求数列通项公式的方法归纳与训练

求数列通项公式的方法 类型1  解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解. 例1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 变式：1.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式. 2. 已知数列 满足 ， ，求 . 类型2   解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列 满足 ， ，求 . 例3:已知 ， ，求 . 变式: 1已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项   2. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式. 类型3  （其中p，q均为常数， ）. 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列 中， ， ，求 . 变式: 在数列 中，若 ，则该数列的通项 __________ 类型4 （其中p，q均为常数， ）（或 ,其中p，q,  r均为常数）. 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再待定系数法解决. 例5:已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式. 变式 : 已知数列 中， , ，求 . 类型5 递推公式为 （其中p，q均为常数）。 解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为 ,其中s，t满足 例6：已知数列 中 , ，求数列 的通项公式. 例7:已知数列 中， , , ，求 . 变式:  1.已知数列 满足 （I）证明：数列 是等比数列；（II）求数列 的通项公式； 2.已知数列 中， 是其前 项和，并且 ， ⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列； ⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；⑶求数列 的通项公式及前 项和. 类型6 递推公式为 与 的关系式。(或 ) 解法：这种类型一般利用 与 消去 或与 消去 进行求解. 例8：已知数列 前n项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 . 变式: 1.已知数列 中， ,求通项 . 2.已知数列 的前n项和为 ,求通项 . 3.已知数列 的前n项和Sn满足 ,求通项公式 . 4.已知数列 的前n项和Sn=1+2an,求通项公式 .求通项 . 5.已知数列 中, ,求通项 . 6.已知数列 的前n项和满足 ,求通项 . 7.已知 ,求通项 . 8.已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列求数列{an}的通项an 类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列。 例9:设数列 ： ，求 . 例10：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 例11：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 例12： 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 类型8  解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。 例13：已知数列｛ ｝中， ，求数列 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 . 例14：已知数列｛an｝满足： ，求数列｛an｝的通项公式. 变式: 1.若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式. 2.已知数列{ }满足 时， ，求通项公式. 3.若数列｛a ｝中，a =1，a =   n∈N ，求通项a ． 类型10周期型    解法：由递推式计算出前几项，寻找周期 例15：若数列 满足 ，若 ，则 的值为   . 变式: 已知数列 满足 ，则 =    （    ） A．0    B．     C．     D． 求数列通项公式的方法 类型1  解法：把原递推公式转化为 ，利用累加法(逐差相加法)求解. 例1 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：由 得 则 所以数列 的通项公式为 . 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式。 变式：1.已知数列 满足 ，求数列 的通项公式. 解：由 得 则 所以 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ， 进而求出 ，即得数列 的通项公式. 2. 已知数列 满足 ， ，求 . 类型2   解法：把原递推公式转化为 ，利用累乘法(逐商相乘法)求解. 例2:已知数列 满足 ， ，求 。 例3:已知 ， ，求 。 变式:（2004，全国I,理15．）1.已知数列{an}，满足a1=1， (n≥2)，则{an}的通项   解：因为         ① 所以         ② 用②式－①式得 则 故   所以     ③ 由 ， 取n=2，则 =1，代入③得 . 所以， 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出 ，从而可得当 的达式，最后再求出数列 的通项公式. 2. 已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：因为 ，所以 ，则 ，故 所以数列 的通项公式为 评注：本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出 ，即得数列 的通项公式. 类型3  （其中p，q均为常数， ）.解法（待定系数法）：把原递推公式转化为： ，其中 ，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列 中， ， ，求 . 变式:（2006，重庆,文,14）在数列 中，若 ，则该数列的通项 _____ 类型4  （其中p,q均为常数 ）（或 ,其中p,q, r均为常数） 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以 ，得： 引入辅助数列 （其中 ），得： 再待定系数法解决。 例5：已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式。 解： 两边除以 ，得 ，则 ， 故数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得 ， 所以数列 的通项公式为 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式. 变式 : 已知数列 中， , ，求 . 类型5 递推公式为 （其中p，q均为常数）。 解法(待定系数法)：先把原递推公式转化为 其中s，t满足 例6：已知数列 中 ， ，求数列 的通项公式. 例7:已知数列 中， , , ，求 . 变式:  1.已知数列 满足 （I）证明：数列 是等比数列；（II）求数列 的通项公式； 2.已知数列 中， 是其前 项和，并且 ， ⑴设数列 ，求证：数列 是等比数列； ⑵设数列 ，求证：数列 是等差数列；⑶求数列 的通项公式及前 项和. 类型6 递推公式为 与 的关系式.(或 ) 解法：这种类型一般利用 与 消去 或与 消去 进行求解. 例8：已知数列 前n项和 .（1）求 与 的关系；（2）求通项公式 . （2）应用类型4（ （其中p，q均为常数， ））的方法，上式两边同乘以 得： 由 .于是数列 是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 变式: 1.已知数列 中， ,求通项 . 2.已知数列 的前n项和为 ,求通项 . 3.已知数列 的前n项和Sn满足 ,求通项公式 . 4.已知数列 的前n项和Sn=1+2an,求通项公式 .求通项 . 5.已知数列 中, ,求通项 . 6.已知数列 的前n项和满足 ,求通项 . 7.已知 ,求通项 . 8. （2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列{an},其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an   类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令 ，与已知递推式比较，解出 ,从而转化为 是公比为 的等比数列. 例9 : 设数列 ： ，求 . 例10：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设         ④ 将 代入④式，得 ，等式两边消去 ，得 ，两边除以 ，得 代入④式得     ⑤ 由 及⑤式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，以2为公比的等比数列，则 ，故 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式. 例11：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设         ⑥ 将 代入⑥式，得 整理得 。令 ，则 ，代入⑥式得 ⑦ 由 及⑦式， 得 ，则 ， 故数列 是以 为首项，以3为公比的等比数列，因此 ，则 . 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求数列 的通项公式. 例12：已知数列 满足 ，求数列 的通项公式。 解：设   ⑧ 将 代入⑧式，得 ，则 等式两边消去 ，得 ， 解方程组 ，则 ，代入⑧式，得 ⑨ 由 及⑨式，得 则 ，故数列 为以 为首项，以2为公比的等比数列，因此 ，则 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式。 类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为 ，再利用待定系数法求解。 例13：已知数列｛ ｝中， ，求数列 类型9 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 . 例14：已知数列｛an｝满足： ，求数列｛an｝的通项公式. 变式: 1.若数列的递推公式为 ，则求这个数列的通项公式. 2.已知数列{ }满足 时， ，求通项公式. 3.若数列｛a ｝中，a =1，a =   n∈N ，求通项a ． 类型10周期型    解法：由递推式计算出前几项，寻找周期. 例15：若数列 满足 ，若 ，则 的值为   . 变式:（2005，湖南,文，5）已知数列 满足 ，则 =    （    ） A．0    B．     C．     D． 继续阅读