小学数学难题解法大全 第四部分 常用解题技巧(四~一)速算技巧

小学数学难题解法大全 第四部分 常用解题技巧（四之一）速算技巧 （一）速算技巧 1.变换运算顺序 【根据定律变换顺序】根据加法运算定律和乘法运算定律，改变运算顺序，可以使一些计算变得比较简便、快速。例如 （1） 4673＋27689＋5327＋22311 =（4673+5327）＋（27689＋22311） =10000＋50000 =60000 这是运用加减法交换律和结合律，改变原题的运算顺序，使计算变得简便、快速的。 （2） 125×4×8×25×78 =（125×8）×（4×25）×78 = 1，000×100×78 =7，800，000 【根据加减运算性质变换顺序】根据加减运算性质，也可以改变运算的顺序，使计算变得比较简便、快速。 （1）用“若干个数的和减去等于或小于其中一个加数的数，可以先从一个加数中减去这个数，然后再和其他数相加”这一性质，改变运算顺序。例如 （485+468＋321）-358 =（458-358）+468＋321 =100＋468＋321 =889 （583＋387+217）-387 =583＋217+（387-387） =583+217＋0 =800 （2）根据性质——“第一个数加上（或减去）第二个数，再减去第三个数，可以由第一个数先减去第三个数，再加上（或减去）第二个数”进行速算。例如： 5687＋768-687 =5687-687＋768 =5000＋768 =5768 2583-187-1583 =2583-1583-187 =1000-187 =913 （3）根据性质——“一个数加上两个数的差，等于先把这个数加上差里的被减数，再减去差里的减数”进行速算。例如 356＋（244-187） =356＋244-187 =600-187 =413 （4）根据“一个数减去两个加数的和，等于这个数依次减去和里的两个加数”速算。例如 1875-（1675＋147） =1875-1675-147 =200-147 =53 （5）根据“一个数减去两个数的差，等于这个数先加上差里的减数，然后再减去差里的被减数”速算。例如 1628-（1600-372） =1628+372-1600 =2000-1600 =400 （6）根据“一个数减去若干个（有限个）数的和，等于这个数依次减去和里的每一个加数”速算。例如 168-（18+10＋137） =168-18-10-137 =150-10-137 =140-137 =3 当然，依据加减法的运算性质，第（4）、（5）、（6）三种速算法，不仅要改变运算的顺序，而且还要改变部分运算的种类。比方第（4）种括号里的“+147”要改变为“-147”；第（5）种括号里的“-372”要改变为“＋372”；第（6）种括号里的加法都要改变为减法。 【根据乘除运算性质变换顺序】根据乘除运算性质，可用如下变换运算顺序，进行速算。 （1）根据“一个数乘以若干个因数的积，可以依次乘以积里的各个因数”速算。例如 125×（8×9） =125×8×9 =1000×9 =9000 又如25×28=25×（4×7） =25×4×7 =100×7 =700 第二例是把28看成“4×7”的积，再运用上述性质变换运算顺序进行速算的。这种算法，人们又常称它为“分因法” （2）根据“若干个因数的积乘以一个数，可以先把积里的任何一个因数乘以这个数，然后再与其他因数相乘”速算。例如 （37×3×25）×4=（37×3）×（25×4） =111×100 =11100 （3）根据“若干个数的积乘以若干个数的积，可以把两个积里的因数依次相乘”速算。例如 （25×3×50）×（4×9×2）＝（25×4）×（50×2）×（3×9） =100×100×27 =270000 （4）根据“两个数的差与一个数相乘，可以用被减数和减数分别与这个数相乘，然后再减”去进行速算。例如 27×99=27×（100—1） =27×100—27×1 =2700—27 =2673 （5）根据“用一个不等于0的数去除两个或两个以上的因数的积，只要用这个数去除积中的任何一个因数”，去进行速算。例如 （64×24）÷8=64×（24÷8） =64×3 =192 （6）根据“一个数除以第一个数，再除以第二个数，等于这个数先除以第二个数，再除以第一个数”，去进行速算。例如 699000÷375÷233＝699000÷233÷375 =3000÷375 =8 （7）根据“一个数乘以两个数的商”，可以先把这个数乘以商里的被除数，再除以商里的除数”，去进行速算。