探索相似三角形的条件

探索三角形相似的条件 课标与教材:　 在学习了相似三角形的基本概念和基本性质等知识后，“探索相似三角形的条件”就呼之欲出了。它既是前面知识的延伸和全等三角形的拓展，又是今后证明线段成比例，求几何图形和研究相似多边形性质的重要工具，尤其是，对于图形相似方法的判定，本套教材是以三角形的相似判定为根基的，因此是本章的重点之一。 学情分析： 学生已经具有形状相同的图形、相似多边形、相似三角形等相应的知识，也经历过三角形全等条件的探索，这些都为本节课的学习奠定了很好的基础;由于学生经历过三角形全等条件的探索、平行四边形判别方法的探索，学生已有初步的经验．但由于学生还不习惯从定义出发来探究相似的条件，加上本节课是通过实验验证的方法得出三角形相似的条件，这在一定程度上增加了学生学习和探究的难度．但是由于学生喜欢学习生动活拨的、有价值的数学，乐于用自己的方式来学习，用自己的头脑来思考。这样也降低了学习本节内容的难度。 教学目标： 掌握三角形相似的判定方法1、 2、3. 会用相似三角形的判定方法1、 2、3来证明及计算. 培养学生的动手能力；训练学生的灵活运用能力. 经历对图形的观察、实验、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，并能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 通过探索相似三角形的判定方法1、2、3,体现数学活动充满着探索性和创造性. 探索三角形相似的条件（一） 教学目标： 学生掌握三角形相似的判定方法（一），会用相似三角形的判定方法（一）来判断及计算；通过学生探索得出相似三角形的判定方法（一），培养他们的动手操作能力, 利用相似三角形的判定方法（一）进行有关判断及计算，训练学生的灵活运用能力; 最终达到发展学生的合情推理能力和培养逻辑推理能力。 教学重点与难点： 重点是三角形相似的判定定理1及应用。 难点是三角形相似的判定方法1的运用。 教学方法和手段： 教学上采用以引导发现法为主，并以讨论法、演示法相结合，设计“实验——观察——讨论”的教学方法，意在帮助学生通过直观情景观察和自己动手实验，从自己的实践中获取知识，并通过讨论来深化对知识的理解。本节课采用了多媒体辅助教学，一方面能够直观、生动地反映图形，增加课堂的容量，同时有利于突出重点、分散难点，增强教学条理性，形象性，更好地提高课堂效率。 使用教材的构想： 为了充分体现《数学新课程纲要》的要求，培养学生的动手实践能力，逻辑推理能力，积累丰富的数学活动经验，这节课主要采用动手实践，自主探索与合作交流的学习方法，使学生积极参与教学过程，在教学过程展开思维，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力，进一步理解观察、类比、分析等数学思想方法 教学： 师：同学们，我们在学习全等三角形的内容时知道，三角对应相等，三边对应相等的两个三角形全等. 你们还记得三角形全等的判定条件吗？ 生1：知道. 有角边角、边角边、边边边、角角边等判定方法. 生2：（补充）如果是直角三角形还有“斜边、直角边”判定方法. 师：以上两位同学回答的很全面. 同学们上节课我们学习了相似三角形的定义，你们能把它口述出来吗？ 生：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形. [点评：情境导入的目的是设疑激趣.这里从学生已有的体验开始，从直观的和容易引起想象的问题出发，让数学背景包含在学生熟悉的事物和相关联的情景之中.] 师：根据这个定义，判定两个三角形相似，要求三个角对应相等，三边对应成比例，这个过程显然较复杂. 请同学们类比一下，我们能不能像判定两个三角形全等的条件那样，用较少的条件去判定两个三角形相似呢？若能，你认为判定两个三角形相似至少需要哪些条件呢？ 生1：（用迟疑的口语）可能是有三角对应相等就满足了吧？ 生2：至少需要有三边对应成比例吧? …… [ 在这里，教师依据学生的心理特点，培养学生的问题意识，不把结论过早的告诉学生，引起学生去发现问题、提出问题、解决问题，做到多问多思，主动参与.] 师：刚才同学们不能作出肯定地回答是很正常的，因为这个内容我们还没学到. 这也就是我们这节课所要探究的问题（板书：探索三角形相似的条件）. 我们首先从角开始探索，请每位同学在准备好的一张纸上，画出一个△ABC，使得∠BAC=600，并与同伴交流一下，你们所画的三角形相似吗？ 生：（通过观察自己和同学画的）不一定相似，因为我们之间画出的一个角对应相等的两个三角形形状明显不相同. 师：那我们由此可得出一个什么样的结论？ 生1：两个三角形中有一个角对应相等，不能作为判定这两个三角形相似的条件. 生2：我认为一个角对应相等的两个三角形不一定相似. [ 这里降低了探索问题的难度，尽量让有不同意见的学生发表见解，这样可以避免不动脑筋被动听课的现象.] 师：通过刚才的操作和探索，我们发现：仅有一个角对应相等不能判定两个三角形相似. 请同桌的两位同学分工，一人画△ABC，使∠A=300，∠B=700，另一人画△ ，使∠ =300，∠ =700，然后比较你们画的两个三角形，∠C与∠ 相等吗？ 生：相等. ∵∠C=1800-300-700=800，∠ =1800-∠ -∠ =1800-300-700=800.  师：请各小组成员合作一下，用刻度尺测量一下各线段的长度，并计算对应边的比 ， ，   的值. 