【精选五套高考模拟卷】海南省海口市2019年高考数学模拟试卷(理科)含答案解析

2019年海南省海口市高考数学模拟试卷（理科）　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}，集合B={x|y=lg（x+2）}，则（∁UA）∩B等于（　　）A．（﹣2，）B．（，+∞）C．[﹣2，）D．（﹣2，﹣）2．设复数z1=2﹣i，z2=a+2i（i是虚数单位，a∈R），若x1x2∈R，则a等于（　　）A．1B．﹣1C．4D．﹣43．命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（　　）A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则的值为（　　）A．B．C．2D．175．当双曲线：﹣=1的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（　　）A．±1B．C．D．6．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）A．B．C．D．7．若（x2﹣a）（x+）10的展开式x6的系数为30，则a等于（　　）A．B．C．1D．28．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（　　）A．B．C．D．9．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（　　）A．B．﹣C．D．﹣10．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，点E、F分别在边BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若•=﹣9，则λ的值为（　　）A．2B．3C．4D．511．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，]12．已知曲线f（x）=ke﹣2x在点x=0处的切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，若x1，x2是函数g（x）=f（x）﹣|1nx|的两个零点，则（　　）A．1＜x1x2＜B．＜x1x2＜1C．2＜x1x2＜2D．＜x1x2＜2　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），若P（1＜X≤3）=0.3，则P（X≥5）=　　　　　　．14．执行如图的程序框图，则输出的i=　　　　　　．15．半径为2的球O内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的面积与该四棱柱的侧面积之差是　　　　　　．16．设数列（an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+an+1=（n=1，2，3，…），则S2n+3=　　　　　　．　三、解答题：解答题应写出文字、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA）．（1）求的值；（2）若c=a，求角C的大小．18．汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2B型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．19．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．（1）求证：AC⊥平面ABEF；（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．21．已知函数f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．　请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．（1）求证：EF=EG；（2）求线段MG的长．　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的方程为ρ2（1+sin2θ）=1．（1）求曲线M的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．　[选修4-5：不等式选讲]．24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．　2019年海南省海口市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与解析　一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}，集合B={x|y=lg（x+2）}，则（∁UA）∩B等于（　　）A．（﹣2，）B．（，+∞）C．[﹣2，）D．（﹣2，﹣）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合A、B，求出A在U中的补集∁UA，再计算（∁UA）∩B．【解答】解：全集U=R，集合A={x|7﹣6x≤0}={x|x≥}=[，+∞），集合B={x|y=lg（x+2）}={x|x+2＞0}={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），∴∁UA=（﹣∞，），∴（∁UA）∩B=（﹣2，）．故选：A．　2．设复数z1=2﹣i，z2=a+2i（i是虚数单位，a∈R），若x1x2∈R，则a等于（　　）A．1B．﹣1C．4D．﹣4【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由虚部等于0求得a值．【解答】解：∵z1=2﹣i，z2=a+2i，∴z1z2=（2﹣i）（a+2i）=2a+2+（4﹣a）i，又z1z2∈R，∴4﹣a=0，即a=4．故选：C．　3．命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（　　）A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：取c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x0﹣1﹣lnx0=0，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．