第2章行列式

第2章  行列式（第1讲） 目标与要求 了解行列式的数学背景；掌握二级与三级行列式的对角线计算法； 掌握排列、逆序数、对换的概念及其性质，会计算排列的逆序数； 深刻理解并掌握n级行列式的定义和结构特点； 会用定义式计算简单的行列式（如：三角形行列式）； 重点难点 重点：掌握三级行列式的计算、理解n级行列式的定义与结构特征；掌握各种三角形行列式的计算 ． 难点：排列的性质，逆序数的求法，n级行列式的若干等价定义． 设计安排 适当启发，循序渐进，以n级行列式的归纳定义过程为主线，以介绍n阶行列式定义式的结构特点和应用为重点． 补充例题加深对n级行列式的定义与结构特征的理解． 教学进程见幻灯片部分． 黑板与多媒体讲授相结合． 教学内容 §1  引言 1. 二阶与三阶行列式 考虑含有两个未知量 的线性方程组 . 为求得上述方程组的解，利用加减消元法,得 . 当 时，方程组有唯一解 . 注意到：上式中的分子、分母都是4个数分两对相乘再相减而得．为便于记忆，引进如下记号 并称其为二阶行列式. 二阶行列式(1.1.1)的右端表示式又称为行列式的展开式，可以用所谓对角线法则得到，即 其中实线称为行列式的主对角线，虚线称为行列式的次对角线. 方程组解中的分子可分别写作 , 因此, 当方程组的系数行列式 时，方程组的解可用行列式表示为 . 例1 解二元线性方程组 解 方程组的系数行列式 ，方程组有唯一解.由 得方程组的解 类似地，在利用加减消元法求解含有未知量 的三元线性方程组 的过程中，引进记号 称为三阶行列式. 当方程组的系数行列式 时，方程组有唯一解 ,    式中 是将系数行列式 的第j列换为右端常数项得到的行列式，即 . 式(1.1.3)所确定的三阶行列式可由对角线法则得到，即 －             　＋ 每一条实线上的三个元素乘积带正号，每一条虚线上的三个元素乘积带负号. 所得6项的代数和就是三阶行列式的值.这里aij代表行列式的第i行第j列的 元素 例如  三阶行列式 中，第2行第3列的元素 ，第3行第1列的元素 . 例2 计算三阶行列式 解 由式(1.1.2)，有 例3 解三元线性方程组 解 方程组的系数行列式 , 方程组有唯一解.由 得方程组的解 注意到求解二元、三元线性方程组解的公式(1.1.2)及(1.1.4)的相似特点，我们自然会考虑：对一般的n元线性方程组 是否也有类似于二元、三元线性方程组解的表达形式？如果有，涉及到的n阶行列式的值等于什么？这是本节要讨论的核心问题. 为了给出n阶行列式的定义，首先介绍有关排列的概念与性质. §2. 排列 定义 由自然数1，2，…，n组成的一个有序数组 称为一个n级排列. 显然，n级排列的总数为n!. 例如，由1,2,3组成3级排列总数为3！=6，即 123  132  213  231  312  321 若排列中各数是按照由小到大的自然顺序排列，通常称为标准排列.上述排列中的123是标准排列，而其余排列都或多或少地破坏了自然顺序(较大的数排在较小的数之前)，对此我们有如下定义. 定义 在一个n级排列 中，若两个数的位置与大小顺序相反，称这一对数构成一个逆序；而排列 中逆序的总数称为它的逆序数，记为 . 例如  . 根据定义，可以得到求n级排列 逆序数 的方法： 考虑元素 ，若比 大且排在 前面的元素共有 个，则 和这些元素共构成 个逆序. 因此，排列的逆序数为 . 称逆序数为奇数的排列为奇排列，逆序数为偶数的排列为偶排列. 例1 求下列排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. (1) 53214;    (2) . 解 (1) ,该排列为奇排列； (2) ， 故当 或 时,排列为偶排列；当 或 时,排列为奇排列. 以下给出与排列有关的另一概念. 定义 在一个排列 中，若其中某两数is和it互换位置，其余各数位置不变得到另一排列 ,这种变换称为一个对换，记为 .特别地,相邻两元素的对换称为相邻对换. 例如  排列3421(奇)经(13)对换成为1423(偶)，1423经(42)对换成为1243(奇), 1243经(43)对换成为1234(偶)，即 一般地，有 定理  (1)对换改变排列的奇偶性; (2)任一排列都可经过对换，化为标准排列.（略） §3.  n阶行列式 在给出n阶行列式定义之前,首先观察三阶行列式. 的结构.从展开式可以看出如下特征： 若不考虑正负号，三阶行列式的每一项都是取自不同行、不同列的三个元素的乘积，且元素的行标按自然顺序(从小到大)排列，列标为1,2,3的一个3级排列.因此，一般项可表示为 ； 各项前的正负号规律为 取‘+’号的项，列标排列 为偶排列123，231，312； 取‘-’号的项，列标排列 为奇排列321，213，132. 当行标按自然顺序排好后，每一项的正负号由列标排列 的奇偶性决定.因此，一般项 的符号可表示为 . 三阶行列式的项数，恰好是所有3级排列的个数3！= 6项，且含正、负号的项数正好各半. 于是，三阶行列式可以写成 , 其中 表示对1,2,3三个数的所有排列j1j2j3求和. 显然，二阶行列式 也具有特征 . 类似地，可以给出n阶行列式定义. 定义 将n2个元素排成n行、n列 称为n阶行列式(determinant)，其值等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积 ，并冠以符号 的项的和，即 . 