生：（在操作中发现）老师，我们度量的线段的长度的值是近似的，对应边的比值计算出来也是近似值. 师：用刻度尺测量线段长度存在误差是正常的，所以你们小组计算出来的比值也只是近似的其他小组情况如何？ 生：我们的结果与前面小组的结果一样. [ 这里，学生在合作学习交流过程中，通过相互表达与倾听，不仅使自己的想法、思路更好的表现出来，而且还可以了解他人对问题的不同理解，使学生的理解逐步加深.] 师：同学们，你们在计算对应边 ， ，   的值后发现了什么？ 生：经过测量和计算，发现它们这些线段的比是近似相等的. 师：通过刚才探究、合作交流的过程，你们能得出△ABC与△ 相似吗？ 生：能得出△ABC∽△ ，这是因为它们满足三角对应相等，三边对应成比例的条件. 师：这个探索过程得到的结果说明了什么问题？ 生：有两个角对应相等的两个三角形相似. 师：上面的结论是否成立呢？还是按前面的分组：请一位同学再画一个△ABC使∠A=150， ∠B=950，另一位同学画△ ，使∠ =150，∠ =950，画完后再互相比较一下. 生：（学生操作后）同上面的结论一样. [ 这里通过动手操作来验证结论，比较直观和比较形象，既加深了学生对两角对应相等的两个三角相似的结论的理解和记忆，又培养了学生学习数学的兴趣，同时也使学生意识到数学规律的发现离不开验证这一过程.] 师：今天因时间关系，我们不能再继续操作下去，请你们课后把∠A与∠ 、∠B与∠   的度数再改变一下试一试.通过上面的反复操作，发现判定△ABC∽△ 只需要有两个角对应相等即可.从此以后我们可以把这个结论作为判定两个三角形相似的一个条件了. 结合图形可以写成如下的 推理过程(板书)： ∵∠A=∠ ，∠B=∠ ， ∴△ABC∽△ . 下面我们看一组题目，（出示投影，呈现课本P119例题）                                                                                                                                                                                                                                                                                        如图所示：D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥BC. （1）图中有哪些相等的角？ （2）找出图中的相似三角形，并说明理由； （3）写出三组成比例的线段. 生1：（学生思考后请三位学生板演） （1）∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB. 生2：（2）△ADE∽△ABC，理由是： ∵∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB. ∴△ADE∽△ABC.（两角对应相等的两个三角形相似） 生3：（3）∵△ADE∽△ABC， ∴∴ .（相似三角形的对应边成比例） [ 这里教师把教科书作为学生数学学习的素材，引导学生主动的观察、猜测、推理、合作与交流，使学生有机会在对教科书内容的处理过程中获得发展，形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略.] 师：同学们回答的很好. 请再想一想，在上面题目的条件下 吗？ 吗？（以分组讨论形式进行） 生1： 成立，理由是：（学生板演） ∵ ， ∴AB?AE=AD?AC， ∴ . 生2： 也成立，理由是：（板演） ∵ ， ∴∴ ， ∴ . [ 这样安排既让学生在数学活动中体会证明的必要性，又让学生逐步学会证明，从理性上认识有关数学结论的正确性.] 师：这两位同学板演得非常漂亮. 让我们再看一个题目（投影显示）有一个锐角对应相等的两个直角三角形是否相似？为什么？ 生：（探索后）相似. 因为两个直角三角形都有一个角是900，还有一组锐角对应相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似. 师：顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？ 生：也相似. 因为两个三角形的两个顶角相等，因此它们的两个底角也分别相等，根据两个角对应相等的两个三角形相似可以判定它们相似. [以上几个问题体现了对学生说理的教学，培养学生逻辑思维能力.] 师：请看下面的一道题（出示投影）: 如图，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm，梯上点D距墙70cm，BD长55cm，你可以计算出梯子的长度吗？ 生：（思考后）可以，我们先把这个实际问题可以转化成数学问题来研究，这里实际就是研究△ABC∽△ADE，利用相似三角形的定义中体现的性质，就可以求出AB的长，也就是梯子的长. 师：这位同学分析得非常透彻，引起了我们的丰富的想像力，给人以身临其境的感觉，这里真能得到△ABC与△ADE相似吗？ 生：能（请该生演示）. ∵BC⊥AC  DE⊥AC， ∴∠ACB=∠AED=900. 又∠A为公共角， ∴△ABC∽△ADE（两角对应相等的两个三角形相似）.