例如 6×（9000÷54）=6×9000÷54 ＝54000÷54 =1000 （8）根据“一个数除以两个数的积，可以用积里的两个因数依次去除这个数”，去进行速算。例如 224÷56=224÷（7×8） =224÷7÷8 =32÷8 =4 （9）根据“一个数除以两个数的商，可以先除以商里的被除数，再乘以商里的除数”，去进行速算。 例如 4200÷（700÷112）=4200÷700×112 =6×112 =672 864÷54×27＝864÷（54÷27） =864÷2 =432 （10）根据“若干个数的积除以一个数，可以把积里的任何一个数除以这个数（如能整除的话），再与其他因数相乘”，去进行速算。例如 （32×72×5）÷9＝32×5×（72÷9） =160×8 =1280 （11）根据“一个数除以若干个数的积，可以用积里的各个因数依次去除”，去速算题目，例如 48510÷（5×3×7×11） =48510÷5÷3÷7÷11 =9702÷3÷7÷11 =3234÷7÷11 =462÷11 =42 （12）根据若干个数的积除以若干个数的积，可以把第一个积里的各个因数分别除以第二个积里的相应的因数，然后相乘”，去速算题目。例如 （21×15×32）÷（3×16×7） =（21÷7）×（15÷3）×（32÷16） =3×5×2 =30 550÷22 =（11×5×10）÷（11×2） =（11÷11）×（10÷2）×5 =1×5×5 =25 （13）根据“两个数的差除以一个数，可以把被减数和减数分别除以这个数，再把所得的商相减”，去速算题目。例如 （7800-78）÷78 ＝7800÷78-78÷78 =100—1 =99 2871÷29 ＝（2900-29）÷29 =2900÷29-29÷29 =100—1 =99 798÷19—418÷19 =（798—418）÷19 =380÷19 =20 需要注意的是：①有些性质的运用，不仅会改变原题的运算顺序，而且要改变部分运算的种类，如第⑧、⑨、(11)、(12)条性质的运用；②有些性质可直接运用，有些要将原题变形后才可运用，有些则要将这些性质逆用，才能使运算变得简便、快速。例如第(13)条性质，第一例是直接运用，第二例是变形后运用，第三例则是逆用的实例。 2.改变运算种类 在四则运算中，改变原题的运算种类，如以乘代加、以加代减、以加代乘、以减代除……，往往可使一些题目的计算变得比较简便、快速。 【以乘代加】几个加数虽然不同，但数字大小比较接近的时候，可以选择一个数作“基准数”，采用“以乘代加”的速算。例如 （1）17＋18＋16＋17＋14+19＋13+14 解题时，可以选择17为基准数，以乘代加解答如下。 17＋18+16＋17＋14+19+13＋14 =17×8＋1-1-3＋2-4-3 =17×8-8 =128 （2） 325＋324＋318＋327＋323＋320 解题时，可以选取323作为基准数，然后解答。 325+324＋318+327＋323＋320 =323×6+2＋1-5+4-3 = 323×6+（2＋1＋4）-（5＋3） =323×6＋7-8 =323×6-1 =1937 运用基准数以乘代加速算，对于一些随报随记而且数字又很接近的连加运算，是极为方便、快速的，它的算法可以是： 选定一个数作基准数，把比基准数多的记“十”，比基准数少的记“一”，随报随算它的累计数。当要加的数报完后，结果也就计算出来了。 例如，某组10个同学某次数学考试分数如下： 72；71；70；68；74；69；73；67；70；73。 计算时，可选择70分作基准数。计算过程可如下所示（实际计算时只需要算出累计数就行了）： 所以，这组同学这次考试成绩的总分数是 70×10＋7=707（分） 【以加代减】为说明问题，先看一个实际问题： “某人去商店购物，需要付款4.65元。他交给售货员10元，应找回多少钱？” 很明显，这是个减法算题，应该用10—4.65=5.35（元）去求答案。可是在找钱的时候，售货员一般不做减法，而是采用“前位凑九，末位凑十”的加法运算，得 5.35与4.65能凑成10，从而得出要找的钱数是5.35元。这是为什么呢？ 因为做减法会产生连续退位的问题，而用加法凑整，可以通过“前位九，末位十”的办法口算。达到正确、快速、简便地求差的目的。 凡是整百、整千、整万……减去一个数，都可以用“以加代减”的方法——“前位凑九，末位凑十”，去迅速地求差。