初中函数知识点总结与练习大全

考点一、平面直角坐标系 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。 2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当 时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。 考点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 点P(x,y)在第一象限   点P(x,y)在第二象限 点P(x,y)在第三象限   点P(x,y)在第四象限 2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上 ，x为任意实数 点P(x,y)在y轴上，y 为任意实数 点P(x,y)既在x轴上，又在y 轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上 x与y相等  点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上 x与y互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。  位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数  点P与点p’关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称 横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离  点P(x,y)到坐标轴及原点的距离： （1）点P(x,y)到x轴的距离等于 （2）点P(x,y)到y轴的距离等于 （3）点P(x,y)到原点的距离等于 考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量  在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式  用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 ：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值  （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果 （k，b是常数，k 0），那么y叫做x的一次函数。 特别地，当一次函数 中的b为0时， （k为常数，k 0）。这时，y叫做x的正比例函数。 2、一次函数的图像 ：所有一次函数的图像都是一条直线 3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数 的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数 的图像是经过原点（0，0）的直线。 4、正比例函数的性质，，一般地，正比例函数 有下列性质： （1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 5、一次函数的性质，，一般地，一次函数 有下列性质： （1）当k>0时，y随x的增大而增大  （2）当k<0时，y随x的增大而减小 6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式 （k 0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式 （k 0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。 考点五、反比例函数    1、反比例函数的概念：一般地，函数 （k是常数，k 0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成 的形式。自变量x的取值范围是x 0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。 2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x 0，函数y 0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k>0 k<0 图像 y O x y O x 性质 ①x的取值范围是x 0， y的取值范围是y 0； ②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。 ①x的取值范围是x 0， y的取值范围是y 0； ②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。       4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数 图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PM PN= 。  。 考点六：二次函数 1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数. 2.二次函数 的性质 （1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴. （2）函数 的图像与 的符号关系. ①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 . 3.二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合） 轴的抛物线. 4.二次函数 用配方法可化成： 的形式，其中 . 5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① ；② ；③ ；④ ；⑤ . 6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相等，抛物线的开口大小、形状相同. ②平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 . 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法： ，∴顶点是 ，对称轴是直线 . （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 的形式，得到顶点为( , )，对称轴是直线 . （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线 中， 的作用 （1） 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样. （2） 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线 ，故：① 时，对称轴为 轴；② （即 、 同号）时，对称轴在 轴左侧；③ （即 、 异号）时，对称轴在 轴右侧. （3） 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置. 当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点（0， ）： ① ，抛物线经过原点; ② ,与 轴交于正半轴；③ ,与 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当 时 开口向上 当 时 开口向下 （ 轴） （0,0） （ 轴） (0, ) ( ,0) ( , ) ( )         11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式： .