高考数学专题讲座
(44) 数列通项公式的求法
嵩明县第一中学 吴学伟
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。
一、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
例1.等差数列
是递增数列,前n项和为
,且
成等比数列,
.求数列
的通项公式.
解:设数列
公差为
∵
成等比数列,∴
,
即
EMBED Equation.3
∵
, ∴
………………………………①
∵
∴
…………②
由①②得:
,
∴
点评:利用定义法求数列通项时要注意不用错定义,设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。
二、公式法
若已知数列的前项和
与
的关系,求数列
的通项
可用公式
求解。
例2.已知数列
的前
项和
满足
.求数列
的通项公式。
解:由
当时,有
……,
经验证
也满足上式,所以
点评:利用公式
求解时,要注意对n分类讨论,但若能合写时一定要合并.
三、由递推式求数列通项法
对于递推公式确定的数列的求解,通常可以通过递推公式的变换,转化为等差数列或等比数列问题,有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
类型1 递推公式为
解法:把原递推公式转化为
,利用累加法(逐差相加法)求解。
(2004全国卷I.22)已知数列
中,
EMBED Equation.DSMT4 ,其中
……,求数列
的通项公式。P24(styyj)
例3. 已知数列
满足
,
,求
。
解:由条件知:
分别令
,代入上式得
个等式累加之,即
所以
,
类型2 (1)递推公式为
解法:把原递推公式转化为
,利用累乘法(逐商相乘法)求解。
(2004全国卷I.15)已知数列{an},满足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),则{an}的通项
P24(styyj)
例4. 已知数列
满足
,
,求
。
解:由条件知
,分别令
,代入上式得
个等式累乘之,即
EMBED Equation.3
又
,
(2).由
和
确定的递推数列
的通项可如下求得:
由已知递推式有
,
,
,
依次向前代入,得
,
简记为
,这就是叠(迭)代法的基本模式。
(3)递推式:
解法:只需构造数列
,消去
带来的差异.
例5.设数列
:
,求
.
解:设
,将
代入递推式,得
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
…(1)则
,又
,故
代入(1)得
说明:(1)若
为
的二次式,则可设
;(2)本题也可由
,
(
)两式相减得
转化为
求之.
例6.已知
,
,求
。
解:
。
类型3 递推公式为
(其中p,q均为常数,
)。
解法:把原递推公式转化为:
,其中
,再利用换元法转化为等比数列求解。
(2006.重庆.14)在数列
中,若
,则该数列的通项
EMBED Equation.DSMT4
P24(styyj)
例7. 已知数列
中,
,
,求
.
解:设递推公式
可以转化为
即
.故递推公式为
,令
,则
,且
.所以
是以
为首项,2为公比的等比数列,则
,所以
.
类型4 递推公式为
(其中p,q均为常数,
)。 (或
,其中p,q, r均为常数)
(2006全国I.22)(本小题满分12分)
设数列
的前
项的和
,
(Ⅰ)求首项
与通项
; P25(styyj)
解法:该类型较类型3要复杂一些。一般地,要先在原递推公式两边同除以
,得:
引入辅助数列
(其中
),得:
再应用类型3的方法解决。
例8. 已知数列
中,
,
,求
。
解:在
两边乘以
得:
令
,则
,应用例7解法得:
所以
类型5 递推公式为
(其中p,q均为常数)。
解法:先把原递推公式转化为
其中s,t满足
,再应用前面类型3的方法求解。
(2006.福建.理.22)(本小题满分14分)
已知数列
满足
(I)求数列
的通项公式; P26(styyj)
例9. 已知数列
中,
,
,
,求
。
解:由
可转化为
即
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 或
这里不妨选用
(当然也可选用
,大家可以试一试),则
EMBED Equation.3 是以首项为
,公比为
的等比数列,所以
,应用类型1的方法,分别令
,代入上式得
个等式累加之,即
EMBED Equation.3
又
,所以
。
类型6 递推公式为
与
的关系式。(或
)
解法:利用
进行求解。
(2006.陕西.20)
(本小题满分12分)
已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an
P24(styyj)
例10. 已知数列
前n项和
.
(1)求
与
的关系;(2)求通项公式
.
解:(1)由
得:
于是
所以
EMBED Equation.3 .
