【2020创新设计一轮复习数学】第七章 第1节 等差数列与等比数列

考试要求　1.理解等差数列、等比数列的概念；2.掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系．第1节　等差数列与等比数列知识梳理1.等差数列的定义(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_______，通常用字母_____表示.(2)等差中项：如果___________________，那么A叫做a与b的等差中项.公差da，A，b成等差数列a1＋(n－1)d3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋____________(n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则_________________.特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则________________.(3)若{an}为等差数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为n2d.(n－m)dak＋al＝am＋anak＋al＝2am5.等比数列的定义 (1)定义：一般地，如果一个数列从第_____项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母_____表示(q≠0). (2)等比中项：如果____________________，那么G叫做a与b的等比中项.公比q2a，G，b成等比数列a1·qn－1na17.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝__________(n，m∈N*).(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则____________.(3)若{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列，公比为qn(当公比q＝－1，n不能取正偶数).am·qn－m[常用结论与易错提醒]1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.4.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.(　　)(2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)(3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)(4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　)解析　(1)若公差d＝0，则通项公式不是n的一次函数.(2)若公差d＝0，则前n项和不是二次函数.(3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.(4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)A.－1 B.0 C.1 D.6解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.答案　B3.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)A.8 B.9 C.10 D.11解析　由题意得，2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10，故选C.答案　C4.(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________. 解析　设等差数列的公差为d，a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝6＋5d＝36，∴d＝6，∴an＝3＋(n－1)·6＝6n－3. 答案　an＝6n－35.(2019·嘉兴检测)各项均为实数的等比数列{an}，若a1＝1，a5＝9，则a3＝________，公比q＝________.6.(2019·北京延庆区模拟)在等差数列{an}中，若a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则数列{an}的公差等于________，其前n项和Sn的最大值为________.答案　－3　57(2)设数列{an}首项为a1，公比为q(q≠1)，答案　(1)B　(2)32规律方法　(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn；等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，q，n，Sn.已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)等差数列的基本量为a1，d；等比数列的基本量为a1，q.在运算过程中，常用基本量去表示未知量和已知量.答案　(1)C　(2)B答案　(1)B　(2)B规律方法　利用等差、等比数列的性质可简化运算.答案　(1)8　(2)－14　4将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列.理由如下：考点四　等差数列最值问题【例4】(1)(一题多解)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)已知等差数列16，14，12，…的前n项和为Sn，且Sn>0，则n的最大值为________.解析　(1)法一　由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质，可得a7＋a8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7>0，a8<0，故n＝7时Sn最大.法二　由S3＝S11，可得3a1＋3d＝11a1＋55d，把a1＝13代入，得d＝－2，故Sn＝13n－n(n－1)＝－n2＋14n.根据二次函数的性质，知当n＝7时Sn最大.(2)等差数列的首项为a1＝16，公差d＝－2， 由Sn>0，即－n2＋17n>0，解得0<n<17，又n∈N*，∴n的最大值为16.答案　(1)C　(2)16规律方法　求等差数列前n项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.答案　(1)B　(2)A