已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般式. （2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式： . 12.直线与抛物线的交点 （1） 轴与抛物线 得交点为(0, ). （2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点( , ). （3）抛物线与 轴的交点 二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标 、 ，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点 抛物线与 轴相交；  ②有一个交点（顶点在 轴上） 抛物线与 轴相切； ③没有交点 抛物线与 轴相离. （4）平行于 轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是 的两个实数根. （5）一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点，由方程组  的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; ②方程组只有一组解时 与 只有一个交点；③方程组无解时 与 没有交点. （6）抛物线与 轴两交点之间的距离：若抛物线 与 轴两交点为 ，由于 、 是方程 的两个根，故 初中数学函数练习大全 （一）1反比例函数、一次函数基础题 （1）下列函数，① ②. ③ ④. ⑤ ⑥ ；其中是y关于x的反比例函数的有：_________________。 （2） 如图，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、C两点， 过点A作AB⊥ 轴于点B，连结BC．则ΔABC的面积等于（  　） A．1  B．2  C．4  D．随 的取值改变而改变． （3）如果 是 的反比例函数， 是 的反比例函数，那么 是 的（  　） A．反比例函数  　B．正比例函数  　 C．一次函数  　 D．反比例或正比例函数 （4）如果 是 的正比例函数， 是 的反比例函数，那么 是 的（    ） （5）如果 是 的正比例函数， 是 的正比例函数，那么 是 的（    ） （6）反比例函数 的图象经过（—2，5）和（ ， ）， 求（1） 的值；（2）判断点B（ ， ）是否在这个函数图象上，并说明理由 （7）已知函数 ，其中 与 成正比例, 与 成反比例，且当 ＝1时， ＝1； ＝3时， ＝5．求：（1）求 关于 的函数解析式；  （2）当 ＝2时， 的值． （8）若反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的值是（　  　） A、 －1或1;  　  B、小于 的任意实数;  C、－1;    　Ｄ、不能确定 （9）已知 ，函数 和函数 在同一坐标系内的图象大致是（      ） D B C D B C A （10）正比例函数 和反比例函数 的图象有          个交点． （11）正比例函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点A（1， ）， 则 ＝        　． （12）下列函数中，当 时， 随 的增大而增大的是（  ） A．   　B．   　C．   　D． ． （13）老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质: 甲:函数的图象经过第二象限;  乙:函数的图象经过第四象限;  丙:在每个象限内,y随x的增大而增大 请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数:      . （14）矩形的面积为6cm2，那么它的长 （cm）与宽 （cm）之间的函数关系用图象表示为（    ） （15）反比例函数y= (k>0)在第一象限内的图象如图,点M(x,y)是图象上一点,MP垂直x轴于点P, MQ垂直y轴于点Q；① 如果矩形OPMQ的面积为2，则k=_________; ② 如果△MOP的面积=____________. （一）2反比例函数、一次函数提高题 1、函数 和函数 的图象有          个交点； 2、反比例函数 的图象经过（－ ，5）点、（ ）及（ ）点， 则 ＝          ， ＝          ， ＝          ； 3、已知 -2与 成反比例，当 =3时， =1，则 与 间的函数关系式为           ； 4、已知正比例函数 与反比例函数 的图象都过A（ ，1），则 ＝    ，正比例函数与反比例函数的解析式分别是           、          ； 6、 是 关于 的反比例函数，且图象在第二、四象限，则 的值为          ； 7、若 与－3 成反比例， 与 成正比例，则 是 的（  　） A、 正比例函数  B、 反比例函数  C、 一次函数    D、 不能确定 8、若反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的值是（　  　） A、 －1或1  　  B、小于 的任意实数  C、  －1    　Ｄ、 不能确定 10、在同一直角坐标平面内，如果直线 与双曲线 没有交点，那么 和 的关系一定是（    ） A 、 <0， >0    B 、 >0， <0    C 、 、 同号D 、 、 异号 11、已知反比例函数 的图象上有两点A( ， )，B( ， )，且 ，则 的值是（      ） A、正数    B、    负数    C、  非正数    D、  不能确定 12、在同一坐标系中，函数 和 的图象大致是  （      ） A              B                C                    D 13、已知直线 与反比例函数 的图象交于AB两点,且点A的纵坐标为-1,点B的横坐标为2,求这两个函数的解析式. 14、已知函数 ，其中 成正比例, 成反比例,且当 25、（8分）已知,正比例函数 图象上的点的横坐标与纵坐标互为相反数,反比例函数 在每一象限内 的增大而减小,一次函数 过点 . （1）求 的值. （2）求一次函数和反比例函数的解析式. （二）1二次函数基础题 1、若函数y＝ 是二次函数，则     。 2、二次函数开口向上，过点（1，3），请你写出一个满足条件的函数        。 3、二次函数y＝x +x-6的图象： 1）与 轴的交点坐标      ；            2）与x轴的交点坐标        ； 3）当x取        时， ＜0；          4）当x取        时， ＞0。 4、把函数y＝ 配成顶点式                  ；顶点      ， 对称轴        ，当x取    时，函数y有最________值是_____。 5、函数y＝x - x+8的顶点在x轴上，则 =          。 6、抛物线y= x2 ①左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的解析式是          ， 顶点坐标            。②抛物线y= x2向右移3个单位得解析式是              7、如果点（ ，1）在y＝ +2上，则             。 8、函数y= x   对称轴是_______,顶点坐标是_______。 9、函数y= 对称轴是______,顶点坐标____，当   时 随 的增大而减少。 10、函数y＝x 的图象与x轴的交点有     个，且交点坐标是          _。 11、①y＝x ） ②y＝ ③ ④y= 二次函数有  个。15、二次函数 过 与（2， ）求解析式。 12画函数 的图象，利用图象回答问题。 1 求方程 的解；② 取什么时， ＞0。 13、把二次函数y=2x x+4；1）配成y＝ (x- ) + 的形式，(2)画出这个函数的图象；(3)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标． （二）2二次函数中等题 1．