数的整除特征

数的整除特征 数的整除性质主要有： （1） 若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2） 若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3） 几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 （4） 若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。 （5） 若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。 （6） 若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （7） 个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。 （8） 个位上是0或者5的数都能被5整除。 （9） 若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。 （10） 若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （11） 若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （12） 若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （13） 一个三位以上的整数能否被7（11或13）整除,只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小）能否被7（11或13）整除  （14） 末位数字为零的整数必能被10整除  （15） 另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数.（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位,十位、千位、百万位……称为偶数位.）  （16） 至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可：各位数之和能被3整除的偶数能被6整除；各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。 （17） 能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如 判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除． 如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。 如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除． 如：判断383357能不能被13整除． 这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除． 方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。 例如，判断452669能不能被7整除，452669-420000=32669，只要32669能被7整除即可。对32669可继续，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49当然被7整除，所以452669能被7整除。 （18） 能被11整除的数的特征：除了前面讲的被7整除的方法二适用于11之外，还可以把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。例如：判断491678能不能被11整除。奇位数字的和9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12  ，23-12=11因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1。 （19） 能被13整除的数的特征：除了前面讲的被7整除的方法二适用于13之外，还可以把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验和」的过程，直到能清楚判断为止，重复此过程。 例如：判断1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440 ， 12844+0×4=12844，1284+4×4=1300， 1300÷13=100所以，1284322能被13整除。 （20） 能被17整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （21） 能被19整除的数的特征：把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果和是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （22） 被4或25整除的数的特征 如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除。 例如：4675＝46×100＋75 由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除． 又如： 832＝8×100＋32 由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此， 因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除． （23） 被8整除的数的特征 如果一个数的末三位数能被8或125整除，那么，这个数就一定能被8或125整除． 例如： 9864的末三位是864，864能被8整除，9864就一定能被8整除．72375的末三位数是375，375能被125整除，72375就一定能被125整除。 （24） 1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （25） 被23或29整除的数的特征：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23(或29)整除 重点·难点 数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。 