请看下面的两个例子，特别是看一看列出的竖式： （1） 1000—675=325 (2)50000-3672=46328 【添0折半】一个数乘以5，可以看成是先乘以10再除以2。一个数乘以10非常简便，只要在这个数的末尾添个0；再除以2，也很容易口算。这种添0后再除以2的方法，叫做“添0折半法”。它也改变了原题的运算种类。例如 （1）486×5 ＝4860÷2 =2430 （2）4.37×5 =43.7÷2 =21.85 【添0退减原数】一个数乘以9，就是乘以10—1。根据一个数乘以两数之差的分配性质，一个数乘以9，可以在这个数的末尾添一个0，再退一位减去原数，所得的就是所要求的积。这种方法，可称为“添0退减原数法”。例如 396×9 =3960-396 =3564 （退减原数可看式口算。看式口算不熟练时，可从低位减起，熟练之后可从高位减起，一下子就可直接写出得数。） 【添0折半加原数】一个数乘以6，可以看成是乘以（5＋1）。运用乘法分配律，可以用这个数分别乘以5和1，再求两个积之和。一个数乘以5，可以用“添0折半法”，加上这个数与1的积，就是加上原数。所以这种速算方法可称之为“添0折半加原数法”。例如 6489×6 =64890÷2+6489 =32445＋6489 =38934 这种方法还可以推广到一个数乘以7中去。不过，乘以7就必须是“添0折半加原数的2倍”了。 例如 2436×7 =24360÷2＋4872 =12180+4872 =17052 234.2×7 =2342÷2+468.4 =1171＋468.4 =1639.4 【以加代乘】“以加代乘”又可以称之为“添0加原数”。例如 720×11 =7200＋720 =7920 67203×11 ＝672030＋67203 =739233 这种方法还可以推广到一个数乘以12的计算中去。不过，一个数乘以12，需要添0加原数的2倍。例如： 623×12 =6230+1246 =7476 【原数加半，加半定积】如果一个数乘以1.5，也就是乘以（1＋0.5），那么根据乘法分配律，只要把这个数加上它的一半就可以了。这时，原来的乘法也可以改用加法来代替。例如 48×1.5 =48×（1＋0.5） =48+24（48的一半） =72 显然，“原数加半”的方法速算乘法，也是“以加代乘”的一种方法。 这种“原数加半”方法还可推广到一个数乘以15、150、1500……以及0.15、0.015、0.0015……中去。因为 15=1.5×10 0.15=1.5×0.1 150=1.5×100 0.015=1.5×0.01 1500=1.5×1000 0.0015=1.5×0.001 …… …… 所以，一个数乘以这些数，只要把这个数加上它的一半以后，再移动小数点的位置就可以了。比方 6.4×150 =6.4×1.5×100 =（6.4＋3.2）×100 =9.6×100 =960 4600×0.0015 =（4600＋2300）×0.001 =6900×0.001 =6.9 这样的方法，可以称作“加半定积法”。在我国农村，还经常将它用于将平方米数换算成亩数的计算。因为1平方米=0.0015亩，所以 2800平方米=（0.0015×2800）亩 =[（2800＋1400）×0.001]亩 =4.2亩 在民间，人们一般称这样的快速简算方法，叫做“加半向左移三法”。 【以减代除】除法实际上是同数连减的简算方法，而同数连减又可以用乘法代替。所以，“以减代除”可以达到简算和速算的目的。 例如，550÷25，先用550减去20个25，得50，50再减去2个25，便得0。所以，550÷25=22。由口算便迅速得出了此题的得数。 【以乘代除，以除代乘】在乘法运算里，如果一个因数是5”，则可将它化为“10n÷2n”，从而将“乘以5n”转化为“除以2n”进行计算。同样，在除法运算里，如果除数是5n，那么，也可以将它转化为“乘以2n”去进行计算。显然，除以或乘以2n，要比乘以或除以5n方便、快速得多。例如 （1）12000÷125 =12000÷53 =12000÷（103+23） =12000÷103×23 =12×23 =96 因为12×23=12×2×2×2，所以口算得数时，只要把12连续翻倍三次即可。即 12—→24—→48—→96。 （2） 480×125=480×53 =480×（103÷23） =480×103÷23 ＝480÷23×103 =60×103 =60000 因为480÷23=480÷2÷2÷2，所以口算得数时，只要把480连续折半三次即可。