【解答】解：命题p：若a＜b，则ac2＜bc2，c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x0﹣1﹣lnx0=0，因此是真命题．则下列命题为真命题的是（￢p）∧q，故选：C．　4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，a2﹣8a5=0，则的值为（　　）A．B．C．2D．17【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2﹣8a5=0，∴=0，解得q=．则===．故选：B．　5．当双曲线：﹣=1的焦距取得最小值时，其渐近线的斜率为（　　）A．±1B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得6﹣2m＞0，即有m＜3，由c2=m2+8+6﹣2m=（m﹣1）2+13，可得m=1取得最小值，由双曲线的渐近线方程，可得渐近线的斜率．【解答】解：由题意可得6﹣2m＞0，即有m＜3，由c2=m2+8+6﹣2m=（m﹣1）2+13，可得当m=1时，焦距2c取得最小值，双曲线的方程为﹣=1，即有渐近线方程为y=±x．渐近线的斜率为±x．故选：B．　6．已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的最小正周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（　　）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣=﹣cos2ωx，∴=，解得：ω=2，∴f（x）=﹣cos4x，∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a），∴cos4a=0，∴4a=kπ+，k∈Z，当k=0时，a的最小值为．故选：D．　7．若（x2﹣a）（x+）10的展开式x6的系数为30，则a等于（　　）A．B．C．1D．2【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意求出（x+）10展开式中含x4项、x6项的系数，得出（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数，再列出方程求出a的值．【解答】解：（x+）10展开式的通项公式为：Tr+1=•x10﹣r•=•x10﹣2r；令10﹣2r=4，解得r=3，所以x4项的系数为；令10﹣2r=6，解得r=2，所以x6项的系数为；所以（x2﹣a）（x+）10的展开式中x6的系数为：﹣a=30，解得a=2．故选：D．　8．一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为（　　）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一个侧面与底面垂直，底面为边长为4的正方形如图：其中PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PE⊥AD，DE=1，AE=3，PE=4，PE⊥底面ABCD，连接CE，BE，在直角三角形PBE中，PB===；在直角三角形PCE中，可得PC===；又PA===5；PD===．几何体最长棱的棱长为．故选：C．　9．若x，y满足，且当z=y﹣x的最小值为﹣12，则k的值为（　　）A．B．﹣C．D．﹣【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据目标是的最小值建立不等式关系进行求解即可．【解答】解：由z=y﹣x得y=x+z，要使z=y﹣x的最小值为﹣12，即y=x﹣12，则不等式对应的区域在y=x﹣12的上方，先作出对应的图象，由得，即C（12，0），同时C（12，0）也在直线kx﹣y+3=0上，则12k+3=0，得k=﹣，故选：D．　10．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，点E、F分别在边BC、DC上，BC=2BE，CD=λCF．若•=﹣9，则λ的值为（　　）A．2B．3C．4D．5【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．由题意可得A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0），D（0，﹣3），运用向量共线的坐标表示和向量的数量积的坐标表示，解方程即可得到所求值．【解答】解：以AC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，建立直角坐标系．由题意菱形ABCD的边长为6，∠ABD=30°，可得A（﹣3，0），B（0，3），C（3，0），D（0，﹣3），BC=2BE，可得E（，），CD=λCF，即有（﹣3，﹣3）=λ（xF﹣3，yF﹣0），可得F（，﹣），由•=﹣9，可得（，）•（，﹣﹣3）=﹣9，即有•+（﹣﹣3）=﹣9，解得λ=3．故选：B．　11．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，]【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知设M（x，﹣），N（x，），代入椭圆方程，得N（b，），由α为直线ON的倾斜角，得cotα=，由此能求出椭圆C的离心率的取值范围．【解答】解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，∴M、N两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN=OP=a，可设M（x，﹣），N（x，），代入椭圆方程得：|x|=b，得N（b，），α为直线ON的倾斜角，tanα==，cotα=，α∈（，]，∴1≤cotα=≤，，∴，∴0＜e=≤．∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，]．故选：A．　12．已知曲线f（x）=ke﹣2x在点x=0处的切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，若x1，x2是函数g（x）=f（x）﹣|1nx|的两个零点，则（　　）A．1＜x1x2＜B．＜x1x2＜1C．2＜x1x2＜2D．＜x1x2＜2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，求得在x=0处的切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得k的值，令g（x）=0，则|lnx|=e﹣2x，作出y=|lnx|和y=e﹣2x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，再结合零点存在定理，可得结论．