物理实验数据处理的基本方法

1引言 物理学的理论是通过观察、实验、抽象、假说等研究，并通过实验建立起来的。所以，物理学从根本上讲是一门实验科学，科学实验在物理学的形成和发展中处于主导地位。在物理学的发展中，人类积累了丰富的实验方法，创造出各种精密的仪器设备，促进了物理实验技术的提高。物理实验中的研究方法、观察与分析手段、各种常规和精密的仪器设备在现代科学和工程实践中均具有极大的普遍性、综合性、多样性和广延性，促进了物理学的发展、自然科学的变革、以及工业技术的革命。 物理实验是人为地创造出一种条件，按照预定计划，以确定顺序重现一系列物理过程或物理现象，其目的不仅要让学生受到严格的、系统的物理实验技能训练，掌握物理科学实验的基本知识、方法和技术，更重要的是要培养学生严谨的科学思维能力和创新精神，培养学生理论联系实际、分析和解决问题的能力。 科学实验的目的是为了找出事物的内在规律，或检验某种理论的正确性，或准备作为以后实践工作的依据。在物理实验中，我们要对一些物理量进行测量，得到与之相关的数据，而对实验数据进行记录、整理、计算、作图和分析，去粗取精，去伪存真，得到最终结论和实验规律的过程称为数据处理。数据处理是否科学，决定科学结论能否建立与推广，它是物理实验教学中培养学生实验能力和素质的重要环节。数据处理的中心内容是估算待测量的最佳值，估算测量结果的不确定度或寻求多个待测量间的函数关系。不会处理数据或数据处理方法不当，就得不到正确的实验结果。由此可知，数据处理在整个实验过程中有着举足轻重的地位。在物理实验中常用的数据处理方法有列表法、作图法、图解法、逐差法和最小二乘法（直线拟合）等，下面就各方法的内容作详细的介绍。 2列表法 2.1列表法的基本概述 列表法就是将实验中测量的数据、计算过程数据和最终结果等以一定的形式和顺序列成表格。列表法是记录和处理数据的基本方法，也是其他数据处理方法的基础，一个好的数据处理表格，往往就是一份简明的实验报告。实验数据既可以是同一个物理量的多次测量值及结果，也可以是相关几个量按一定格式有序排列的对应的数值。在实验过程中，对一个物理量进行多次测量或研究几个量之间的关系时，我们往往借助的就是列表法进行数据处理。然而，表格的格式需要按照不同的实验事先，一般要求把各个自变量(实验中测量的量)数据、计算过程数值、因变量数值、最后结果按照一定的顺序列成两维表格。可以采用首行是符号栏，首列是序号栏，其余是数据栏的格式。根据需要还可以列出除原始数据以外的计算栏目和统计栏目等。 2.2列表法的优点 列表法简单易行，结构紧凑、条目清晰，既可以简明地反映有关量之间的函数关系，便于及时检查和发现实验中存在的问题，判断测量结果的合理性；又有助于分析实验结果，找出有关物理量之间存在的规律性联系，进而求出经验公式。 不仅如此，列表还可以提高处理数据的效率，减少和避免差错。根据需要，把某些计算中间项列出来，不但有利于进行有效数字的简化处理，避免不必要的重复计算；还能随时与原始数据进行核对，判断运算是否有错。所以，设计一个简明醒目、合理美观的数据表格，是每一位学生都要掌握的基本技能。 2.3列表法遵循的原则 列表虽然没有统一的格式，但所设计的表格要能充分反映上述优点，应遵循以下原则: 1.表的上方应有表头，写明所列表格的名称; 2.标题栏目要简单明了、分类清楚，便于显示有关物理量之间的关系; 3.各栏目(纵或横)均应注明所记录的物理量的名称及单位，若名称用自定义符号，则应加以说明; 4.栏目的顺序应充分注意数据间的联系和计算顺序，力求简明、齐全、有条理； 5.列表中的数据主要应是原始测量，数据不应随便涂改，处理过程中的一些重要的中间计算结果也应列入表中; 6.对数据的表格，应提供必要的说明和参数，包括表格名称、主要测量仪器的规格(型号、量程、准确度级别或最大允许误差等)、有关环境参数等; 7.必要时附加说明。 