即 480—→240—→120—→60。 3.用补充数速算 末尾是一个或几个0的数，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、51等，我们可以用（100—2）、（50＋1）等来代替，这也可能使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100叫做 98的“大约强数”，2叫做 98的“补充数”；50叫做51的“大约弱数”，1叫做51的“补充数”。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的差（和），然后再进行运算，这种方法叫做“运用补充数法”。例如 （1）387＋99=387＋（100—1） =387＋100—1 =486 1680—89=1680-（100—11） =1680—100+11 =1580+11 =1591 4365-997=4365-（1000-3） =4365-1000＋3 =3368 69×9=69×（10-1） =690-69 =621 69×99=69×（100-1） =6900-69 =6831 87×98=87×（100-2） =8700-87×2 =8700-200+26 =8526 4.应用公式速算 根据运算定律或运算性质，可以推出一些运算公式。熟练地运用这些公式，可以使一些计算变得比较简便、快速。速算的公式、实例，见本书第一部分“速算公式”一节。 5.连续数求和的速算 苦干个连续整数求和的问题，可以分为“连续自然数求和”、“连续奇数求和”与“连续偶数求和”三类。 【连续自然数求和】几个连续的自然数相加，可以把它们的首项和末项相加，把所得的结果除以2以后，再乘以项数，得到的便是这几个连续自然数的和。 例如，13＋14＋15＋16+17+18＋19＋20＋21＋22 =（13+22）÷2×10 =17.5×10 =175 如果加数的个数（项数）是奇数（单数），也可以直接用排列在正中间的数（中间项）乘以项数，去求它们的和。例如 =15×9 （中间项） =135 【连续奇数求和】连续奇数的求和，也可以用上面介绍的“连续自然数求和的速算”方法去速算。例如 3+5＋7+ 9＋11＋13+ 15＋17＋19 ＝（3＋19）÷2×9 =11×9 =99 =11（中间项）×9（项数） =99 如果是从1开始的几个连续奇数求和，则可以用这些奇数的个数自乘，便得到这几个连续奇数的和。例如 1＋3＋5+ 7＋9＋11=6×6=36（奇数个数是6） 1+3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＋21 =11×11 =121。（奇数个数是11） 【连续偶数求和】 连续偶数的求和，同样可以用“连续自然数求和的速算”方法速算。例如 8＋10＋12＋14＋16＋18+20+22＋24 ＝（8＋24）÷2×9 =144 如果连续偶数是从2开始的，即求从2开始的连续偶数之和，则可以用这些偶数的个数乘以个数加1之和，就得到这几个连续偶数的和。例如 2＋4＋6＋8＋10=5×（5+1）（偶数个数是5） =30 2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＋22＋24＋26 =13×（13＋1）（偶数个数是13） =182 6.根据和、差、积、商变化规律速算 【根据和的变化规律速算】和的变化规律有以下两条。 （1）如果一个加数增加（或减少）一个数，另一个加数不变，那么它们的和也增加（或减少）同一个数。 利用这一规律，可以使计算简便、快速。例如 645+203=645+200+3 =845＋3 =848 397＋468=400＋468-3 =868-3 （2）如果一个加数增加一个数，另一个加数减少同一个数，那么它们的和不变。 利用这一规律，也可以使计算简便、快速。例如 657＋309=（657+9）＋（309-9） =666+300 =966 154＋286=（154—4）+（286＋4） =150＋290 =（150-10）＋（290＋10） =140＋300 =440 【根据差的变化规律速算】差的变化规律有如下三条。 （1）如果被减数增加（或减少）一个数，那么它们的差也增加（或减少）同一个数。 