数列用构造法求数列的通项公式

用构造法求数列的通项公式 上海外国语大学嘉定外国语实验学校　　徐红洁 在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的构造不同的类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法： 1． 利用倒数关系构造数列。 例如： 中，若 求an +4, 即 ＝４， ｝是等差数列。 可以通过等差数列的通项公式求出 ,然再求后数列{ an }的通项。 练习：1)数列{ an }中，an≠0，且满足 求an 2)数列{ an }中， 求an通项公式。 3)数列{ an }中, 求an. 2． 构造形如 的数列。 例：正数数列{ an }中，若 解：设 练习：已知正数数列{ an }中， , 求数列{ an }的通项公式。 3． 构造形如 的数列。 例：正数数列{ an }中，若a1=10,且 求an. 解：由题意得： ， 即 .　　 即 练习：（选自2002年高考上海卷） 数列{ an }中，若a1=3, ,n是正整数，求数列{ an }的通项公式。 4． 构造形如 的数列。 例：数列{ an }中，若a1=6, an+1=2an+1, 求数列{ an }的通项公式。 解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1） 设 bn= an+1, 则bn = 2 bn-1 则数列{ bn }是等比数列，公比是2,首项b１= a１+1＝7, ， 构造此种数列，往往它的递推公式形如： 。 如：an+1＝c an+d,设可化成an+1+x=c(an+x), an+1=c an+(c-1)x 用待定系数法得：　　(c-1)x＝d ∴　　x= . 又如：Ｓn+an=n+2, 则　Ｓn-1+an-1=n+1, 二式相减得：Ｓn－Ｓn-1 +a n－a n-1 =１，即a n +a n－a n-1 =１， ∴ 2 an－an-1=１， an = an-1+ . 如上提到bn = an ＋ d = an –1 练习：1.数列{ an }满足an+1=3an+2, 求an 2.数列{ an }满足Ｓn+an=2n+1,求an 5． 构造形如 的数列。 例：数列{ an }中，若a1=１，a２=3,an+2 + 4 an+1 - 5an=0 (n N),求an。 解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0得： an+2 － an+1 = - 5（an＋１ － an ） 设bn = an＋１ －an， 则数列{ bn }是等比数列，公比是-5,首项b１= a2- a1＝2, ∴an＋１ －an=2•(-5)n-1 即a２ －a１=2•(-5) a３ －a２=2•(-5)２ a４ －a３=2•(-5)３ ┄ an －an－１=2•(-5)n-2 以上各式相加得：an －a１=2•［（-5）＋(-5)２＋(-5)３＋┄＋（-5）n-1］ 即：an －a１=2• ，即 ，（n 当递推公式中，an＋１与an的系数相同时，我们可构造bn = an＋１ －an，然后用叠加法得：b1+b2+b3+b4+┄+bn = an-a1 通过求出数列｛bn｝前n-1项和的方法，求出数列{ an }的通项公式。 1) 当递推公式中形如: an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q≠1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形时， 可以构造bn = an＋１－an ,得: bn = an+b； bn = qn; bn =qn +an+b。 求出数列前n-1项的和Tn-1, Tn-1= ; Tn-1= ； Tn-1= + 即： an －a１= ; an －a１= ; an －a１= + 从而求出 an =a１+ ; an= a１+ ; an =a１+ + 。 2）当递推公式中形如: an+1=a n+ ；an+1=a n+ ；an+1=a n+ 等情形 可以构造bn = an＋１－an ,得:：bn = ；bn = ；bn = 即bn = ；bn = ；bn = 从而求出求出数列前n-1项的和Tn-1, Tn-1= ；Tn-1= ；Tn-1= 即： an －a１= ; an －a１= ; an －a１= 从而求出 an =a１+ ; an= a１+ ; an =a１+ 练习：1）数列{ an }中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an. 2）数列{ an }中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通项an. 3) 数列{ an }中，若a1=2， ，求通项an. 6． 构造形如 的形式。 例：数列{ an }中，若a1=1， ，求an. 解：由 得： ∴ ， ， ，… 用累乘法把以上各式相乘得： ∴ 。 当递推公式形如： ； ； 等形式，我们可以构造 。 可得: ; EMBED Equation.3 ; . 然后用叠乘法得： 。 令数列{bn}的前n-1项的积为An-1,则 ； ; 从而得到： EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ； ； 。 练习：1）数列{ an }中，若a1=2， ，求an. 7． 构造形如 的形式。 例：数列{ an }中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an. 解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1 二式相减：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2 an =4an-1-4an-2 an -2an-1=2（an-1-an-2） 设bn=an+1-2an， 当递推公式形如 Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1) 等形式时，因an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an), 我们构造bn=an+1-2an; bn=an+1-an, 由等比数列知识得bn=(a2-a1)·2n-1; bn=(a2-a1)·(p-1)n-1 从而得到an+1=2an+(a2-a1)2n-1;an+1=an(a2-a1)(1-q)n-1 由类型四求出an。 总之 ，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们的通项公式。当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起他们强烈的求知欲和创造欲。 PAGE 5 _1201798285.unknown _1202663569.unknown _1202664022.unknown _1203267332.unknown _1203267437.unknown _1203267834.unknown _1203268401.unknown _1203268067.unknown _1203267754.unknown _1203267382.unknown _1203267184.unknown _1203267287.unknown _1202664210.unknown _1202664336.unknown _1202665104.unknown _1202664304.unknown _1202664037.unknown _1202663947.unknown _1202664000.unknown _1202663702.unknown _1202663939.unknown _1202663629.unknown _1202662342.unknown _1202662936.unknown _1202663008.unknown _1202663270.unknown _1202662973.unknown _1202662586.unknown _1202662905.unknown _1202662402.unknown _1202319559.unknown _1202322689.unknown _1202323019.unknown _1202661643.unknown _1202322909.unknown _1202323018.unknown _1202322753.unknown _1202319752.unknown _1202322592.unknown _1202319689.unknown _1201803352.unknown _1202317799.unknown _1202318150.unknown _1201803454.unknown _1201803215.unknown _1201803245.unknown _1201798566.unknown _1201787403.unknown _1201790205.unknown _1201796427.unknown _1201796966.unknown _1201797060.unknown _1201796897.unknown _1201790332.unknown _1201790621.unknown _1201790302.unknown _1201788344.unknown _1201789691.unknown _1201789945.unknown _1201788973.unknown _1201789084.unknown _1201788792.unknown _1201788128.unknown _1201788197.unknown _1201787627.unknown _1201784801.unknown _1201786081.unknown _1201786571.unknown _1201787200.unknown _1201786254.unknown _1201785417.unknown _1201785821.unknown _1201784820.unknown _1201547537.unknown _1201548062.unknown _1201548368.unknown _1201548005.unknown _1201547067.unknown _1201547331.unknown _1201546438.unknown