(2)应用类型4的方法,上式两边同乘以
得:
由
.于是数列
是以2为首项,2为公差的等差数列,所以
EMBED Equation.3
类型7 双数列型
解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例11. 已知数列
中,
;数列
中,
。当
时,
,
,求
,
.
解:因
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
所以
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
即
…………………………………………(1)
又因为
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
所以
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ……
.即
EMBED Equation.3 ………………………(2)
由(1)、(2)得:
,
四、待定系数法(构造法)
求数列通项公式方法灵活多样,特别是对于给定的递推关系求通项公式,观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换,转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解,这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想,而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。
1、通过分解常数,可转化为特殊数列{a
+k}的形式求解。一般地,形如a
=p a
+q(p≠1,pq≠0)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法:设a
+k=p(a
+k)与原式比较系数可得pk-k=q,即k=
,从而得等比数列{a
+k}。
例12、数列{a
}满足a
=1,a
=
a
+1(n≥2),求数列{a
}的通项公式。
解:由a
=
a
+1(n≥2)得a
-2=
(a
-2),而a
-2=1-2=-1,
∴数列{ a
-2}是以
为公比,-1为首项的等比数列
∴a
-2=-(
)
∴a
=2-(
)
说明:这个题目通过对常数1的分解,进行适当组合,可得等比数列{ a
-2},从而达到解决问题的目的。
例13、数列{a
}满足a
=1,
,求数列{a
}的通项公式。
解:由
得
EMBED Equation.3
设a
,比较系数得
解得
∴{
}是以
为公比,以
为首项的等比数列
∴
EMBED Equation.3
例14.已知数列
满足
,且
,求
.
解:设
,则
,
EMBED Equation.3 是以
为首项,以3为公比的等比数列
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
点评:求递推式形如
(p、q为常数)的数列通项,可用迭代法或待定系数法构造新数列
来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求,这也是近年高考考得很多的一种题型.
例15.已知数列
满足
,
,求
.
解:将
两边同除
,得
EMBED Equation.3
设
,则
.令
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .条件可化成
,数列
是以
为首项,
为公比的等比数列.
.因
,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
点评:递推式为
(p、q为常数)时,可同除
,得
,令
从而化归为
(p、q为常数)型.
2、通过分解系数,可转化为特殊数列
的形式求解。这种方法适用于
型的递推式,通过对系数p的分解,可得等比数列
:设
,比较系数得
,可解得
。
(2006.福建.文.22)(本小题满分14分)已知数列
满足
(I)证明:数列
是等比数列;
(II)求数列
的通项公式;
例16、数列
满足
EMBED Equation.3 =0,求数列{a
}的通项公式。
分析:递推式
中含相邻三项,因而考虑每相邻两项的组合,即把中间一项
的系数分解成1和2,适当组合,可发现一个等比数列
。
解:由
得
即
,且
∴
是以2为公比,3为首项的等比数列
∴
利用逐差法可得
=
=
=
=
∴
例17、数列
中,
,求数列
的通项公式。
解:由
得
设
比较系数得
,解得
或
若取
,则有
∴
是以
为公比,以
为首项的等比数列
∴
由逐差法可得
=
=
=
说明:若本题中取
,则有
即得
为常数列,
EMBED Equation.3
故可转化为例13。
例18.已知数列
满足
,
,
求
.
解:设
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 或
则条件可以化为
EMBED Equation.3 是以首项为
,公比为
的等比数列,所以
.问题转化为利用累加法求数列的通项的问题,解得
.
点评:递推式为
(p、q为常数)时,可以设
,其待定常数s、t由
,
求出,从而化归为上述已知题型.
五、特征根法
1、设已知数列
的项满足
,其中
求这个数列的通项公式。作出一个方程
则当
时,
为常数列,即
,其中
是以
为公比的等比数列,即
.