运用这一规律的速算，如 804—355=800—355＋4 =445＋4 ＝449 593—264=600—264—7 =336—7 =329 （2）如果减数增加（或减少）一个数，被减数不变，那么它们的差反而减少（或增加）同一个数。 运用这一规律的速算，如 675—298=675—300＋2 =375＋2 =377 458—209=458—200—9 =258—9 =249 （3）如果被减数和减数都增加（或都减少）同一个数，那么它们的差不变。 运用这一规律的速算，如 3520—984=（3520＋16）-（984＋16） =3536—1000 =2526 803—345=（803—3）-（345—3） =800—342 =458 【根据积的变化规律速算】积的变化规律有如下两条。 （1）如果一个因数扩大（或者缩小）若干倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大（或者缩小）同样的倍数。 运用这一规律的速算，如 175×4=（25×7）×4 =[（25×7）÷25]×4×25 =7×4×25 =7×（4×25） =700 68×25＝68×100÷4 =6800÷4 =1700 （2）如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小同样的倍数，那么它们的积不变。 运用这一规律速算，如 240×25=（240÷4）×（250×4） =60×1000 =60000 45×14=（45×2）×（14÷2） =90×2 =180 【根据商的变化规律速算】商的变化规律，有如下三条： （1）如果被除数扩大（或者缩小）若干倍，除数不变，那么它们的商也扩大（或者缩小）同样的倍数。 运用这一规律速算，如 5400÷9=（5400÷100）÷9×100 =54÷9×100 =6×100 =600 （2）如果除数扩大（或者缩小）若干倍，被除数不变，那么它们的商反而会缩小，（或者扩大）同样的倍数。 运用这一规律速算，如 3600÷25＝3600÷（25×4）×4 =3600÷100×4 =36×4 =144 （3）被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，它们的商不变。 运用这一规律速算，如 690000÷23000=（690000÷1000）÷（23000÷1000） =690÷23 =30 12000÷25=（12000×4）÷（25×4） =48000÷100 =480 注意：在有余数的除法里，如果被除数和除数都扩大（或者都缩小）同样的倍数，不完全商虽然不会变化，但余数会跟着扩大（或者缩小）同样的倍数。要使余数不变，所得的余数必须缩小（或者扩大）同样的倍数。 7.常用的巧算方法 【顺逆相加】用“顺逆相加”算式可求出若干个连续数的和。例如著名的大数学家高斯（德国）小时候就做过的“百数求和”题，可以计算为 所以，1＋2＋3＋4＋……＋99＋100 =101×100÷2 =5050。 又如，计算“3+5+7+………＋97+99=？”，可以计算为 所以，3+5＋7＋……＋97+99=（99＋3）×49÷2= 2499。 这种算法的思路，见于书籍中最早的是我国古代的《张丘建算经》。张丘建利用这一思路巧妙地解答了“有女不善织”这一名题： “今有女子不善织，日减功，迟。初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫。问织几何？” 题目的意思是：有位妇女不善于织布，她每天织的布都比上一天减少一些，并且减少的数量都相等。她第一天织了5尺布，最后一天织了1尺，一共织了30天。问她一共织了多少布？ 张丘建在《算经》上给出的解法是： “并初末日织尺数，半之，余以乘织讫日数，即得。”“答曰：二匹一丈”。 这一解法，用现代的算式表达，就是 1匹=4丈，1丈=10尺， 90尺=9丈=2匹1丈。（答略） 张丘建这一解法的思路，据推测为： 如果把这妇女从第一天直到第30天所织的布都加起来，算式就是 5＋…………＋1 在这一算式中，每一个往后加的加数，都会比它前一个紧挨着它的加数，要递减一个相同的数，而这一递减的数不会是个整数。 若把这个式子反过来，则算式便是 1+………………＋5 此时，每一个往后的加数，就都会比它前一个紧挨着它的加数，要递增一个相同的数。同样，这一递增的相同的数，也不是一个整数。 假若把上面这两个式子相加，并在相加时，利用“对应的数相加和会相等”这一特点，那么，就会出现下面的式子： 所以，加得的结果是6×30=180（尺） 但这妇女用30天织的布没有180尺，而只有180尺布的一半。