总而言之，列表的过程就是整理实验思绪的过程，只有在清楚了解并通盘考虑实验目的、原理、方法、步骤以及误差处理要求的基础上，才能列出科学、合理、实用、方便的数据处理表格。 例2.1 测量电阻的伏安特性，记录数据如下表：　 表2.1测电阻伏安特性数据 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 V / V 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 I/ mA 0.0 2.0 4.0 6.1 7.9 9.7 11.8 13.8 16.0 17.9 19.9                         3.作图法 3.1作图法的基本概述 物理实验中测得的各物理量之间的关系，可以用函数式表示，也可以用各种图线表示，后者称为实验数据的图线表示法。实验产生的大量数据其相互之间的关系不是很直观，仅仅通过这些数据的观察是难以把握它们之中所蕴涵的科学内涵的。然而通过动手作图能有效地帮助人们形象地，有联系地“看到”这些数据，从而更有效地进行处理分析与推理，这正是数据的可视化。它把形象思维和逻辑思维有机地联系在一起，从而达到启迪思维、促进科学创新的目的。工程师和科学家一般对定量的图线很感兴趣，因为定量图线的形象直观、一目了然，不仅能简明地显示物理量之间的相互关系、变化趋势，而且能方便地找出函数的极大值、极小值、转折点、周期和其他奇异性，特别是对那些尚未找到适当解析函数表达式的实验结果，可以从图示法所画出的图线中去寻找相应的经验公式，从而提出物理量之间的变化规律。 3.2作图法的优点 利用作图分析物理量之间的关系有以下优点： 作图法具有简明、直观、形象地显示物理量之间关系的特点。尤其是对多条图线进行比较时，比列表法更形象。 可以根据图线的形状和变化趋势分析研究物理量之间的变化规律，找出相互对应的函数关系，甚至外推某些规律或得到所求的参量。 可以作出仪器的校准曲线。 曲线改值。在用图像法处理实验数据时，物理量之间可能存在各种各样的函数关系。如果通过适当的坐标变换，将物理量之间的非线性关系转化为一次函数关系，则图像将由曲线转化为直线。这样物理量之间的关系会变得更加直观，研究问题的分析也会更加简便。 3.3作图法所遵循的规则 作图并不复杂，但对于许多学生来说，却是一种困难的科学技巧， 这是由于他们缺乏基本的训练，而在思想上对作图又没有足够的重视所致。只要认真对待，并遵循一定的作图的一般规则进行一段时间的训练，是能够绘制出相当好的图线的。 制作一副完整的、正确的图线，其基本步骤包括：图纸的选择，坐标的分度和标记，标出每个实验点，作出一条与许多实验点基本符合的图线，以及注解和说明等。 图纸的选择 作图必须用坐标纸。当决定了作图的参量以后，根据情况选择直角坐标纸(毫米方格纸)、极坐标纸或其他坐标纸。 直线是最容易绘制的图线，也便于使用，所以在已知函数关系的情况下，作两个变量之间的关系图线时，最好通过适当的变换将某种函数关系的曲线改为线性函数的直线。 例如： ，   与 为线性函数关系，所以选用直角坐标系就可以得直线。 ,若令 ，则得 ， 为线性函数关系，以 作坐标时，在线性直角坐标纸上也是一条直线。 ，取对数,则 为线性函数关系，应选用对数坐标纸，不必对 作对数计算，就能得到一条直线。 ，取自然对数，则 ， 为线性函数关系，应选用半对数坐标纸。 图纸大小的选择，原则上以不损失实验数据的有效位数为原则并能包括所有实验点作为选取图纸大小的最低限度，即图上的最小分格至少应与实验数据中最后一位准确数字相当。 坐标的分度及标记 对于直角坐标系，要以自变量为横轴，以因变量为纵轴。用粗实线在坐标纸上描出坐标轴，标明其所代表的物理量（或符号）及单位，在轴上每隔一定间距标明该物理量的数值。 坐标纸的大小及坐标轴的比例，要根据测得值的有效数字和结果的需要来定。