18-19 第1章 1.2 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)

1.2　导数的计算 1.2.1　几个常用函数的导数 1.2.2　基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 学习目标：1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝ ，y＝ 的导数．(难点)2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)3.能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q*) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝ (a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x f(x)＝     2．导数的运算法则 (1)和差的导数 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)积的导数 ①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ②[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)商的导数 ′＝ (g(x)≠0)． [基础自测] 1．思考辨析 (1)若y＝e2，则y′＝e2.(  ) (2)若y＝ ，则y′＝ .(  ) (3)若y＝ln x，则y′＝ .(  ) (4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．(  ) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于(  ) A．   　    B．10  　 C．10ln 10  　    D． C　[∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.] 3．(1) ′＝________；(2)(xex)′＝________. 【导学号：31062021】 [答案]　(1) ′＝ ＝ ； (2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex. [合 作 探 究·攻 重 难] 利用导数公式求函数的导数     　求下列函数的导数. 【导学号：31062022】 (1)y＝cos ；(2)y＝ ；(3)y＝ ； (4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos . [解]　(1)∵y＝cos ＝ ，∴y′＝0. (2)∵y＝ ＝x－5，∴y′＝－5x－6. (3)∵y＝ ＝ ＝x ，∴y′＝ x . (4)∵y＝lg x，∴y′＝ . (5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5. (6)y＝cos ＝sin x，∴y′＝cos x. [规律方法]　1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. 2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误. 3.要特别注意“ 与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别. [跟踪训练] 下列结论， ①(sin x)′＝cos x；② ′＝x ； ③ (log3x)′＝ ；④(ln x)′＝ . 其中正确的有(  ) A．0个  　    B．1个 C．2个    D．3个 C　[①(sin x)′＝cos x，正确； ② ′＝ ，错误； ③(log3x)′＝ ，错误； ④(ln x)′＝ ，正确； 所以①④正确，故选C.] 利用导数的运算法则求导数     [探究问题] 1．如何求函数y＝tan x的导数？ 提示：y＝tan x＝ ，故y′＝ ＝ ＝ . 2．如何求函数y＝2sin cos 的导数？ 提示：y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x. 　求下列函数的导数． (1)y＝x－2＋x2； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝ ； (4)y＝x2－sin cos . [解]　(1)y′＝2x－2x－3. (2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2. (3)y′＝ . (4)∵y＝x2－sin cos ＝x2－ sin x， ∴y′＝2x－ cos x. 母题探究：1.(变条件)把(4)的函数换成“y＝xtan x”，求其导数． [解]　y′＝(x·tan x)′＝ ′ ＝ ＝ ＝ . 2．(变结论)求函数(3)在点(1,0)处的切线方程． [解]　∵y′|x＝1＝ ， ∴函数y＝ 在点(1,0)处的切线方程为y－0＝ (x－1)，即x－2y－1＝0. [当 堂 达 标·固 双 基] 1．给出下列命题： ①y＝ln 2，则y′＝ ； ②y＝ ，则y′|x＝3＝－ ； ③y＝2x，则y′＝2xln 2； ④y＝log2x，则y′＝ . 其中正确命题的个数为(  ) A．1  　    B．2  　 C．3  　    D．4 C　[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－ ，∴y′|x＝3＝－ ，故②正确；显然③，④正确，故选C.] 2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝ ，则α等于(  ) A．       B．   C．       D． D　[∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝ .] 3．设y＝－2exsin x，则y′等于(  ) 【导学号：31062023】 A．－2excos x    B．－2exsin x C．2exsin x    D．－2ex(sin x＋cos x) D　[∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．] 4．曲线y＝ 在点M(3,3)处的切线方程是________． [解析]　∵y′＝－ ，∴y′|x＝3＝－1， ∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0. [答案]　x＋y－6＝0 5．求下列函数的导数： (1)y＝ ；(2)y＝log2x2－log2x； (3)y＝ ； (4)y＝－2sin . 【导学号：31062024】 [解]　(1)y′＝ ＝ . (2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x， ∴y′＝(log2x)′＝ . (3)法一：y′＝ ′＝ ′cos x＋ (cos x)′＝ ′cos x－ sin x＝－ x－ cos x－ sin x＝－ － sin x＝－ － sin x＝－ . 法二：y′＝ ′＝ ＝ ＝－ ＝－ . (4)∵y＝－2sin ＝2sin ＝2sin cos ＝sin x， ∴y′＝(sin x)′＝cos x．