例19.已知数列
满足:
求
解:作方程
当
时,
数列
是以
为公比的等比数列.于是
2、对于由递推公式
,
给出的数列
,方程
,叫做数列
的特征方程。若
是特征方程的两个根,当
时,数列
的通项为
,其中A,B由
决定(即把
和
,代入
,得到关于A、B的方程组);当
时,数列
的通项为
,其中A,B由
决定(即把
和
,代入
,得到关于A、B的方程组)。
例20:已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法)
由
,得
,
且
。
则数列
是以
为首项,
为公比的等比数列,于是
。把
代入,得
,
,
,
。
把以上各式相加,得
EMBED Equation.3 。
。
解法二(特征根法):数列
:
,
的特征方程是:
。
,
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 。
又由
,于是
故
3、如果数列
满足下列条件:已知
的值且对于
,都有
(其中p、q、r、h均为常数,且
),那么,可作特征方程
,当特征方程有且仅有一根
时,则
是等差数列;当特征方程有两个相异的根
、
时,则
是等比数列。
(2006.重庆.文.22).(本小题满分12分)
数列
求数列
的通项公式.
解:由已知,得
,其特征方程为
,解之,得
,
,
。 P26 (styyj)
例21、已知数列满足性质:对于
且
求
的通项公式.
解: 数列的特征方程为
变形得
其根为
故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有
∴
∴
即
例22.已知数列
满足:对于
都有
(1)若
求
(2)若
求
(3)若
求
(4)当
取哪些值时,无穷数列
不存在?
解:作特征方程
变形得
特征方程有两个相同的特征根
依定理2的第(1)部分解答.
(1)∵
对于
都有
(2)∵
∴
令
,得
.故数列
从第5项开始都不存在,
当
≤4,
时,
.
(3)∵
∴
∴
令
则
∴对于
∴
(4)、显然当
时,数列从第2项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,
时,数列
是存在的,当
时,则有
令
则得
且
≥2.
∴当
(其中
且N≥2)时,数列
从第
项开始便不存在.
于是知:当
在集合
或
且
≥2}上取值时,无穷数列
都不存在.
说明:形如:
递推式,考虑函数倒数关系有
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 令
则
可归为
型。(取倒数法)
例23:
解:取倒数:
是等差数列,
EMBED Equation.3
六、构造法
构造法就是在解决某些数学问题的过程中,通过对条件与结论的充分剖析,有时会联想出一种适当的辅助模型,如某种数量关系,某个直观图形,或者某一反例,以此促成命题转换,产生新的解题方法,这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式,此类题通常较难,但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然,对于一些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造方法.
例24: 设各项均为正数的数列
的前n项和为
,对于任意正整数n,都有等式:
成立,求
的通项an.
解:
,
∴
,∵
,∴
. 即
是以2为公差的等差数列,且
.
∴
例25: 数列
中前n项的和
,求数列的通项公式
.
解:∵
当n≥2时,
EMBED Equation.3
令
,则
,且
是以
为公比的等比数列,
∴
.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差,然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例26: 设
是首项为1的正项数列,且
,(n∈N*),求数列的通项公式an.
解:由题设得
.
∵
,
,∴
.
∴
例27: 数列
中,
,且
,(n∈N*),求通项公式
.
解:
EMBED Equation.3
∴
(n∈N*)
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例28: 数列
中,
,前n项的和
,求
.
解:
,
∴
EMBED Equation.3
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数,取倒数代数变形方法,可由复杂变为简单,使问题得以解决.
例29: 设正项数列
满足
,
(n≥2).求数列
的通项公式.
解:两边取对数得:
,
,设
,
则
是以2为公比的等比数列,
.
,
,
,
∴
例30: 已知数列
中,
,n≥2时
,求通项公式.
解:∵
,两边取倒数得
.
可化为等差数列关系式.
∴
总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学
的学习过程中.
