优秀数学建模论文

摘要:层次分析法是美国学者T.L.Satty于20世纪70年代提出了以定性与定量相结合,系统化、层次化分析解决问的方法,简称AHP。传统的层次分析法算法具有构造判断矩阵不容易、计算繁多重复且易出错、一致性调整比较麻烦等缺点。本文利用微软的Excel电子格的强大的函数运算功能,设置了简明易懂的计算表格和步骤,使得判断矩阵的构造、层次单排序和层次总排序的计算以及一致性检验和检验之后对判断矩阵的调整变得十分简单。 关键词:Excel 层次分析法模型 一、层次分析法的基本原理 层次分析法是解决定性事件定量化或定性与定量相结合问题的有力决策分析方法。它主要是将人们的思维过程层次化、,逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理,从而为分析决策提供较具说服力的定量依据。层次分析法不仅可用于确定评价指标体系的权重,而且还可用于直接评价决策问题,对研究对象排序,实施评价排序的评价内容。 用AHP分析问题大体要经过以下七个步骤: ⑴建立层次结构模型; 首先要将所包含的因素分组,每一组作为一个层次,按照最高层、若干有关的中间层和最低层的形式排列起来。对于决策问题,通常可以将其划分成层次结构模型,如图1所示。 其中,最高层:表示解决问题的目的,即应用AHP所要达到的目标。 中间层:它表示采用某种措施和政策来实现预定目标所涉及的中间环节,一般又分为策略层、约束层、层等。 最低层:表示解决问题的措施或政策(即)。 ⑵构造判断矩阵; 设有某层有n个元素,X={Xx1,x2,x3……xn}要比较它们对上一层某一准则(或目标)的影响程度,确定在该层中相对于某一准则所占的比重。(即把n个因素对上层某一目标的影响程度排序。上述比较是两两因素之间进行的比较,比较时取1~9尺度。 用表示第i个因素相对于第j个因素的比较结果,则 A则称为成对比较矩阵 比较尺度:(1~9尺度的含义) 如果数值为2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述两个相邻等级之间。 倒数:若j因素和i因素比较,得到的判断值为 ⑶用和积法或方根法等求得特征向量W(向量W 的分量Wi 即为层次单排序)并计算最大特征根λmax; ⑷计算一致性指标CI、RI、CR 并判断是否具有满意的一致性。其中RI是 其中 平均随机一致性指标RI 的数值: 矩阵阶数3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0.5149 0.8931 1.1185 1.2494 1.3450 1.4200 1.4616 1.49 1.51 CR=CI/RI,一般地当一致性比率CR<0.1时,认为A的不一致程度在容许范围之内,可用其归一化特征向量作为权向量,否则要重新构造成对比较矩阵,对A加以调整。⑸层次总排序,如表1所示。⑹层次总排序一致性检验,如前所述。⑺根据需要进行调整对于层次单排序结果和层次总排序结果,只要符合满意一致性即随机一致性比例CR≤0.10 就可以结束计算并认 同排序结果,否则就要返回调整不符合一致性的判断矩阵。二、层次分析法Excel 模型过程案例:某人欲到苏州、杭州、桂林三地旅游,选择要考虑的因素包括四个方面:景色、费用、居住和饮食,用层次分析法选一个适合自己情况的旅游点。⒈根据题意可以建立层次结构模型如图1所示。⒉Excel实现过程⑴将准则层的各因素对目标层的影响两两比较结果输入Excel 表格中,进行单排序及一致性检验如图2所示。其中:F4=PRODUCT(B4:E4),表示B4、C4、D4、E4各单元格连乘,复制公式至F7单元格。G4=POWER(F4,1/4),表示将F4单元格的值开4次方,复制公式至G7单元格G8=SUM(G4:G7),表示求和H4=G4/$G$8,复制公式至H7单元格I4= B4*H$4+C4*H$5+D4*H$6+E4*H$7,复制公式至I7单元格J4= I4/H4 λmax= AVERAGE(J4:J7)。CI=(J8-4)/(4-1),CR=CI/0.8931=0.0080101<0.1,即通过一致性检验。⑵按同样的方法分别计算出方案层对景色、费用、居住、饮食的判断矩阵及一致性检验,如图3所示。⑶层次总排序,由于苏州数值最高,故选择的旅游地为苏州,如图4所示。其中:C44=K14,G44=$C$43*C44,H48={SUM($C$43:$F$43*C48:F48)},注意:这是一个数组函数需按ctrl+shift+enter三键确定。三、基于Excel的层次分析法模型设计的优势⑴层次分析法Excel 算法以广泛使用的办公软件Excel 作为运算平台,无需掌握深奥的计算机专业知识和术语,有很好的推广应用基础。⑵层次分析法Excel算法的所有计算结果和数据均保留最高位数的精确度,可以不在任何环节进行四舍五入,当然也可以根据需要设置小数位,从而最大限度地减少了误差。⑶层次分析法Excel 算法的计算步骤设计成环环相扣、步步跟踪,步骤设计完毕后,可以按需要填充或变更,其余数据和结果均可以在填充或变更判断矩阵之后立即得出,使得整个运算过程简捷、轻松。另外,相似的矩阵区和计算区可以通过复制完成,只需改动少量单元格。⑷层次分析法Excel 算法将一致性检验也同时计算出来,决策者和判断者可以即时知道自己的判断是否具有满意的一致性并可以随时和简单地进行调整直到符合满意一致性。 ⑸如果一致性指标不能令人满意,用本方法可以比较容易地实现对判断矩阵的调整,可以实现对 判断的“微调”,使得逼近最大程度的“满意一致性”甚至“完全一致性”而又不必进行繁重运算成为可能。