原则上讲，数据中的可靠数字在图中应为可靠的，而最后一位的估读数在图中亦是估计的，即不能因作图而引进额外的误差。 在坐标轴上每隔一定间距应均匀地标出分度值，标记所有有效数字位数应与原始数字的有效位数相同，单位应与坐标轴的单位一致。坐标的分度应以不用计算便能确定各点的坐标为原则，为便于读图通常只用1、2、5、10等进行分度，而不用3、7等进行分度。为了充分利用坐标纸并使图线布局合理，坐标分度不一定从零开始，可以用低于原始数据的某一整数作为坐标分度的起点，用高于测量所得最高值的某一整数作为终点，这样的图线就能充满所选用的整个图纸。 （4）标实验点 要根据所测得的数据，用明确的符号准确地表明实验点，要做到不错不漏。常用的符号表示有“+”“×”“☉”“Δ”等符号标出。 若在同一图纸上画不同图线，标点应该用不同符号，以便区分。同时应在不同的曲线旁边上文字标注，以便识别。还可用不同颜色对不同的曲线加以区分。 （5）连接实验图线 把实验点连接成图线。由于每个实验数据都有一定的误差，所以图线不一定要通过每个实验点。应该按照实验点的总趋势，把实验点连成光滑的曲线（仪表的校正曲线不在此列），使大多数的实验点落在图线上，其他的点在图线两侧均匀分布，这相当于在数据处理中取平均值。对于个别偏离图线很远的点，要重新审核，进行分析后决定是否应剔除。 在确信两物理量之间的关系是线性的，或所有的实验点都在某一直线附近时，将实验点连成一直线。 （6）注解和说明 作完图后，在图的明显位置上标明图名、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者能一目了然，最后要将图粘贴在实验报告上。 图为3.1铜丝电阻与温度之间的关系曲线。 图3.1 铜丝的电阻与温度的关系曲线 4 图解法 4.1图解法的概述 利用已作好的图线，定量地求得待测量或得出经验公式，称为图解法。例如，可以通过图中直线的斜率或截距求得待测量的值；可以通过内插或外推求得待测量的值；还可以通过图线的渐近线，以及通过图线的叠加、相减、相乘、求导、积分、求极值等来得出某些待测量的值。这里主要介绍直线图解法求出斜率或截距，进而得出完整的直线方程，以及插值法求待测量的值。 4.2图解法的步骤 图解法就是根据实验数据作好的图线，用解析法找出相应的函数形式。实验中经常遇到的图线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线。特别是当图线是直线时，采用此方法更为方便。一般步骤如下： （1）选点 在直线上选两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，A、B两点一般不为实验点。为了减小误差，A、B两点应相隔远一些。如果两点太靠近，计算斜率时会使结果的有效数字减少；但也不能超出实验数据的范围以外，因为选这样的点无实验依据。用与表示实验点不同的符号将A、B两点在直线上标出，并在旁边标明其坐标值。 求斜率 将A、B两点的坐标值分别代入直线方程 ，可解得斜率 （4—1） 求截距 如果横坐标的起点为零，则直线的截距可从图中直接读出；如果横坐标的起点不为零，则可用下式计算直线的截距： （4—2） 将求得的k、b的数值代入方程 中，就得到经验公式。 下面介绍用图解法求2个物理量线性的关系，并用直角坐标纸作图验证欧姆定律。给定电阻为R=500Ω，所得数据见表1-2和图1-1。 表1-1验证欧姆定律数据表次序 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.00 I/mA 2.12 4.10 6.05 7.85 9.70 11.83 13.78 16.02 17.86 19.94                       求直线斜率和截距而得出经验公式时， 应注意以下两点。第一，计算点只能从直线上取，不能选用实验点的数据。从图中不难看出，如用实验点a、b来计算斜率，所得结果必然小于直线的斜率。