差分的方法,可以猜测第4个数列的通项为
an=n3-6n2+12n-8=(n-2)3
因此,可以猜测,一个表面涂漆的体积为n×n×n的正方体中有(n-2)3个单位正方体没有涂漆。同样,据观察n=2,3,4,5,6的特例,直接利用差分方法,可以猜测,2面涂漆的有12(n-2)个,1面涂漆的有6(n-2)2个。
根据一个数列{an}的前若干项,利用差分方法,猜测它的通项。在通项an恰是n的多项式时,这确是一个有效的方法。因为从所猜测的结果可以受到某些启示,帮助我们最终解决问题。下面我们再来讨论一个问题:
顺次计算数列12,12+22,12+22+32,12+22+32+42,12+22+32+42+52,12+22+32+42+52+62,…的前6项的值,由此猜测
an=12+22+…+n2
求和的结果。
根据12=1,12+22=5,12+22+32=14,12+22+32+42 =30,12+22+32+42+52=55,12+22+32+42+52+62=91,计算数列1,5,14,30,55,91,…的差分
由于三阶差分数列是非零的常数列,所以猜测an是n的3次多项式an3+bn2+cn+d,利用待定系数法,还可进一步求出a,b,c,d的值:
解四元一次方程组
得
因此,可以猜测
即
有了上式的猜测,如果我们学过数学归纳法,就可以用数学归纳法证明(1)式对任何的自然数n都成立。
注:差分是“计算方法”(数学的一个分支)中的一个重要概念,而计算方法所研究的数学问题的求解算法是与计算机密切相关的。虽然差分非常有用,但这里就不再进一步介绍了。
练习20
1.用差分方法从给定数列{an}的前6项
4,9,18,31,48,69,
猜测它的通项(an}。
2.计算凸n边形当n=3,4,5,6,7时的对角线条数,用差分方法猜测凸n边形的对角线条数an。
3.
上表中r(n)表示将n写成若干个数字1和2之和的方式的个数(不考虑和式中各数的前后次序)。例如,
4=1+1+1+1=1+1+2=2+2,
所以r(4)=3,其中1+1+2,1+2+1,2+1+1都是同一种方式。
(1)计算r(6),r(7)和r(8);
(2)猜测r(n)的公式,并给予证明。
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