当 时，二次函数 的值是4，则     ． 2．二次函数 经过点（2，0），则当 时，       ． 3．矩形周长为16cm，它的一边长为 cm，面积为 cm2，则 与 之间函数关系式为    　． 4．一个正方形的面积为16cm2，当把边长增加 cm时，正方形面积增加 cm2，则 关于 的函数解析式为          　． 5．二次函数 的图象是    　，其开口方向由________来确定． 6．与抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为          　。 7．抛物线 向上平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为            。 8．一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线 相同，这个函数解析式为                。 9.二次函数 与x轴的交点个数是（   ）A．0             B．1             C．2            D． 10．把 配方成 的形式为：         ． 11．如果抛物线 与 轴有交点，则 的取值范围是      ． 12．方程 的两根为－3，1，则抛物线 的对称轴是      　。 13．已知直线 与两个坐标轴的交点是A、B，把 平移后经过A、B两点，则平移后的二次函数解析式为____________________ 14．二次函数 ， ∵ __________，∴函数图象与 轴有_______个交点。 15．二次函数 的顶点坐标是      ；当 _______时， 随 增大而增大；当 _________时, 随 增大而减小。 16．二次函数 ，则图象顶点坐标为____________，当 __________时， ． 17．抛物线 的顶点在 轴上，则a、b、c中  　＝0． 18．如图是 的图象，则   　0；   　0； 9．填表指出下列函数的各个特征。 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大或　最小值 与 轴的 交点坐标 与 轴有无交点和交点坐标                                                                                                               （二）2二次函数提高题 1． 是二次函数，则 的值为（      ） A．0或－3        B．0或3            C．0            D．－3 2．已知二次函数 与 轴的一个交点A（－2，0），则 值为（    ） A．2    B．－1    C．2或－1    D．任何实数 3．与 形状相同的抛物线解析式为（      ） A．         B．         C．         D． 4．关于二次函数 ，下列说法中正确的是（      ） A．若 ，则 随 增大而增大          B． 时， 随 增大而增大。 C． 时， 随 增大而增大      　    D．若 ，则 有最小值． 5．函数 经过的象限是（      ） A．第一、二、三象限    B．第一、二象限    C．第三、四象限    D．第一、二、四象限 6．已知抛物线 ，当 时，它的图象经过（  　） A．第一、二、三象限 　 B．第一、二、四象限　 C．第一、三、四象限　 D．第一、二、三、四象限 7． 可由下列哪个函数的图象向右平移1个单位，下平移2个单位得到（  ） A、     B．     C．     D． 8．对 的叙述正确的是（      ） A．当 ＝1时， 最大值＝2           B．当 ＝1时， 最大值＝8 C．当 ＝－1时， 最大值＝8            D．当 ＝－1时， 最大值＝2 9．根据下列条件求 关于 的二次函数的解析式： （1） 当 ＝1时， ＝0； ＝0时， ＝－2； ＝2 时， ＝3． （2） 图象过点（0，－2）、（1，2），且对称轴为直线 ＝ ． （3） 图象经过（0，1）、（1，0）、（3，0）． （4） 当 ＝3时，y最小值＝－1，且图象过（0，7）． （5） 抛物线顶点坐标为（－1，－2），且过点（1，10）． 10．二次函数 的图象过点（1，0）、（0，3），对称轴 ＝－1． ①求函数解析式； 2 图象与 轴交于A、B（A在B左侧），与y轴交于C，顶点为D，求四边形ABCD的面积． 11． 若二次函数 的图象经过原点，求： ①二次函数的解析式；  ②它的图象与 轴交点O、A及顶点C所组成的△OAC面积 12、抛物线 与 的形状相同，而开口方向相反，则 =（      ） （A）       （B）           （C）             （D） 13．与抛物线 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（    ） A．     B．   C．     D． 14．二次函数 的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（    ） A． ＝4      B. ＝3      C. ＝－5        D. ＝－1。 15．抛物线 的图象过原点，则 为（    ） A．0            B．1              C．－1              D．±1 16．把二次函数 配方成顶点式为（    ） A．     B．     C．         D． 17．二次函数 的图象如图所示，则 ， ， ， 这四个式子中， 值为正数的有（    ）A．4个            B．3个            C．2个        D．1个 18．直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（    ）A.(0，0)      B.(1，－2)        C.(0，－1)    D.(－2，1) 19．函数 的图象与 轴有交点，则 的取值范围是（    ） A．     B．     C．           D． 20．已知反比例函数 的图象如右图所示，则二次函数 的图象大致为（  ） D． C． B． A． 21、若抛物线 的开口向下，顶点是（1，3）， 随 的增大而减小，则 的取值范围是（    ）（A）         （B）       （C）       (D) 22．已知抛物线 ，请回答以下问题： ⑴　它的开口向        ，对称轴是直线          ，顶点坐标为          ； ⑵　图象与 轴的交点为                ，与 轴的交点为          。 23．抛物线 过第二、三、四象限，则   0，   0，   0． 24．抛物线 可由抛物线 向    平移    个单位得到． 25．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为                    ． 26．对称轴是 轴且过点A（1，3）、点B（－2，－6）的抛物线的解析式为                    ． 27.已知二次函数 ，则当     时，其最大值为0． 28．二次函数 的值永远为负值的条件是     0，     0． 29．已知抛物线 与 轴的交点都在原点的右侧，则点M（ ）在第    象限．                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    30．已知抛物线 与 轴交于点A，与 轴的正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则 =      ， =      ． 班级 姓名 31、已知二次函数 的图象经过点（1，0）和（-5，0）两点，顶点纵坐标为 ，求这个二次函数的解析式。