学法指导 能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我们可以综合推广成一条：末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过来，末n位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。学习这一讲知识要学会举一反三。 经典例题 [例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。  思路剖析 这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件： （1）各位数字和是3的奇数； （2）末两位数组成的两位数是4的倍数； （3）末位数为0或5。 按此条件很容易找到这个六位数。  解答 不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、5整除，因为被4整除，所以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。 又因，所以3|（5+6+8+a+b+0），所以： 当b=2时，3|（5+6+8+a+2），a可为0、3、6、9； 当b=4时，3|（5+6+8+a+4），a可为1、4、7； 当b=6时，3|（5+6+8+a+6），a可为2、5、8； 当b=8时，3|（5+6+8+a+8），a可为0、3、6、9； 当b=0时，3|（5+6+8+a+0），a可为2、5、8。 为了使六位数尽可能地小，则a应取0、b应取2、c应取0。 故能被3、4、5整除的最小六位数应为568020。 [例2]四位数能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少？  思路剖析 能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：个位数字B在0、2、4、6、8之中，各位数字之和是3的倍数，个位数B在0、5之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，所以先根据第二个条件确定百位数字A。  解答 要使能同时被2和5整除，个位数字只能是B=0；又要使能被3整除，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被3整除。可以看出，当A取0、3、6、9时，各位数字之和9+A可以被3整除。所求的四位数是8010、8310、8610、8910。 [例3]有两堆糖果，第一堆有513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余？  思路剖析 本题实际上是判断513与633能否被9整除。  解答 513各位上数字之和是5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是6+3+3=12，不能被9整除。 所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给9个小朋友还剩余3块。 [例4]有一个四位数是9的倍数，求A的值。  思路剖析 四位数是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数的各位数字之和一定是9的倍数。  解答 （1）当和是9时，3+A+A+1=9，即2A=5，所以A=2．5（舍）； （2）当和是18时，3+A+A+1=18，即2A=14，A=7； （3）当和是27时，3+A+A+1=27，即2A=23，可见A=11．5>10（舍）。 所以，A的值是7。   [例5]一位马虎的采购员买了72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只能依稀看到：72只桶，共□67．9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？  思路剖析 用整除性质：一个数能被两个数和的积整除，那么这个数就能同时被这两个数整除。例如，整数a能被15整除，那么这个数一定能同时被3和5整除。这种方法是分析整数问题的基本方法。  解答 将□67．9□元看做□679□分，这是72只桶的总价，因为单价×72=□679□，所以□679□能被72整除。72=8×9，所以□679□应该能被8和9整除。 如果□679□能被8整除，那么它的末三位一定能被8整除，即8|79□，容易算出□内是2。 因为□6792能被9整除，所以其各数之和能被9整除。□+6+7+9+2=□+24，显然，□中的数只能是3。 所以这笔账是367．92元。 答：一共用了367．92元。 [例6]在□里填上适当的数字，使得六位数□678□□能被8、9和25整除。  解答 ☆解法一：根据8、9和25整除的数的特征很容易解出此题。 这个六位数能被25整除，根据能被25整除的数的特征知，六位数的末两位数可能是00、25、50、75；该数又能被8整除，所以这个六位数的末三位数应能被8整除，而在800、825、850、875中只有800满足条件，所以这个六位数的个位、十位都是0；又因为这个六位数能被9整除，所以这个六位数的各位数字之和（不妨设首位为x）为： x+6+7+8=21+x 能被9整除，可推出x只能为6，所以这个六位数为667800。  ☆解法二：根据数的整除性质（4）：如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。  因为8×25=200，而且8与25互质，根据整除的性质（4），所求的六位数能被200整除，所以个位、十位都应该是0。然后由这六位数能被9整除，和解法一一样的方法可知这个六位数为667800。  [例7]有一水果摊一天进货6筐，分别装着香蕉和苹果，重量为8千克、9千克、16千克、19千克、23千克和27千克。头一天卖出一筐苹果，在剩下的5筐中，香蕉的重量是苹果重量的2倍。问卖掉的那筐重多少千克？剩下的5筐，哪几筐是苹果，哪几筐是香蕉？ 思路剖析 根据已知条件：剩下的5筐中香蕉的重量是苹果的2倍。可推出：剩下的5筐中香蕉重量与苹果重量之和是3的倍数，即能被3整除。  解答 因为6筐水果的总重量：8+9+16+19+23+27=102（千克），根据题意，剩下的5筐中香蕉与苹果总重量之和是3的倍数，那么卖出的一筐苹果也必须是3的倍数。从6筐水果数中可知有两种情况，卖出一筐苹果可能是9千克或是27千克。  如果卖出的一筐苹果是9千克，那么102－9=93(千克)。根据剩下的5筐中香蕉的重量与苹果总重量的2倍，则苹果为93÷（1+2）=31（千克）。