【解答】解：f（x）=ke﹣2x在的导数为f′（x）=﹣2ke﹣2x，在点x=0处的切线斜率为k=﹣2k，由切线与直线x﹣y﹣1=0垂直，可得﹣2k=﹣1，解得k=，则f（x）=e﹣2x，令g（x）=0，则|lnx|=e﹣2x，作出y=|lnx|和y=e﹣2x的图象，可知恰有两个交点，设零点为x1，x2且|lnx1|＞|lnx2|，0＜x1＜1，x2＞1，故有＞x2，即x1x2＜1．又g（）=﹣＜0，g（1）＞0，∴＜x1＜1，∴x1x2＞，即有＜x1x2＜1．故选：B．　二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知随机变量X服从正态分布N（3，δ2），若P（1＜X≤3）=0.3，则P（X≥5）=　0.2　．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P（X≥5）．【解答】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（3，δ2），∴正态曲线的对称轴是x=3，∵P（1≤X≤3）=0.3，∴P（X≥5）=P（X≤1）=0.5﹣0.3=0.2．故答案为：0.2．　14．执行如图的程序框图，则输出的i=　4　．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=时，满足条件S＜1，退出循环，输出i的值为4．【解答】解：模拟执行程序，可得S=100，i=1第一次执行循环体后，S=20，i=2不满足条件S＜1，再次执行循环体后，S=4，i=3不满足条件S＜1，再次执行循环体后，S=，i=4满足条件S＜1，退出循环，输出i的值为4．故答案为：4．　15．半径为2的球O内有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是　16π﹣16　．【考点】球内接多面体．【分析】设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=16≥2ah，可得正四棱柱的侧面积最大值，即可求出球的表面积与该四棱柱的侧面积之差．【解答】解：设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2+h2=16≥2ah，∴ah≤4，当且仅当h=a=时取等号，∴正四棱柱的侧面积S=4ah≤16，∴该正四棱柱的侧面积最大时，h=2，a=2，∴球的表面积与该四棱柱的侧面积之差是4π•22﹣16=16π﹣16．故答案为：16π﹣16．　16．设数列（an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+an+1=（n=1，2，3，…），则S2n+3=　　．【考点】数列的求和．【分析】通过分组可知S2n+3表示的是以1为首项、为公比的等比数列的前n+2项和，进而计算可得结论．【解答】解：依题意，S2n+3=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+2+a2n+3）=1+++…+=1+++…+==，故答案为：．　三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA）．（1）求的值；（2）若c=a，求角C的大小．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）利用正弦定理将边化角整理化简条件式子，得出sinA和sinB的关系；（2）用a表示b，c，使用余弦定理求出cosC．【解答】解：（1）∵（a﹣3b）cosC=c（3cosB﹣cosA），∴sinAcosC﹣3sinBcosC=3cosBsinC﹣cosAsinC，即sinAcosC+cosAsinC=3cosBsinC+3sinBcosC，∴sin（A+C）=3sin（B+C），即sinB=3sinA，∴=3．（2）∵=3，∴b=3a．∴cosC===．∴C=．　18．汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2B型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5（I）从出租天数为3天的汽车（仅限A，B两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A型车的概率；（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．【考点】离散型随机变量及其分布列；互斥事件的概率加法公式；等可能事件的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）利用古典概型的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天分为以下三种情况：A型车1天B型车3天；A型车B型车都2天；A型车3天B型车1天，利用互斥事件和独立事件的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）从数学期望和方差分析即可得出结论．【解答】解：（I）∵出租天数为3天的汽车A型车有30辆，B型车20辆．从中随机抽取一辆，这辆汽车是A型车的概率约为=0.6．（II）设“事件Ai表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件Bj表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j=1，2，…，7．则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P（A1B3+A2B2+A3B1）=P（A1B3）+P（A2B2）+P（A3B1）=P（A1）P（B3）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B1）==．该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为．（Ⅲ）设X为A型车出租的天数，则X的分布列为 X 1 2 3 4 5 6 7 P 0.05 0.10 0.30 0.35 0.15 0.03 0.02设Y为B型车出租的天数，则Y的分布列为 Y 1 2 3 4 5 6 7 P 0.14 0.20 0.20 0.16 0.15 0.10 0.05E（X）=1×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62．