幂函数、指数函数与对数函数练习题及解析

。 7. (2007天津理，5分)函数 的反函数是（  ） A.               B. C.               D. 答案：C；[解析] 原函数过 故反函数过 从而排除A、B、D。 8．（2007天津理，5分）设 均为正数，且 则（  ） A.           B.           C.           D. 答案：A；[解析] 由 可知 ，由 可知 ，由 可知 ，从而 。 9．（2007广东理，5分）已知函数 的定义域为M， 的定义域为N，则M N（  ） A．           B．           C．           D． 答案：C；[解析] 依题意可得函数 的定义域M= = ， 的定义域N= = ，所以M N= = 。 10．（2007山东理，5分）设a {－1，1， ，3}，则使函数y=xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为（  ） A．1，3        B．－1，1        C．－1，3        D．－1，1，3 答案：A；[解析] 观察四种幂函数的图象并结合该函数的性质确定选项。 11．（2007江苏，5分）设函数 定义在实数集上，它的图象关于直线 =1对称，且当 时， = ，则有（    ） A．               B． C．               D． 答案：B；[解析] 当 时， = ，其图象是函数 向下平移一个单位而得到的 时图象部分，如图所示， 又函数 的图象关于直线 =1对称，那么函数 的图象如下图中的实线部分，即函数 在区间 上是单调减少函数， 又 = ，而 ，则有 ，即 ． 12．（2007湖南文、理，5分）函数 的图象和函数 的图象的交点个数是（  ） A．4            B．3            C．2            D．1 答案：B；[解析] 函数 的图象和函数 的图象如下： 根据以上图形，可以判断两函数的图象之间有三个交点。 13．（2007四川文、理，5分）函数 = 与 = 在同一直角坐标系下的图象大致是（  ） 答案：C；[解析] 函数 = 的图象是由函数 的图象向上平移1个单位而得来的；又由于 = = ，则函数 = 的图象是由函数 的图象向右平移1个单位而得来的；故两函数在同一直角坐标系下的图象大致是：C。 14．（2007全国Ⅰ文、理，5分）设 ，函数 = 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，则 =（  ） A．               B．2              C．2             D．4 答案：D；[解析] 由于 ，函数 = 在区间 上的最大值与最小值之差为 ，那么 = ，即 = ，解得 ，即 =4。 15．（2008山东临沂模拟理，5分）若 ，且 ，则 与 之间的大小关系是（  ） A．         B．         C．         D．无法确定 答案：A；[解析] 通过整体性思想，设 ，我们知道当 时，函数 与函数 在区间 上都是减函数，那么函数 在区间 上也是减函数，那么问题就转化为 ，由于函数 在区间 上也是减函数，那么就有 。 16．（2008海南三亚模拟理，5分）函数 的图象大致是（  ） 答案：D；[解析] 函数 可转化为 ，根据解析式可先排除（A），（C），又当 时， ，可排除（B），故选（D）。 二、填空题 17．（2007全国1文、理，5分）函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 ____________。 答案： ；[解析] 函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，则 与函数 互为反函数， 。 18．（2007上海理，5分）函数 的定义域为_________。 答案： ；[解析] ? 。 19．（2007江西理，5分）设函数 ，则其反函数的定义域为_________。 答案：[5，+∞）；[解析] 反函数的定义即为原函数的值域，由x≥3得x-1≥2，所以 ，所以y≥5，反函数的定义域为[5，+∞），填[5，+∞）。 20．（2007上海理，5分）方程 的解是_________。 答案： ；[解析] （舍去）， 。 21．（2007四川理，5分）若函数 （ 是自然对数的底数）的最大值是 ，且 是偶函数，则 ________． 答案：1；[解析] ，设 ，此时 是减函数，则最大值是 ，又 是偶函数，则 ，∴ ． 22．（2008江苏苏州模拟，5分）已知函数 （ 且 ）的图象如图，则函数 的图象可能是________。 答案：D；[解析] 根据函数 的图象可知 ，那么对应函数 的图象是D。 23．（2008江苏南通模拟，5分）设 （ 且 ），若 （ ， ），则 的值等于________。 答案：3；[解析] 由于 = = =1，而 = = =3 =3 24．（2008江苏常州模拟，5分）将函数 的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为________。 答案： ；[解析] 将函数 的图象向左平移一个单位，得到图象C1所对应的解析式为 ；要此基础上，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，则C2的解析式为 。 25．（2008广东汕头模拟理，5分）若函数y=lg（ax2+2x+1）的值域为R，则实数a的取值范围为________。 答案：[0，1]；[解析] 由于函数y=lg（ax2+2x+1）的值域为R （0，+ ） {u（x）| u（x）=ax2+2x+1}，当a=0时，u（x）=2x+1的值域为R，符合题意；当 时，即 时也符合题意。 26．（2008海南海口模拟文、理，5分）若函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则实数k的取值范围是________。 