所以，这妇女30天织的布是 180÷2=90（尺） 可见，这种解法的确是简单、巧妙和饶有趣味的。 【分组计算】一些看似很难计算的题目，采用“分组计算”的方法，往往可以使它很快地解答出来。例如 求1到10亿这10亿个自然数的数字之和。 这道题是求“10亿个自然数的数字之和”，而不是“10亿个自然数之和”。什么是“数字之和”？例如，求1到12这12个自然数的数字之和，算式是 1＋2＋3＋4＋5+6+7＋8+9+1＋0+1+1+1+1＋2=5l。 显然，10亿个自然数的数字之和，如果一个一个地相加，那是极麻烦，也极费时间（很多年都难于算出结果）的。怎么办呢？我们不妨在这10亿个自然数的前面添上一个“0”，改变数字的个数，但不会改变计算的结果。然后，将它们两两分组： 0和999，999，999；1和999，999，998； 2和999，999，997；3和999，999，996； 4和999，999，995；5和999，999， 994； ……… ……… 依次类推，可知除最后一个数，1，000，000，000以外，其他的自然数与添上的0共10亿个数，共可以分为5亿组，各组数字之和都是81，如 0+9+9+9+9＋9＋9＋9＋9＋9=81 1+9+9＋9＋9＋9+9+9+9＋8=81 ……………… 最后的一个数1，000，000，000不成对，它的数字之和是1。所以，此题的计算结果是 （81×500，000，000）＋1 =40，500，000，000＋1 =40，500，000，001 【由小推大】“由小推大”是一种数学思维方法，也是一种速算、巧算技巧。遇到有些题数目多，关系复杂时，我们可以从数目较小的特殊情况入手，研究题目特点，找出一般规律，再推出题目的结果。例如： （1）计算下面方阵中所有的数的和。 这是个“100×100”的大方阵，数目很多，关系较为复杂。不妨先化大为小，再由小推大。先观察“5×5”的方阵，如下图（图4.1）所示。 容易看到，对角线上五个“5”之和为25。 这时，如果将对角线下面的部分（右下部分）用剪刀剪开，如图4.2那样拼接，那么将会发现，这五个斜行，每行数之和都是25。所以，“5×5”方阵的所有数之和为25×5=125，即53=125。 于是，很容易推出大的数阵“100×100”的方阵所有数之和为1003=1，000，000。 （2）把自然数中的偶数，像图4.3那样排成五列。最左边的叫第一列，按从左到右的顺序，其他叫第二、第三……第五列。那么2002出现在哪一列： 因为从2到2002，共有偶数2002÷2=1001（个）。从前到后，是每8个偶数为一组，每组都是前四个偶数分别在第二、三、四、五列，后四个偶数分别在第四、三、二、一列（偶数都是按由小到大的顺序）。所以，由1001÷8=125…………1，可知这1001个偶数可以分为125组，还余1个。故2002应排在第二列。 【凑整巧算】用“凑整方法”巧算，常常能使计算变得比较简便、快速。例如 （1）99.9+11.1=（90＋10）+（9+1）＋（0.9+0.1） =111 （2）9＋97＋998＋6=（9+1）＋（97＋3）＋（998＋2） =10＋100＋1000 =1110 （3）125＋125＋125＋125＋120＋125＋125＋125 =155＋125＋125＋125＋（120+5）＋125＋125+125-5 =125×8-5 =1000-5 =995 【巧妙试商】除数是两位数的除法，可以采用一些巧妙试商方法，提高计算速度。 （1）用“商五法”试商。 当除数（两位数）的10倍的一半，与被除数相等（或相近）时，可以直接试商“5”。如70÷14=5，125÷25=5。 当除数一次不能除尽被除数的时候，有些可以用“无除半商五”。“无除”指被除数前两位不够除，“半商五”指若被除数的前两位恰好等于（或接近）除数的一半时，则可直接商“ 5”。例如1248÷24=52，2385÷45=53 （2）同头无除商八、九。 “同头”指被除数和除数最高位上的数字相同。“无除”仍指被除数前两位不够除。这时，商定在被除数高位数起的第三位上面，再直接商8或商9。 5742÷58=99，4176÷48=87。 （3）用“商九法”试商。 当被除数的前两位数字临时组成的数小于除数，且前三位数字临时组成的数与除数之和，大于或等于除数的10倍时，可以一次定商为“9”。 一般地说，假如被除数为m，除数为n，只有当9n≤m＜10n时，n除m的商才是9。