对勾函数讲解与例题解析

疯狂国际教育（内部） 对勾函数 对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图 一、对勾函数f(x)=ax+ 的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x)=ax与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y= b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） 一般地，我们认为对勾函数是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。 接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。 对勾函数的顶点 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到： 当x>0时，。 当x<0时，。 即对勾函数的定点坐标： 对勾函数的定义域、值域 由（二）得到了对勾函数的顶点坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。 对勾函数的单调性 对勾函数的渐进线 由图像我们不难得到： 对勾函数的奇偶性 ：对勾函数在定义域内是奇函数， 二、均值不等式(基本不等式） 对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的：a+b≥2sqrt(ab）。把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。 三、关于求函数 最小值的解法 1. 均值不等式 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，当且仅当 ，即 的时候不等式取到“=”。 当 的时候， 2. 法 若 的最小值存在，则 必需存在，即 或 （舍） 找到使 时，存在相应的 即可。通过观察当 的时候， 3. 单调性定义 设 EMBED Equation.3 当对于任意的 ，只有 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 ， 此时 单调递增； 当对于任意的 ，只有 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 ， 此时 单调递减。 当 取到最小值， 4. 复合函数的单调性 在 单调递增， 在 单调递减；在 单调递增 又 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 原函数在 上单调递减；在 上单调递增 即当 取到最小值， 四、例解析： 例1、已知函数 ， 练习：2.已知函数 ,求f(x)的最小值,并求此时的x值. 五、重点（窍门） 其实对勾函数的一般形式是： f(x)=ax+b/x(a>0) 定义域为（-∞，0）∪（0,+∞） 值域为（-∞，-2√ab]∪[2√ab,+∞） 当x>0，有x=根号a，有最小值是2根号a 当x<0，有x=-根号a，有最大值是：－2根号a 对勾函数的解析式为y=x+a/x（其中a>0），它的单调性讨论如下： 设x10,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）0，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（-根号a,0）上是减函数 ⑶当00，所以f(x1）-f(x2）>0，即f(x1）>f(x2），所以函数在（0，根号a）上是减函数 ⑷当根号a0,x1x2>0，所以f(x1）-f(x2）<0，即f(x1）0 b>0 a<0 b<0 对勾函数的图像（ab同号） 对勾函数的图像（ab异号） y X O y=ax � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� � EMBED Equation.DSMT4 \* MERGEFORMAT ��� 4 1 _1234567905.unknown _1234567921.unknown _1234567929.unknown _1234567937.unknown _1234567945.unknown _1234567949.unknown _1234567951.unknown _1234567953.unknown _1234567954.unknown _1234567952.unknown _1234567950.unknown _1234567947.unknown _1234567948.unknown _1234567946.unknown _1234567941.unknown _1234567943.unknown _1234567944.unknown _1234567942.unknown _1234567939.unknown _1234567940.unknown _1234567938.unknown _1234567933.unknown _1234567935.unknown _1234567936.unknown _1234567934.unknown _1234567931.unknown _1234567932.unknown _1234567930.unknown _1234567925.unknown _1234567927.unknown _1234567928.unknown _1234567926.unknown _1234567923.unknown _1234567924.unknown _1234567922.unknown _1234567913.unknown _1234567917.unknown _1234567919.unknown _1234567920.unknown _1234567918.unknown _1234567915.unknown _1234567916.unknown _1234567914.unknown _1234567909.unknown _1234567911.unknown _1234567912.unknown _1234567910.unknown _1234567907.unknown _1234567908.unknown _1234567906.unknown _1234567897.unknown _1234567901.unknown _1234567903.unknown _1234567904.unknown _1234567902.unknown _1234567899.unknown _1234567900.unknown _1234567898.unknown _1234567893.unknown _1234567895.unknown _1234567896.unknown _1234567894.unknown _1234567891.unknown _1234567892.unknown _1234567890.unknown