答案： ；[解析] 函数y=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R kx2+4kx+3>0恒成立，当k=0时，3>0恒成立；当 时，即 时也符合题意。 27．（2008江苏无锡模拟，5分）给出下列四个命题： ①函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域相同； ②函数 和 的值域相同； ③函数 与 都是奇函数； ④函数 与 在区间 上都是增函数。 其中正确命题的序号是：__________。（把你认为正确的命题序号都填上） 答案：①、③；[解析] 在①中，函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）的定义域都是R，则结论正确；在②中，函数 的值域为R， 的值域为 ，则结论错误；在③中，函数 与 都是奇函数，则结论正确；在④中，函数 在 上是增函数， 在R上是增函数，则结论错误。 28．（2008江苏连云港模拟，5分）直线 （ ）与函数 、 、 、 的图像依次交于A、B、C、D四点，则这四点从上到下的排列次序是________。 答案：D、C、B、A；[解析] 结合四个指数函数各自的图象特征可知这四点从上到下的排列次序是D、C、B、A。 29．（2008宁夏银行模拟理，5分）若关于 的方程 有实根，则实数 的取值范围是________。 答案：{m| }；[解析] 令 ，则有 ，则可转化 得 ，根据题意，由于 有实根，则 ，解得 。 三、解答题 30．（2008海南大联考模拟文、理）已知lgx+lgy=2lg（x－2y），求 的值。 [] 考虑到对数式去掉对数符号后，要保证x 0，y 0，x－2y 0这些条件成立。假如x=y，则有x－2y=－x 0，这与对数的定义不符，从而导致多解。 解析：因为lgx+lgy=2lg（x－2y），所以xy=（x－2y）2， 即x2－5xy+4y2=0，所以（x－y）（x－4y）=0，解得x=y或x=4y， 又因为x 0，y 0，x－2y 0，所以x=y不符合条件，应舍去， 所以 =4，即 = =4。 31．（2008宁夏大联考模拟理）根据函数 的图象判断：当实数 为何值时，方程 无解？有一解？有两解？ [分析] 可以充分结合指数函数的图象加以判断．可以把这个问题加以转换，将求方程 的解的个数转化为两个函数 与 的图象交点个数去理解。 解析]：函数 的图象可由指数函数 的图象先向下平移一个单位，然后再作 轴下方的部分关于 轴对称图形，如下图所示， 函数 的图象是与 轴平行的直线， 观察两图象的关系可知： 当 时，两函数图象没有公共点，所以方程 无解； 当 或 时，两函数图象只有一个公共点，所以方程 有一解； 当 时，两函数图象有两个公共点，所以方程 有两解． 32．（2008山东淄博模拟理）已知 是方程xlgx=2008的根， 是方程x·10x=2008的根，求 的值． [分析] 观察此题，易看到题中存在 和 ，从而联想到函数 与 ．而 可以看成 和 交点的横坐标，同样 可看成 和 交点的横坐标，若利用函数 与 的对称性，此题便迎刃而解了． 解析：令 ， ，设其交点坐标为 ， 同样令 ，它与 的交点的横坐标为 ， 由于反比例函数关于直线 对称，则有 和 关于直线 对称， 点 即点 应该在函数 上，所以有 =2008． 33．（2008山东泰安模拟文、理）已知实数a、b、c满足2b=a+c，且满足2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1），同时a+b+c=15，求实数a、b、c的值。 [分析] 在解题过程中，遇到求某数的平方根时，一般应求出两个值来，再根据题设条件来决定取舍，如果仅仅取算术平方根，那么往往会出现漏解。 解析： 因为2b=a+c，a+b+c=15，所以3b=15，即b=5， 由于2b=a+c=10，则可设a=5－d，c=5+d， 因为2lg（b－1）=lg（a+1）+lg（c－1）， 所以2lg4=lg（6－d）+lg（4+d），即16=25－（d－1）2，则有（d－1）2=9， 所以d－1= 3，则d=4或d=－2， 所以实数a、b、c的值分别为1，5，9或7，5，3。 34．（2008江苏苏州模拟）已知 。 （1）求 的定义域； （2）判断 的奇偶性； （3）求使 的 的取值范围。 [分析] 根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 解析： （1） ，即 ，等价于 ，得 ， 所以 的定义域是 ； （2） = = ， 所以 ，即 为奇函数； （3）由 ，得 ， 当 时，有 ，解得 ； 当 时，有 ，解得 ； 故当 时， ；当 时， 。 35．（2008江苏盐城模拟，12分）已知函数 。 （1）求函数 的解析式； （2）求 的值； （3）解方程 。 [分析]通过代换，联立对应的方程组，通过消元达到求解函数解析式的目的，从而求得对应的函数值及方程。 解析：（1）由于 ， 上式中，以 代 可得： ，则有 ， 把 代入 可得： ，解得 ； （2）由（1）得 ，则 ； （3）由（1）得 ，则（2）得 ， 则有 ，即 ， 解得 或 ，所以原方程的解为： 或 。 36．（2008广东广州模拟理，12分）已知函数 （ ）。 （1）求 的定义域、值域； （2）判断 的单调性； （3）解不等式 。 [分析]根据对数函数的特征，分析相应的定义域问题，同时结合指数函数的特征，综合分析值域与单调性问题，综合反函数、不等式等相关内容，考察相关的不等式问题。 解析：（1）要使函数 （ ）有意义，则需要满足 ， 即 ，又 ，解得 ，所以所求函数 的定义域为 ； 又 ，即 ，所以所求函数 的值域为 ； （2）令 ，由于 ，则 在 上是减函数， 又 是增函数，所以函数 在 上是减函数； （3）设 ，则 ，所以 ，即 ， 所以函数 的反函数为 ， 由于 ，得 ， 由于 ，则 ，即 ， 所以 ，解得 ， 而函数 的定义域为 ，故原不等式的解集为 。