嵩明县第一中学 吴学伟 13577103702 第 1 页 共 20 页
_1062681643.unknown
_1148144575.unknown
_1210529537.unknown
_1210536507.unknown
_1210575442.unknown
_1210579065.unknown
_1210580040.unknown
_1210585386.unknown
_1211223520.unknown
_1220298654.unknown
_1220300710.unknown
_1222923570.unknown
_1222968235.unknown
_1223623787.unknown
_1222923752.unknown
_1222924025.unknown
_1222924267.unknown
_1222923963.unknown
_1222923633.unknown
_1222923433.unknown
_1222923521.unknown
_1220301016.unknown
_1220300054.unknown
_1220300685.unknown
_1220299590.unknown
_1211348851.unknown
_1220298598.unknown
_1220298623.unknown
_1211348985.unknown
_1211350479.unknown
_1212580499.unknown
_1211350412.unknown
_1211348984.unknown
_1211223727.unknown
_1211348405.unknown
_1211348312.unknown
_1211348354.unknown
_1211223728.unknown
_1211223622.unknown
_1211223633.unknown
_1211223536.unknown
_1210585505.unknown
_1210585653.unknown
_1210585803.unknown
_1210585886.unknown
_1210585892.unknown
_1210585745.unknown
_1210585530.unknown
_1210585453.unknown
_1210585458.unknown
_1210585433.unknown
_1210580096.unknown
_1210580129.unknown
_1210580148.unknown
_1210580154.unknown
_1210580162.unknown
_1210580171.unknown
_1210580176.unknown
_1210580158.unknown
_1210580151.unknown
_1210580138.unknown
_1210580142.unknown
_1210580133.unknown
_1210580113.unknown
_1210580120.unknown
_1210580123.unknown
_1210580116.unknown
_1210580104.unknown
_1210580108.unknown
_1210580100.unknown
_1210580058.unknown
_1210580088.unknown
_1210580092.unknown
_1210580064.unknown
_1210580050.unknown
_1210580054.unknown
_1210580045.unknown
_1210579547.unknown
_1210579849.unknown
_1210580009.unknown
_1210580031.unknown
_1210580035.unknown
_1210580027.unknown
_1210579912.unknown
_1210579969.unknown
_1210579893.unknown
_1210579568.unknown
_1210579769.unknown
_1210579782.unknown
_1210579580.unknown
_1210579557.unknown
_1210579563.unknown
_1210579551.unknown
_1210579397.unknown
_1210579532.unknown
_1210579540.unknown
_1210579543.unknown
_1210579536.unknown
_1210579523.unknown
_1210579528.unknown
_1210579463.unknown
_1210579120.unknown
_1210579134.unknown
_1210579142.unknown
_1210579145.unknown
_1210579138.unknown
_1210579124.unknown
_1210579075.unknown
_1210579115.unknown
_1210579070.unknown
_1210577575.unknown
_1210579023.unknown
_1210579045.unknown
_1210579056.unknown
_1210579060.unknown
_1210579050.unknown
_1210579035.unknown
_1210579040.unknown
_1210579030.unknown
_1210578932.unknown
_1210579000.unknown
_1210579008.unknown
_1210578983.unknown
_1210578921.unknown
_1210578925.unknown
_1210577690.unknown
_1210578914.unknown
_1210576788.unknown
_1210577383.unknown
_1210577488.unknown
_1210577527.unknown
_1210577452.unknown
_1210576987.unknown
_1210577320.unknown
_1210576789.unknown
_1210576376.unknown
_1210576445.unknown
_1210576557.unknown
_1210576787.unknown
_1210576621.unknown
_1210576486.unknown
_1210576400.unknown
_1210575474.unknown
_1210575824.unknown
_1210575459.unknown
_1210568795.unknown
_1210573981.unknown
_1210574935.unknown
_1210575146.unknown
_1210575226.unknown
_1210575351.unknown
_1210575183.unknown
_1210574998.unknown
_1210575023.unknown
_1210574954.unknown
_1210574700.unknown
_1210574770.unknown
_1210574858.unknown
_1210574740.unknown
_1210574145.unknown
_1210574168.unknown
_1210574081.unknown
_1210569183.unknown
_1210569330.unknown
_1210569423.unknown
_1210573937.unknown
_1210573954.unknown
_1210573962.unknown
_1210569491.unknown
_1210569369.unknown
_1210569248.unknown
_1210569269.unknown
_1210569204.unknown
_1210568912.unknown
_1210569082.unknown
_1210569153.unknown
_1210569014.unknown
_1210568834.unknown
_1210568887.unknown
