高考数学复习计数原理概率随机变量及其分布11.5古典概型真题演练集训理

2018版高考一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布 11.5 古典概型真演练集训 理 新人教A版 1．[2016·江苏卷]将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________． ： 解析：解法一：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和小于10的有30种，故所求概率为＝. 解法二：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，向上的点数有36种结果，其中点数之和不小于10的有(6,6)，(6,5)，(6,4)，(5,6)，(5,5)，(4,6)，共6种，故所求概率为1－＝. 2．[2015·新课标全国卷Ⅱ]某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表． A地区用户满意度评分的频率分布直方图 ① B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评 分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90， 100] 频数 2 8 14 10 6 (1)在图②中作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不计算出具体值，给出结论即可)． B地区用户满意度评分的频率分布直方图 ② (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级： 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由． 解：(1)如图所示． 通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值；B地区用户满意度评分比较集中，而A地区用户满意度评分比较分散． (2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”；CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”．由直方图，得P(CA)的估计值为(0.01＋0.02＋0.03)×10＝0.6，P(CB)的估计值为(0.005＋0.02)×10＝0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大． 3．[2016·天津卷]某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望． 解：(1)由已知，有P(A)＝＝. 所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以，随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. 课外拓展阅读 古典概型与平面向量、几何、统计等知识的综合 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 古典概型的考查可以和平面向量、几何、统计等知识相互交汇，在解题中要重视古典概型的计算，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数，然后正确使用古典概型的概率计算公式进行计算． [典例1]　甲、乙分别从底为等腰直角三角形的直三棱柱的9条棱中任选一条，则这2条棱互相垂直的概率为(　　) A. B. C. D. [思路分析]　 [解析]　由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是甲从这9条棱中任选一条，乙从这9条棱中任选一条，共有9×9＝ 81(种)结果，满足条件的事件是这两条棱互相垂直，所有可能情况是： 当甲选底面上的一条直角边时，乙有5种选法，共有4条直角边，则共有20种结果； 当甲选底面上的一条斜边时，乙有3种选法，共有2条底面的斜边，则共有6种结果； 当甲选一条侧棱时，乙有6种选法，共有3条侧棱，则共有18种结果， 综上所述，共有20＋6＋18＝44(种)结果， 故2条棱互相垂直的概率是. [答案]　C 温馨提示 以棱柱、棱锥及异面直线、距离等立体几何知识为载体的古典概型求解是高考中的重要题型，题目综合性较强，有一定的难度，解题的关键是要考虑所有的位置关系． [典例2]　设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a＝(m，n)，b＝(1,3)． (1)求使得事件“a∥b”发生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率． [解]　(1)由题意知， m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}． 故(m，n)所有可能的取法共36种． 由a∥b，得n＝3m， 则(m，n)的取法共有2种，即(1,3)，(2,6)． 所以事件“a∥b”发生的概率为＝. (2)由|a|≤|b|，得m2＋n2≤10， 则(m，n)的取法共有6种， 即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 所以事件“|a|≤|b|”发生的概率为＝. [典例3]　城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客需求，为此，某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间(单位：分钟)作为样本分成5组，如下表所示： 组别 候车时间 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五 [20,25] 1 (1)求这15名乘客的平均候车时间； (2)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数； (3)若从上表第三、四组的6人中选2人作进一步的调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率． [思路分析]　 [解]　(1)×(2.5×2＋7.5×6＋12.5×4＋17.5×2＋22.5×1)＝×157.5＝10.5， 故这15名乘客的平均候车时间为10.5分钟． (2)由几何概型的概率计算公式可得，候车时间少于10分钟的概率为＝， 所以候车时间少于10分钟的人数为60×＝32. (3)将第三组乘客编号为a1，a2，a3，a4，第四组乘客编号为b1，b2. 从6人中任选2人的所有可能情况为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共15种， 其中2人恰好来自不同组包含8种可能情况， 故所求概率为.