第二，在直线上选取计算点时，应尽量从直线两端取，不应选用两个靠得很近的点。图0-2中如选c、d两点，则因c、d靠得很近，(Iｃ-Iｄ)及(Uｃ-Uｄ)的有效数字位数会比实测得的数据少很多，这样会使斜率k的计算结果不精确。因此必须用直线两端的A、B两点来计算，以保证较多的有效位数和尽可能高的精确度。计算公式为 斜率 = = = 不难看出，将UA-UB取为整数值可使斜率的计算方便得多。 5逐差法 逐差法又称逐差计算法，是对等间隔测量的数据进行逐项或隔项相减来获得实验结果的数据处理方法。它计算简便，既可以验证函数的表达形式，又可以充分利用测量数据，及时发现错误、规律，起到减小随机误差的作用。 当两个变量之间存在线性关系，且自变量为等差级数变化的情况下，常采用逐差法处理一元线性拟合问题。逐差法不像作图法拟合直线那样具有较大的随意性，且比最小二乘法计算简单而结果相近，在物理实验中是常用的数据处理方法。 5.1 逐项逐差 逐项逐差可以验证线性函数。方法是：将对应于各个自变量 的函数值 逐项相减，如果相应的各函数值逐项相减一次都得一常量，即说明 是 的函数。对线性函数的验证如下所述。 当 时，测得 ，令 ，有 对以上各方程逐差一次，得 以上各式中的 是自变量每次的增量，但由于 是等间隔变化的，所以 为一恒量。因此，当各函数值的一次逐差结果都是恒量时，则函数是线性函数。 5.2 隔项逐差 隔项逐差是物理实验中经常采用的数据处理方法之一，该方法一般用于等间隔线性变化的测量中。 根据误差处理，我们知道多次测量的算术平均值是测量的最佳值，为了减小随机误差，在实验过程中测量次数应尽量多。但在等间隔线性变化测量中，如果仍用一般的求平均值的方法，结果将发现只有第一次和最后一次测量值有用，其中间值全部抵消了，这样就无法反映出多次测量能减小随机误差的优点。为保持多次测量的优点，应采用隔项逐差的方法。该方法是：将测得的数据按次序等分为前后两组，将后一组的第一项与前一组的第一项相减，后一组的第二项与前一组的第二项相减……，再利用各项减项的差值求出被测量的算术平均值。 5.3 一次逐差和二次逐差 对多项式实施一次逐差处理，即逐差一次，称为一次逐差。在对多项式进行一次逐差之后，再接着进行第二次逐差处理，即逐差二次，二次逐差要在一次逐差的基础上进行。一次逐差用于线性函数的验证与求值，二次逐差用于二次多项式的验证与求值。现仅对二次逐差作一简单介绍。 当 时，测得 ，则可以推到 其中 为一次逐差结果， 为自变量每次变化值（为恒定值），故若发现二次逐差量为定值时，可说明 是 的二次多项式。 5.4 关于逐差法的说明 (1) 在验证函数表达式的形式时，要用逐项逐差，不用隔项逐差，这些可以检验每个数据点之间的变化是不是符合规律。 (2) 在求某一物理量的算术平均值时，要用隔项逐差，不用逐项逐差；否则只有首位两项数据起作用，中间数据会相互消去而白白浪费。 (3) 一次逐差用于线性函数，二次逐差用于二次多项式。 (4) 在工科物理教学实验中所用到的逐差法，大多为线性函数的求值问题，因此，对一次隔项逐差求算术平均值的方法，应当牢固掌握、熟练运用。 (5) 逐差法只适用于自变量 为等间隔变化而函数 为线性函数或多项式形式的函数。后者需用多次逐差，一般用来验证多项式形式的函数关系 5.5逐差法的局限性 逐差法有其局限性，如非线性函数线性化以后，如果原来各个数据是等精度的，经过函数变换以后可能成为非等精度的，此时用逐差法处理数据就是要考虑这个问题；其次，用逐差法求多项式的系数时，是先得求出最高次项系数，再逐步推其低次项系数，而高次项系数是经n次逐差而得到的，在某些情况下可以较准确，而在许多情况下往往是不太准确的。由于误差的传递，低次项系数的精确度就更差了。因此，逐差法处理数据除一次项逐差法外，较少求低次项系数。 但是，由于逐差法只是需要用简单的代数运算就可以进行计算，其处理方法的物理内涵明确，方法简单易懂。