E（Y）=1×0.14+2×0.20+3×0.20+4×0.16+5×0.15+6×0.10+7×0.05=3.48．一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天．从出租天数的数据来看，A型车出租天数的方差大于B型车出租天数的方差，综合分析，选择A类型的出租车更加合理．　19．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=1，BC=2，∠CBA=，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF=，BE=2，AF=3，平面ABCD⊥平面ABEF．（1）求证：AC⊥平面ABEF；（2）求平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明AC⊥平面ABEF；（2）建立空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（1）∵AB=1，BC=2，∠CBA=，∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcos=1+4﹣2×2×1×=3，则AC=，满足BC2=AB2+AC2，即△CAB是直角三角形，则AC⊥AB，∵平面ABCD⊥平面ABEF，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面ABEF；（2）建立以A为坐标原点，AB，AF，AC分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵BE=2，AF=3，∴C（0，0，），B（1，0，0），E（1，2，0），F（0，3，0），D（﹣1，0，），则平面ABCD的一个法向量为=（0，1，0），设平面DEF的一个法向量为=（x，y，z），则=（1.3．﹣），=（﹣1，1，0），则得，令x=，则y=，z=4，即=（，，4），则cos＜，＞===，即平面ABCD与平面DEF所成锐二面角的余弦值是．　20．如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y2=2px（p＞0）的准线l与x轴交于点M，过点M的直线与抛物线交于A，B两点，设A（x1，y1）到准线l的距离d=2λp（λ＞0）（1）若y1=d=3，求抛物线的标准方程；（2）若+λ=，求证：直线AB的斜率的平方为定值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得AF⊥x轴，即有p=3，进而得到抛物线的方程；（2）设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得x的方程，运用判别式大于0和求根公式，运用向量共线的坐标表示，可得2p=x2﹣x1，解方程即可得到所求定值．【解答】解：（1）抛物线y2=2px的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，则|AF|=y1，可得AF⊥x轴，则x1=，即有d=+=3，即p=3，则抛物线的方程为y2=6x；（2）证明：设B（x2，y2），AB：y=k（x+），代入抛物线的方程，可得k2x2+p（k2﹣2）x+=0，由△=p2（k2﹣2）2﹣k4p2＞0，即为k2＜1，x1=，x2=，由d=2λp，可得x1+=2λp，由+λ=，M（﹣，0），可得x1+=λ（x2﹣x1），即有2p=x2﹣x1=，解得k2=．故直线AB的斜率的平方为定值．　21．已知函数f（x）=mlnx﹣x2+2（m∈R）．（Ⅰ）当m=1时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，求证：f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3；（Ⅲ）若m≤8，当x≥1时，恒有f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求出函数的导数，利用f′（x）=0，求出极值点判断函数的单调性，求出单调区间．（Ⅱ）利用f（x）在x=1时取得极大值，求出m，令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，通过函数的导数，求出函数的最值即可．（Ⅲ）令，求出导函数，通过当m≤2时，g′（x）＜0，当2＜m≤8时，求出g（x）取得最大值．然后求解2≤m≤8．…．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，…解f′（x）=0，得．当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．…综上，当m=1时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．…（Ⅱ）若f（x）在x=1时取得极大值，则，则m=2．…此时f（x）=2lnx﹣x2+2，．令g（x）=f（x）﹣f′（x）﹣4x+3，则.．…令g′（x）=0，得x=±1．列表得 x （0，1） 1 （1，+∞） g′（x） + 0 ﹣ g（x） ↗ 极大值 ↘…由上表知，gmax（x）=g（1）=0，所以g（x）≤0，即f（x）﹣f′（x）≤4x﹣3．…（Ⅲ）令…则①．当m≤2时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，所以当x≥1，g（x）≤g（1），故只需g（1）≤0，即﹣1﹣2﹣m+5≤0，即m≥2，所以m=2．…②当2＜m≤8时，解g′（x）=0，得．当时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以当时，g（x）取得最大值．故只需，即，令，则，，所以h′（x）在（1，+∞）上单调递增，又h′（1）=﹣2＜0，h′（4）=ln4﹣1＞0，以∃x0∈（1，4），h′（x0）=0，所以h（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，4）上递增，而h（1）=﹣1﹣4+5=0，h（4）=4ln4﹣4﹣8+5=8ln2﹣7＜0，所以x∈[1，4]上恒有h（x）≤0，所以当2＜m≤8时，．综上所述，2≤m≤8．…　请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点M，点E是CD延长线上一点，AB=10，CD=8，3ED=4OM，EF切圆O于F，BF交CD于点G．