_1210568808.unknown
_1210565270.unknown
_1210567834.unknown
_1210567972.unknown
_1210568750.unknown
_1210568775.unknown
_1210568700.unknown
_1210567871.unknown
_1210567901.unknown
_1210567844.unknown
_1210565691.unknown
_1210565844.unknown
_1210565924.unknown
_1210565775.unknown
_1210565413.unknown
_1210565662.unknown
_1210565358.unknown
_1210536879.unknown
_1210537069.unknown
_1210537268.unknown
_1210565231.unknown
_1210565104.unknown
_1210565212.unknown
_1210537148.unknown
_1210536979.unknown
_1210537035.unknown
_1210536665.unknown
_1210536835.unknown
_1210536713.unknown
_1210536559.unknown
_1210536632.unknown
_1210536532.unknown
_1210531162.unknown
_1210534653.unknown
_1210535777.unknown
_1210535971.unknown
_1210536376.unknown
_1210536434.unknown
_1210536065.unknown
_1210535900.unknown
_1210535918.unknown
_1210535834.unknown
_1210535430.unknown
_1210535575.unknown
_1210535630.unknown
_1210535520.unknown
_1210535269.unknown
_1210534736.unknown
_1210534771.unknown
_1210531930.unknown
_1210534561.unknown
_1210534278.unknown
_1210534351.unknown
_1210534380.unknown
_1210534327.unknown
_1210534232.unknown
_1210531492.unknown
_1210531927.unknown
_1210531928.unknown
_1210531864.unknown
_1210531603.unknown
_1210531704.unknown
_1210531513.unknown
_1210531405.unknown
_1210531425.unknown
_1210531368.unknown
_1210530156.unknown
_1210530500.unknown
_1210530822.unknown
_1210531022.unknown
_1210531070.unknown
_1210530898.unknown
_1210530601.unknown
_1210530632.unknown
_1210530523.unknown
_1210530404.unknown
_1210530488.unknown
_1210530424.unknown
_1210530474.unknown
_1210530293.unknown
_1210530325.unknown
_1210530174.unknown
_1210529867.unknown
_1210529993.unknown
_1210530095.unknown
_1210530134.unknown
_1210530037.unknown
_1210529977.unknown
_1210529899.unknown
_1210529960.unknown
_1210529667.unknown
_1210529816.unknown
_1210529843.unknown
_1210529768.unknown
_1210529609.unknown
_1210529636.unknown
_1210529557.unknown
_1163529952.unknown
_1210526922.unknown
_1210528600.unknown
_1210529066.unknown
_1210529355.unknown
_1210529407.unknown
_1210529448.unknown
_1210529133.unknown
_1210529154.unknown
_1210529324.unknown
_1210529106.unknown
_1210528901.unknown
_1210529024.unknown
_1210529048.unknown
_1210528984.unknown
_1210528702.unknown
_1210528807.unknown
_1210528618.unknown
_1210528165.unknown
_1210528343.unknown
_1210528433.unknown
_1210528581.unknown
_1210528397.unknown
_1210528287.unknown
_1210528314.unknown
_1210528232.unknown
_1210527924.unknown
_1210527994.unknown
_1210528064.unknown
_1210527962.unknown
_1210526981.unknown
_1210527836.unknown
_1210526923.unknown
_1210258847.unknown
_1210525867.unknown
_1210526374.unknown
_1210526641.unknown
_1210526671.unknown
_1210526896.unknown
_1210526564.unknown
_1210526615.unknown
_1210526499.unknown
_1210526415.unknown
_1210526470.unknown
_1210526206.unknown
_1210526294.unknown
_1210526338.unknown
_1210526226.unknown
_1210526087.unknown
_1210526154.unknown
_1210526050.unknown
_1210525891.unknown
_1210525412.unknown
_1210525682.unknown
_1210525756.unknown
_1210525838.unknown
_1210525718.unknown
_1210525498.unknown
_1210525541.unknown
_1210525479.unknown
_1210525097.unknown
_1210525290.unknown
_1210525339.unknown
_1210525243.unknown
_1210525182.unknown
_1210521584.unknown
_1210525017.unknown
_1210525074.unknown
_1210521662.unknown
_1210521791.unknown
_1210401657.unknown
_1210404072.unknown
_1210342101.unknown
_1210366640.unknown
_1210241616.unknown
_1210242537.unknown
_1210242687.unknown
_1210242890.unknown
_1210243023.unknown
_1210243093.unknown
_1210243157.unknown
_1210243000.unknown
_1210242759.unknown
_1210242812.unknown
_1210242723.unknown