因此，作为基本的实验数据处理方法的训练内容，在基础物理实验中还是一种良好的处理方法。 在拉伸法测量钢丝的杨氏弹性模量实验中，已知望远镜中标尺读数x和加砝码质量m之间满足线性关系m=kx，式中k为比例常数，现要求计算k的数值，见表1-2 表1-2 次序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m/kg 0.500 1.000 1.500 2.000 2.500 3.000 3.500 4.000 4.500 5.000 x/cm 15.95 16.55 17.18 17.80 18.40 19.02 19.63 20.22 20.84 21.47                       如果用逐项相减，然后再计算每增加0.500kg 砝码标尺读数变化的平均值 ，即 = = = = =0.613(cm) 于是比例系数 k= =1.23(cm/kg)=1.23× (m/kg) 这样中间测量值 ， ，…， 全部未用，仅用到了始末2次测量值 和 ，它与一次增加9个砝码的单次测量等价。若改用多项间隔逐差，即将上述数据分成后组( ， ， ， ， )和前组( ， ， ， ， )，然后对应项相减求平均值，即 = = ［(21.47-18.40)＋(20.84-17.80)＋(20.22-17.18)＋(19.63-16.55)＋(19.02-15.95)］ = （3.07＋3.04＋3.04＋3.08＋3.07）=3.06(cm) 于是， k= = =1.22(cm/kg)=1.22× (m/kg) 是每增加5个砝码，标尺读数变化的平均值。这样全部数据都用上，相当于重复测量了5次。应该说，这个计算结果比前面的计算结果要准确些，它保持了多次测量的优点，减少了测量误差。 5最小二乘法(线性回归) 由一组实验数据拟合出一条最佳直线，常用的方法是最小二乘法。设物理量 和 之间的满足线性关系，则函数形式为 最小二乘法就是要用实验数据来确定方程中的待定常数 和 ，即直线的斜率和截距。 + + + + + + 图5-1  的测量偏差 我们讨论最简单的情况，即每个测量值都是等精度的，且假定 和 值中只有 有明显的测量随机误差。如果 和 均有误差，只要把误差相对较小的变量作为 即可。由实验测量得到一组数据为 ，其中 时对应的 。由于测量总是有误差的，我们将这些误差归结为 的测量偏差，并记为 ， ，…， ，见图5-1。这样，将实验数据 代入方程 后，得到 我们要利用上述的方程组来确定 和 ，那么 和 要满足什么要求呢？显然，比较合理的 和 是使 ， ，…， 数值上都比较小。但是，每次测量的误差不会相同，反映在 ， ，…， 大小不一，而且符号也不尽相同。所以只能要求总的偏差最小，即 令                        使 为最小的条件是 ， ， ， 由一阶微商为零得 解得                                      (3) (4) 令 ， ， ， ， ，则 (5) (6) 如果实验是在已知 和 满足线性关系下进行的，那么用上述最小二乘法线性拟合(又称一元线性回归)可解得斜率 和截距 ,从而得出回归方程 。如果实验是要通过对 、 的测量来寻找经验公式，则还应判断由上述一元线性拟合所确定的线性回归方程是否恰当。这可用下列相关系数 来判别 (7) 其中 ， 。 + + + + + + + + + + + + + + 图5-2  相关系数与线性关系长 可以证明， 值总是在 和 之间。 值越接近 ，说明实验数据点密集地分布在所拟合的直线的近旁，用线性函数进行回归是合适的。 表示变量 、 完全线性相关，拟合直线通过全部实验数据点。 值越小线性越差，一般 时可认为两个物理量之间存在较密切的线性关系，此时用最小二乘法直线拟合才有实际意义，见图5-2。