数列八种求数列通项公式的方法八种求数列通项公式的方法
一、公式法
例1 已知数列
满足
,
,求数列
的通项公式。
解:
两边除以
,得
,则
,故数列
是以
为首项,以
为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得
,所以数列
的通项公式为
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,说明数列
是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出
,进而求出数列
的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:由
得
则
所以数列
的通项公式为
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
...
八种求数列通项公式的方法
一、公式法
例1 已知数列
满足
,
,求数列
的通项公式。
解:
两边除以
,得
,则
,故数列
是以
为首项,以
为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得
,所以数列
的通项公式为
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,说明数列
是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出
,进而求出数列
的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:由
得
则
所以数列
的通项公式为
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式。
例3 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:由
得
则
所以
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式。
例4 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:
两边除以
,得
,
则
,故
因此
,
则
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式,最后再求数列
的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:因为
,所以
,则
,故
所以数列
的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系
转化为
,进而求出
,即得数列
的通项公式。
例6已知数列
满足
,求
的通项公式。
解:因为
①
所以
②
用②式-①式得
则
故
所以
EMBED Equation.3
③
由
,
,则
,又知
,则
,代入③得
。
所以,
的通项公式为
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,进而求出
,从而可得当
的
达式,最后再求出数列
的通项公式。
四、待定系数法
例7 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:设
④
将
代入④式,得
,等式两边消去
,得
,两边除以
,得
代入④式得
⑤
由
及⑤式得
,则
,则数列
是以
为首项,以2为公比的等比数列,则
,故
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
例8 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:设
⑥
将
代入⑥式,得
整理得
。
令
,则
,代入⑥式得
⑦
由
及⑦式,
得
,则
,
故数列
是以
为首项,以3为公比的等比数列,因此
,则
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求数列
的通项公式。
例9 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:设
⑧
将
代入⑧式,得
,则
等式两边消去
,得
,
解方程组
,则
,代入⑧式,得
⑨
由
及⑨式,得
则
,故数列
为以
为首项,以2为公比的等比数列,因此
,则
。
评注:本题解题的关键是把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
五、对数变换法
例10 已知数列
满足
,
,求数列
的通项公式。
解:因为
,所以
。在
式两边取常用对数得
⑩
设
eq \o\ac(○,11)
将⑩式代入 eq \o\ac(○,11)式,得
,两边消去
并整理,得
,则
,故
代入 eq \o\ac(○,11)式,得
eq \o\ac(○,12)
由
及 eq \o\ac(○,12)式,
得
,
则
,
所以数列
是以
为首项,以5为公比的等比数列,则
,因此
则
。
评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为
,从而可知数列
是等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:因为
,所以
又
,所以数列
的通项公式为
。
评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式
两边取常用对数得
,即
,再由累乘法可推知
,从而
。
七、数学归纳法
例12 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:由
及
,得
由此可猜测
,往下用数学归纳法证明这个结论。
(1)当
时,
,所以等式成立。
(2)假设当
时等式成立,即
,则当
时,
由此可知,当
时等式也成立。
根据(1),(2)可知,等式对任何
都成立。
评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法
例13 已知数列
满足
,求数列
的通项公式。
解:令
,则
故
,代入
得
即
因为
,故
则
,即
,
可化为
,
所以
是以
为首项,以
为公比的等比数列,因此
,则
,即
,得
。
评注:本题解题的关键是通过将
的换元为
,使得所给递推关系式转化
形式,从而可知数列
为等比数列,进而求出数列
的通项公式,最后再求出数列
的通项公式。
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