例1 利用定义，计算4阶行列式 . 解 由定义 , 和式中只有当 时, . 所以 . 例2 计算n阶行列式 . 解 由定义 , 和式中只有当 时， . 所以 . 例3 证明上三角行列式 . 证 由定义 , 和式中只有当 时， . 所以 . 该结果表明：上三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积. 类似地，下三角行列式 特别地，对角行列式 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n个元素的顺序可以任意交换.一般地，有 定理 n阶行列式 的项可以写作 . 其中 和 都是 的排列.(证明略) 据此，n阶行列式定义又可表述为 备注 1．强调n阶行列式定义式的结构特点． 2．通过课堂思考练习、评讲达到使学生吸收消化重点内容的目的． 3．该段内容需3学时． 作业布置 课后相应习题． 第2章  行列式（第2讲） 目标与要求 了解结论的论证过程，熟练掌握基本性质及推论的内容和注意事项； 会灵活运用各个基本性质化简和计算n级行列式（3）；在化简计算中领会并归纳常见的解题技巧． 重点难点 重点：基本性质及推论的内涵；根据基本性质化简和计算行列式；常见解法归纳． 难点：基本性质的论证；n级行列式的计算． 设计安排 首先介绍n级行列式的各性质，其次举例演示应用各性质计算行列式的步骤及思路方法，最后归纳其方法和经验．给学生留出时间多做练习． 课堂思考练习、评讲达到使学生吸收消化重点内容的目的． 教学进程见幻灯片部分． 黑板与多媒体讲授相结合． 教学内容 §4  n级行列式的性质 定义 如果将行列式 的行换为同序数的列，得到的新行列式称为 的转置行列式(transpose determinant)，记为 .即若 . 性质1  行列式与它的转置行列式具有相同的值，即 . 证  记 的转置行列式为 ，则 , 由定义1.1.4及式(1.1.5)，有 . 该性质表明，在行列式中行列所处的地位是同等的，即行列式的性质中对“行”成立的性质，对“列”也成立. 因此，下面只讨论有关行列式行的性质. 性质2 互换行列式的两行（列），行列式改变符号，即 通常，以 表示互换行列式的第i行和第j行， 表示互换行列式的第i列和第j列. 推论  若行列式有两行(列)完全相同，则行列式的值为零. 性质3  行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的外面，即 . 证  由定义，有 推论1  若行列式中一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零. 推论2  若行列式有两行（列）元素成比例，则行列式的值为零. 性质4  若行列式的某一行（列）的元素都是两个数的和, 则该行列式等于两个行列式的和，这两个行列式这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余位置的元素不变. 即 §5  行列式计算 定义  由m×n个数 排成的m行、n列的矩形数表 称为m×n矩阵(matrix)．一般用大写字母 等表示，有时为表述矩阵的某些属性，也记为 或 , 其中 称为矩阵的元素． 1.矩阵的初等行变换 定义  对矩阵施行以下三种变换： (1) 互换矩阵任意两行（列）的位置； (2) 用非零数k乘矩阵的某一行（列）元素； (3) 用数k乘矩阵的某行（列）各元素加到另一行（列）对应的元素上； 称为矩阵的初等行（列）变换(elementary row transformation of matrix). 为表述方便，引入记号 表示互换矩阵中第i、j行（列）的变换； 表示用非零数k乘矩阵的第i行（列）的变换； 表示用数k乘矩阵的第j行（列）各元素加到第i行（列）对应的元素上的变换. 例1 设矩阵 , 试对 施行初等变换. 解 对 施行初等行变换，有 , 定义若一个矩阵满足 (1) 元素全为零的行（如果有的话）均位于矩阵的最下方； (2) 自上而下每一行的第一个非零元素的列标严格递增; 称该矩阵为行阶梯形矩阵(row echelon matrix). 例如  是行阶梯形矩阵， 例2 计算三阶行列式 解  例3 计算四阶行列式 解 (2) 该行列式特点是每行（列）元素之和均为6，故将第2~ 4列均加到第1列，得 例4 证明  证 事实上， 例5  计算 阶行列式 解 该行列式的特点是每行元素之和相等，故将第2~ n列均加到第1列，得 . 例6 计算行列式 解 该例中的行列式称为箭形行列式，可简单地用符号∣↖∣代替.其它箭形行列式有：∣↗∣、∣↘∣、∣↙∣，它们都可以用类似的方法化为某种三角形行列式. 备注 所举例题涉及数值型与字母型、三四级与n阶、计算题与证明题；归纳常见的解题方法与技巧． 该段内容需3学时． 作业布置 课后相应习题． 第2章  行列式（第3讲） 目标与要求 掌握余子式、代数余子式的概念和计算方法；深刻理解和掌握行列式按一行（列）展开定理及推论；全面领会代数余子式的特殊性质，会因此逆用展开定理；会灵活运用展开定理辅助计算行列式；牢记范德蒙行列式的结构及其算法． 了解Laplace定理． 重点难点