从剩下的8、16、19、23和27中可知8千克和23千克为苹果（8+23=31）。最后剩下16千克、19千克和27千克这三筐为香蕉。  如果卖出的一筐苹果是27千克，同理，102－27=75(千克)，苹果为75÷(1+2)=25(千克)，即16千克与9千克这两筐。香蕉便是最后剩下的8千克、19千克和23千克这三筐。  所以本题有两种答案：如果卖出的那筐是9千克苹果，则剩下的5筐中8千克、23千克两筐为苹果，16千克、19千克和27千克三筐为香蕉。如果卖出的那筐是27千克苹果，则剩下的5筐中9千克、16千克两筐为苹果，8千克、19千克、23千克三筐为香蕉。  [例8]把1至1997这1997个自然数依次写下来，得一个多位数12345678910111213…1994199519961997，试求这个多位数除以9的余数。  思路剖析 根据一个数能被9整除的特征可以知道：一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数。所以上面求多位数除以9的余数问题，便转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少的问题。  解答 ☆解法一：因为1至9这9个数字之和为45，所以10至19，20至29，30至39，…，80至89，90至99这十个数的各位数位上的数字和分别为：45+10，45+20，45+30，45+40，…，45+80，45+90。所以，1至99这99个自然数各位数字之和为： 45+55+65+…+125+135=900  因为1至99这99个自然数各数位上数字之和为900，所以100至199，200至299，…，800至899，900至999这些100个数各位数位上的数字和分别为：900+100，900+200，…，900+800，900+900。所以，1至999这999个自然数各位上数字之和为： 900+1000+…+1700+1800=13500  因为1至999这999个自然数各位上数字和为13500，所以1000至1999这1000个自然数各数位上的数字和为13500+1000=14500，这样1至1999这1999个自然数各数位的数字和为：13500+14500=28000。1998、1999这两个数各数位上的数字和为：27、28。28000－27－28=27945，9能整除27945，所以多位数除以9余0  ☆解法二：将0至1999这2000个自然数一头一尾搭配成如下的100组： （0，1999），（1，1998），（2，1997），（3，1996），（4，1995），（5，1994），（6，1993）（7，1992），（8，1991）（9，1990），（10，1989），…，（994，1005），（995，1004），（996，1003），（997，1002），（998，1001）（999，1000），以上各组两数之和为1999，并且每一组数相加时都不进位，1至1999这1999个自然数的所有数字之和等于： （1+9+9+9）×1000=28000  1998、1999这两个数各位数上的数字之和为：27、28。28000―27―28=27945，9能整除27945，所以多位数除以9余0。  ☆解法三：因为依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数，一定能被9整除。而从1至1997一共有1997个数，1997÷9=221……8，1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997这8个数所有数位上的数字和为19+20+21+22+23+24+25+26=180，180能被9整除，所以多位数除以9余0。  点津 为什么依次写出的任意连续9个自然数所组成的多位数一定能被9整除呢？下面解释一下。因为任意连续的9个自然数的各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2…，7，8这9个数，而这9个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数一定能被9整除。 发散思维训练 1．这个四位数，同时能被2、3、4、5、9整除，求此四位数。 2．55块糖分给甲、乙、丙三人，甲分到糖的块数是乙的2倍，丙最少，但也多于10块，三个人各分几块？  3．已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？ 4．老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□13．7□元，回校后发现有两个数字看不清了。请你补上这两个数字(其中□为看不清的数字)。  5．已知45整除，求所有满足条件的六位数。 参考答案 1．解： 因为，所以b=0或5。又因为，故b=0，即原四位数是，只需确定a。因为，所以9|（4+5+a），则a=0或9。又因为，所以a=0。所以，满足条件的四位数是4500。  2．解： 由题目条件可知，甲、乙=人分到的糖的块数和是3的倍数。设丙分到x块糖，那么x＞10。当x=11或x=12时，55-x不能被3整除，丙不可能有11块或12块糖。当x=13时，55-13=42，42÷3=14。这时甲分到28块糖，乙分到14块糖。当x＞13时，显然不符合题意。 答：甲、乙、丙各分到糖28块、14块、13块。 3．解： 因为7018和1392分别是4205与2813的和与差，由数的整除性质（2）：如果两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除，所以7018和1392都能被29整除。 答：1392和7018都是29的倍数。  4．解： 首先将□13．7□元化为分，这样总钱数就是□137□分。由于每本书价格相同，所以72|□137□。但是72=8×9，所以8和9都应整除□137□。由于8整除□137□，所以8整除37□。所以，当37□=376时，才有8|376。所以原数为□1376。又由于9整除□1376，所以其数字和□+l+3+7+6必为9的倍数。即9整除（□+17）。而□只能是l到9中的某个数字，所以□只能是l。综上所述，原数是11376分，即113．76元。  5．解： 因为45=5×9，所以根据整除性质（5）：若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除，可知：5整除且9整除。所以y可取0或5。当y=0时，根据9整除及数的整除特征可知x=5。当y=5时，根据9整除及数的整除特征可知x=9。综上所述，满足条件的六位数是519930或919935。 2 / 11