线性系统稳定性分析

线性系统稳定性分析 1.系统的稳定性： （1） 外部稳定：又称输出稳定，就是系统在干扰取消后，在一定时间内其输出会恢复到原来的稳定输出。输出稳定有时描述为系统的BIBO稳定，即有限的系统输入只能产生有限的系统输出。 （2） 内部稳定：主要针对系统内部状态，反映的是系统内部状态受干扰信号的影响情况。当干扰信号取消后，若系统的内部状态会在一定时间内恢复到原来的平衡状态，则称系统状态稳定。 经典控制论中，研究对象都是高阶微分方程或传递函数描述的单输入单输出（SISO）系统，反映的仅仅是输入与输出的关系，不涉及系统的内部状态，因此经典控制论只讨论系统的输出稳定问题。对于系统内部状态稳定问题，经典控制论中的方法就不好发挥作用了，需要用到Lyapunov稳定性理论。 2.平衡状态：设控制系统齐次状态方程为： ，其中， 为系统的 维状态向量， 是有关状态向量 以及时间 的 维矢量函数， 不一定是线性定常的。如果对所有的 ，状态 总满足： ，则称 为系统的平衡状态。对于一般控制系统，可能没有，也可能有一个或多个平衡状态。系统的状态稳定性是针对系统的平衡状态的，当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。 3. Lyapunov稳定性分析 （1）Lyapunov稳定性定义 设一般控制系统的解为： ，它是与初始时间 及初始状态 有关的，体现系统状态从 出发的一条状态轨迹。设 为系统的一个平衡点，如果给定一个以 为球心， 为半径的 维球域 ，使得从 球域出发的任意一条系统状态轨迹 在 的所有时间内都不会跑出 球域，则称系统的平衡状态 是Lyapunov稳定的。 一般来说， 的大小不但与 有关，而且与系统的初始时间 有关，当 仅与 有关时，称 是一致稳定的平衡状态。 进一步地，如果 不仅是Lyapunov稳定的平衡状态，而且当时间 无限增加时，从 出发的任一条状态轨迹 都最终收敛于球心平衡点 ，那么称 是渐进稳定的。 更近一步地，如果从 即整个系统状态空间的任意一点出发的任意一条状态轨迹 ，当 时都收敛于平衡点 ，那么称 是大范围渐进稳定的。显然此时的 是系统唯一的平衡点。 反之，对于给定的 ，不论 取得多么小，若从 出发的状态轨迹 至少有一条跑出 球域，那么平衡点 是不稳定的。 （2）Lyapunov第一法（间接法） 通过分析系统微分方程的显式解来分析系统的稳定性，对线性定常系统可以直接通过系统的特征根来分析（与经典控制论中的稳定性判别思路基本一致）。 （3）Lyapunov第二法（直接法） 不必求解系统的状态方程，而是通过一个系统的能量函数来直接判断系统的稳定性，不但适用于线性定常系统，而且适用于非线性和时变系统。 实际系统中，往往不容易找出系统的能量函数，于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数 ，作为系统的虚构广义能量函数，根据 的符号性质，可以判断系统的状态稳定性。 设系统的状态方程为： ，其中，为系统的一个平衡状态。如果存在一个正定的标量函数 ,并且具有连续的一阶偏导数，那么根据 的符号性质，有： （1） 若 ，则 不稳定； （2） 若 ，则 Lyapunov稳定； （3） 若 或 ，且当 时 不恒为0，则 渐进稳定； （4） 若 渐进稳定，且当 时 ，则 大范围稳定。 应当指出，上述稳定性判据只是一个充分条件，并不是必要条件。如果给定的 满足上述4个条件之一，那么其结果成立。反之，如果给定的 不满足上述任何一个条件，那么只能说明所选的 对该系统失效，必须重新构造 。 （4）线性定常系统的Lyapunov稳定性分析及系统参数优化 在Lyapunov第二法中，有一类标量函数起着重要的作用，它就是二次型函数。 设 ， 为 阶的实对称矩阵，则 称为二次型。 对于线性定常系统： ，若 为非奇异矩阵，那么是系统的位移平衡状态，其稳定性可通过Lyapunov第二法来分析。 取  ，其中 为正定实对称矩阵，所以 对 有连续偏导数，并且 。 令  （称为Lyapunov方程） 可得：  ，其中 为对称矩阵。若 ，则 ，因此 为渐进稳定，而且是大范围渐进稳定的。 在实际应用中，先给丁一正定矩阵 ，然后通过Lyapunov方程求出对称矩阵 ,最后通过赛尔维斯特准则判别 的正定性。若 ，则系统稳定。 在应用Lyapunov方程时，应注意以下几点： （1） 有Lyapunov方程求得的 为正定是 渐进稳定的充分必要条件。 （2） 的选取是任意的，只要满足对称且正定（一定条件下可以是半正定的）， 的选取不会影响系统稳定性判别的结果。 （3） 如果 沿任意一条轨迹不恒等于零，那么 可以取半正定真，即 。 （4） 当取为单位阵 时，Lyapunov方程变为： ，这是个比较简单的Lyapunov方程。 4. MATLAB/Simulink在Lyapunov稳定性分析中的应用 1.   2. 采用特征值分析法求解Lyapunov方程，运算速度比 快很多。 3. 针对离散系统。