简化行列式计算的几种方法 常素芹

本科生毕业论文 题  目　简化行列式计算的几种方法    　 姓  名　常 素 芹      　      学  号 201110520202                  院  　系　数 学 系      　      专  业　数学与应用数学  　        指导教师　薛 丽 红        　    2015  年  6 月 教务处制 本科生毕业（论文、创作）声明 本人郑重声明：所呈交的毕业论文，是本人在指导教师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的外，本论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或没有公开发表的作品内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本设计创作声明的法律责任由本人承担。 作者签名： 年    月    日 本人声明：该毕业论文是本人指导学生完成的研究成果，已经审阅过毕业论文的全部内容，保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性，并通过一定检测手段保证毕业设计未发现违背学术道德诚信的不端行为。 指导教师签名： 年    月    日 目录 摘要    2 关键词    2 Abstract.    2 Keywords    2 引言    3 一、常用行列式计算方法引言    3 1.1化三角形法    3 1.2加边法    3 二、行列式的几种特殊计算技巧和方法    4 2.1 拆行（列）法    4 2.2构造法    6 2.3“爪”字型行列式    7 2.4“两线”型行列式    7 2.5“三对角”型行列式    8 2.6 范德蒙行列式    9 三、行列式的计算方法的综合运用    9 3.1降阶法和递推法    9 3.2行列式与多项式的综合计算    10 3.3行列式与矩阵的综合计算    11 3.4 行列式在解线性方程组中应用    12 参考文献    14 摘要:行列式起源于解二、三元线性方程组，它是高等代数中一个基本概念，而行列式的应用早已超过了代数的范围，成为研究数学领域各分支的基本工具，本文主要对行列式的计算方法进行总结归纳，得出与每种计算方法相适应的行列式的特征，并对行列式的应用做一定范围的探讨。 关键词:行列式  技巧  计算方法 Abstract:The determinant originated in the solution of two or three binary linear equations, it is a basic concept in higher algebra, it has already exceeded the column of the application type algebra range, become the basic tools for the study of mathematics branch, the calculation method of the determinant are summarized, the characteristics of the determinant and adapt to each kind of calculation method the study and application of determinant, a certain range. Keywords: Determinant；skill；Calculation method； 引言:行列式是高等代数课程中很重要的一章，在解线性方程组、矩阵及三重坐标变换时都有很重要的作用，鉴于此，我对高代课本上行列式的一些基本解题技巧进行归纳，并且在此基础上有所创新。 作为行列式本身而言，通过它的定义和性质我们可以找到一些基本解题方法，然而通过观察我们发现有很多特殊行列式，对多种形式行列式我们通过加边法、降阶法、拆行法等可以转换为一些常见行列式，这样计算起来简单方便。另外，行列式应用广泛，与数学分析、解析几何等学科有许多交叉点，所以，行列式的运算显得尤为重要。 一、常用行列式计算方法 《高等代数》课本上根据行列式的定义和性质给出一些基本计算方法，如定义法、化三角形法、连加法、降阶法、递推法、加边法、数学归纳法、拉普拉斯展开等，我们下面详细介绍一下化三角形法和加边法，其余方法不再一一赘述。 1.1化三角法 化三角形法：即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式 上三角形行列式的形式如下： ， 下三角形行列式同上三角行行列式 注：能够利用化为三角形法则进行计算的行列式的共同特征是每行(列)有尽可能多的相同的元素.我们利用行列式的性质把某行(列)的倍数加到其它行(列),出现更多的零,进而化为三角形。 1.2加边法 就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法。当然，有的行列式需要升阶两次。 升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果，其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置． 例1 解行列式D= . 解：使行列式D变成 阶行列式，即 = . . 二、行列式的几种特殊计算技巧和方法 2.1 拆行（列）法 拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值，拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和. 例 2 计算行列式 . 解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得 上面第一个行列式的值为1，所以 . 这个式子在对于任何 都成立，因此有 . 2.2构造法 有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值。 例3  求行列式 . 解：虽然 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造 阶的范德蒙德行列式来间接求出 的值． 构造 阶的范德蒙德行列式，得 . 将 按第 列展开，得 ， 其中， 的系数为 . 又根据范德蒙德行列式的结果知 . 由上式可求得 的系数为 . 故有 . 2.3“爪”字型行列式 形如 ， ， ， 这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式。 例4  计算行列式 ，其中 解: . 2.4“两线”型行列式 形如 这样的行列式叫做“两线型”行列式． 对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 例6  求行列式 . 解：按第一列展开，得 . 2.5“三对角”型行列式 形如 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 例7求行列式 . 解：按第一列展开，得 . 变形，得 . 由于 ， 从而利用上述递推公式得 . 故 . 2.6范德蒙行列式 形如 这样的行列式，成为 级的范德蒙德行列式，通过数学归纳法证明，可得 . 例8  求行列式. = = 三、行列式的计算方法的综合运用 有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，且行列式和多项式、行列式与线性方程组、以及行列式与矩阵的综合运用，并行列式在三重积分的计算中都有运用。 3.1降阶法和递推法 例9 计算行列式 . 解：将行列式按第一行展开，得 . 即 . ∴ . ∴ . 3.2行列式与多项式的综合计算 给定一个多项式，求行列式的值，需要多项式与行列式的综合知识且用到行列式计算方法的综合运用 例10设 计算 解：因为 所以 所以 3.3行列式与矩阵的综合计算 设 ，若A可逆，则 若D可逆，则 例11  求 解: 令 3.4 行列式在解线性方程组中应用 在解线性方程组时，我们可根据克莱姆法则，从而求解。 克莱姆法则：设A是 矩阵，线性方程组 ，若 则方程组有唯一解，且有： 其中 为 中第 列换为B，其它各列与 相同的n阶行列式 例11用行列式求方程组中的z值 解：因为 所以由克莱姆法则知 本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧及其应用。通过归纳和总结这些技巧和方法，方便人们计算，在这么多方法面前，需要我们多观察、多思考，然后根据行列式自身的特点选择待定的方法进行计算，这样也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题。 参考文献： [1]北京大学数学系.高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社,2003 [2]张禾瑞,郝炳新.高等代数(M).北京：高等教育出版社,1993 [3]同济大学数学系,线性代数(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2007 [4]钱吉林高等代数题解精粹（第三版）[M].中央民族大学出版社,2013 [5]李志慧,李永明.高等代数中的典型问题与方法(第三版)[M].科学出版社,2012