_1210242594.unknown
_1210242628.unknown
_1210242574.unknown
_1210241939.unknown
_1210242413.unknown
_1210242490.unknown
_1210242020.unknown
_1210242200.unknown
_1210242388.unknown
_1210242104.unknown
_1210241984.unknown
_1210241917.unknown
_1210241779.unknown
_1210241827.unknown
_1210241042.unknown
_1210241304.unknown
_1210241445.unknown
_1210241345.unknown
_1210241389.unknown
_1210241160.unknown
_1210241225.unknown
_1210241113.unknown
_1210240861.unknown
_1210240997.unknown
_1210240931.unknown
_1210240976.unknown
_1163598835.unknown
_1163600848.unknown
_1180030497.unknown
_1163530098.unknown
_1148144822.unknown
_1163527853.unknown
_1163529406.unknown
_1163529732.unknown
_1163529874.unknown
_1163529937.unknown
_1163529752.unknown
_1163529495.unknown
_1163529620.unknown
_1163529424.unknown
_1163529004.unknown
_1163529352.unknown
_1163529068.unknown
_1163529279.unknown
_1163527959.unknown
_1163528179.unknown
_1163528818.unknown
_1163528034.unknown
_1163527918.unknown
_1148228246.unknown
_1148287974.unknown
_1148304996.unknown
_1148310957.unknown
_1149237901.unknown
_1163527843.unknown
_1148311129.unknown
_1149237885.unknown
_1148311103.unknown
_1148311075.unknown
_1148305978.unknown
_1148307415.unknown
_1148307482.unknown
_1148306674.unknown
_1148306861.unknown
_1148306656.unknown
_1148306404.unknown
_1148306538.unknown
_1148305663.unknown
_1148305768.unknown
_1148305876.unknown
_1148305759.unknown
_1148305394.unknown
_1148305604.unknown
_1148305057.unknown
_1148289221.unknown
_1148304430.unknown
_1148304868.unknown
_1148289296.unknown
_1148288159.unknown
_1148289083.unknown
_1148288034.unknown
_1148287194.unknown
_1148287579.unknown
_1148287787.unknown
_1148287201.unknown
_1148287350.unknown
_1148228740.unknown
_1148286351.unknown
_1148286361.unknown
_1148286668.unknown
_1148286282.unknown
_1148228636.unknown
_1148144848.unknown
_1148146088.unknown
_1148227751.unknown
_1148228019.unknown
_1148146535.unknown
_1148145680.unknown
_1148145762.unknown
_1148145200.unknown
_1148144780.unknown
_1062682201.unknown
_1062998150.unknown
_1062998308.unknown
_1063084216.unknown
_1063084449.unknown
_1063084795.unknown
_1063084824.unknown
_1063084848.unknown
_1063084540.unknown
_1063084263.unknown
_1063084349.unknown
_1063084240.unknown
_1062999848.unknown
_1063084183.unknown
_1062999696.unknown
_1062999847.unknown
_1062998232.unknown
_1062998247.unknown
_1062998209.unknown
_1062682722.unknown
_1062682856.unknown
_1062682878.unknown
_1062682902.unknown
_1062682917.unknown
_1062682870.unknown
_1062682829.unknown
_1062682842.unknown
_1062682793.unknown
_1062682418.unknown
_1062682669.unknown
_1062682389.unknown
_1062681888.unknown
_1062682075.unknown
_1062682118.unknown
_1062682172.unknown
_1062682092.unknown
_1062681915.unknown
_1062681979.unknown
_1062681899.unknown
_1062681774.unknown
_1062681856.unknown
_1062681877.unknown
_1062681818.unknown
_1062681717.unknown
_1062681741.unknown
_1062681667.unknown
_1062675887.unknown
_1062681266.unknown
_1062681395.unknown
_1062681411.unknown
_1062681620.unknown
_1062681396.unknown
_1062681288.unknown
_1062681393.unknown
_1062681394.unknown
_1062681297.unknown
_1062681277.unknown
_1062680649.unknown
_1062680678.unknown
_1062681208.unknown
_1062680665.unknown
_1062676402.unknown
_1062676420.unknown
_1062676042.unknown
_1062674816.unknown
_1062675417.unknown
_1062675697.unknown
_1062675846.unknown
_1062675488.unknown
_1062675430.unknown
_1062675364.unknown
_1062675377.unknown
_1062675278.unknown
_1062674653.unknown
_1062674775.unknown
_1062674669.unknown
_1062674760.unknown
_1062674479.unknown
_1062674560.unknown
_1062674183.unknown