同样地，10n≤m＋n＜11n。这就是我们上述做法的根据。 例如4508÷49=92，6480÷72=90。 （4）用差数试商。 当除数是11、12、13…………18和19，被除数前两位又不够除的时候，可以用“差数试商法”，即根据被除数前两位临时组成的数与除数的差来试商的方法。若差数是1或2，则初商为9；差数是3或4，则初商为8；差数是5或6，则初商为7；差数是7或8，则初商是6；差数是9时，则初商为5。若不准确，只要调小1就行了。例如1476÷18=82（18与14差4，初商为8，经试除，商8正确）；1278÷17=75（17与12的差为5，初商为7，经试除，商7正确）。 为了便于记忆，我们可将它编成下面的口诀： 差一差二商个九，差三差四八当头； 差五差六初商七，差七差八先商六； 差数是九五上阵，试商快速无忧愁。 【恒等变形】恒等变形是一种重要的思想和方法，也是一种重要的解题技巧。它利用我们学过的知识，去进行有目的的数学变形，常常能使题目很快地获得解答。例如 （1）1832＋68=（1832-32）＋（68+32） =1800＋100 =1900 （2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1） =359.8-10 =349.8 【拆数加减】在分数加减法运算中，把一个分数拆成两个分数相减或相加，使隐含的数量关系明朗化，并抵消其中的一些分数，往往可大大地简化运算。 （1）拆成两个分数相减。例如 又如 （2）拆成两个分数相加。例如 又如 【同分子分数加减】同分子分数的加减法，有以下的计算规律： 分子相同，分母互质的两个分数相加（减）时，它们的结果是用原分母的积作分母，用原分母的和（或差）乘以这相同的分子所得的积作分子。 分子相同，分母不是互质数的两个分数相加减，也可按上述规律计算，只是最后需要注意把得数约简为既约（最简）分数。 例如 （注意：分数减法要用减数的原分母减去被减数的原分母。） 由上面的规律还可以推出，当分子都是1，分母是连续的两个自然数时， 关系，我们也可以简化运算过程。例如 【先借后还】“先借后还”是一条重要的数学解题思想和解题技巧。例如 做这道题，按先通分后相加的一般办法，势必影响解题速度。现在从“凑整”着眼，采用“先借后还”的办法，很快就将题目解答出来了。 【个数折半】下面的几种情况下，可以运用“个数折半”的方法，巧妙地计算出题目的得数。 （1）分母相同的所有真分数相加。求分母相同的所有真分数的和，可采用“个数折半法”，即用这些分数的个数除以2，就能得出结果。 这一方法，也可以叙述为分母相同的所有真分数相加，只要用最后一个分数的分子除以2，就能得出结果。 （2）分母为偶数，分子为奇数的所有同分母的真分数相加，也可用“个数折半法”求得数。比方 （3）分母相同的所有既约真分数（最简真分数）相加，同样可用“个数折半法”求得数。比方 【带分数减法】带分数减法的巧算，可用下面的两个方法。 （1）减数凑整。例如 （2）交换位置。例如 在这两种方法中，第（1）种“凑整”法，也可以运用到带分数的加法中去。例如 【带分数乘法】有些特殊的带分数相乘，可以采用一些特殊的巧算方法。 （1）相乘的两个带分数整数部分相同，分数部分的和是1，则乘积也是个带分数，它的整数部分是一个因数的整数部分乘以比它大1的数，分数部分是两个因数的分数部分的乘积。例如 （2）相乘的两个带分数整数部分相差1，分数部分和为1，则积也是个带分数，它用较大数的整数部分的平方，减去分数部分的平方，所得的差就是这两个带分数的乘积。例如 （注：这是根据“（a＋b）（a-b）=a2-b2”推出来的。） （3）相乘的两个带分数，整数部分都是1，分子也都是1，分母相差1，则乘积也是个带分数。这个带分数的整数部分是1，分子是2，分母与较大因数的分母相同。例如 读者自己去试一试，此处略）。 【两分数相除】有些分数相除，可以采用以下的巧算方法： （1）分子、分母分别相除。在个别情况下，分数除法可沿用整数除法的做法：用分子相除的商作分子，用分母相除的商作分母。不过，这只有在被除数的分子、分母，分别是除数的分子、分母的整数倍数的情况下，计算才比较简便。例如 （2）分母相除，一次得商。在两个带分数相除的算式中，当被除数和除数的整数与分母调换了位置，而它们的分子又相同时，根据分数除法法则，只要用原除数的分母除以被除数的分母，所得的数就是它们的商。 例如 （注：用除法法则可以推出这种方法，此处略。）