（1）求证：EF=EG；（2）求线段MG的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由EF为圆的切线得∠EFG=∠BAF，由垂直关系可知点A、M、G、F四点共圆，从而得∠FGE=∠BAF，所以∠EFG=∠FGE（2）由已知及切线长定理可得，EF=EG=4，从而MG=EM﹣EG=8﹣4．【解答】解：（1）证明：连接AF，OF，则A，F，G，M共圆，∴∠FGE=∠BAF，∵EF⊥OF，∴∠EFG=∠FGE，∴EF=EG，（2）由AB=10，CD=8可得OM=3，∴ED=OM=4，EF2=ED•EC=48，EF=EG=4，连接AD，则∠BAD=∠BFD，∴MG=EM﹣EG═8﹣4．　[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的方程为ρ2（1+sin2θ）=1．（1）求曲线M的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可得出其直角坐标方程；（2）求出直线l的直角坐标方程，联立方程组，根据△=0，得到关于tanα的方程，解出即可．【解答】解：（1）曲线M的方程为ρ2（1+sin2θ）=1，∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴x2+2y2=1；（2）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴y=tanα（x﹣），由，得：x2+2，即（1+2tan2α）x2﹣2tan2αx+5tan2α﹣1=0，若直线l与曲线M只有一个公共点，则△=﹣4（1+2tan2α）（5tan2α﹣1）=0，解得：tanα=±，∴α=或．　[选修4-5：不等式选讲]．24．设函数f（x）=|x﹣a|．（1）当a=2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，+=a（m＞0，n＞0），求证：m+4n≥2+3．【考点】分段函数的应用；基本不等式．【分析】（1）利用绝对值的应用表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=1，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，则不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|等价为|x﹣2|≥7﹣|x﹣1|，即|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x﹣1≥7，即2x≥10，即x≥5，此时x≥5；当1＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x﹣1≥7，即1≥7，此时不等式不成立，此时无解，当x≤1时，不等式等价为﹣x+2﹣x+1≥7，则2x≤﹣4，得x≤﹣2，此时x≤﹣2，综上不等式的解为x≥5或x≤﹣2，即不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）．（2）若f（x）≤1的解集为[0，2]，由|x﹣a|≤1得﹣1+a≤x≤1+a．即得a=1，即+=a=1，（m＞0，n＞0），则m+4n=（m+4n）（+）=1+2++≥3+2=2+3．当且仅当=，即m2=8n2时取等号，故m+4n≥2+3成立．　2019年8月4日数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1.已知集合A={-3,1}，B={},则A.{1}B.(-3,1)C.{-3,1}D.（-3,3）2.A.B.C.D.3.已知，则A.B.C.D.4.是成立的A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5.若某几何体的二视图如图所示，则该几何体的直观图可以是6.我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形，设直角三角形中一个锐角的正切值为3.若在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是A.B.C.D.7.在△ABC中，，若,则向量在方向上的投影是A.4B.-4C.3D.-38.设,则a，b，c的大小关系是A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a9.若函数(a为常数，)的图像关于直线对称，则函数的图像A.关于直线对称B.关于直线对称C.关于点对称D.关于点对称10.三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，若SA=AB=BC=AC=3，则该三棱锥外接球的表面积为A.B.C.D.11.双曲线C:(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,过F1的直线与圆相切,与C的右支交于点A，B，若，则C的离心率为A.B.C.D.12.函数，则满足恒成立的a的取值个数是A.0B.1C.2D.3第II卷（非选择题共90分）注意事项:(1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效。（2）本部分共10个小题，共90分。一、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中含的系数为(用数字作答).14.已知实数满足约束条件，则的最大值为.15.抛物线上的点到(0,2)的距离与到其准线距离之和的最小值是.16.已知锐角△ABC的外接圆的半径为1，，则△ABC面积的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(―)必考题：共60分。17.(本小题满分12分）已知数列{}的前项和为，满足.(I)求证:数列{}是等比数列；(II)设，求数列{}的前项和.18.(本小题满分12分）为了解一款电冰箱的使用时间和市民对这款电冰箱的购买意愿，研究人员对该款电冰箱进行了相应的抽样调査，得到数据的统计图表如下：(I)根据图中数据，估计该款电冰箱使用时间的中位数；(II)完善表中数据，并据此判断是否有99.9%的把握认为“愿意购买该款电冰箱”与“市民年龄”有关；(Ⅲ)用频率估计概率，若在该电冰箱的生产线上随机抽取3台，记其中使用时间不低于4年的电冰箱的台数为，求的期望。19.(本小题满分12分）如图，三棱锥D-ABC中，AB=BC=CD=DA.(I)证明：BD丄AC；(II)若AB=AC，，求直线BC到平面ABD所成角的正弦值。20.(本小题满分12分）已知椭圆C:(a>b>0)四点P1(1,1),P2(0,),P3(),P4()中恰有三点在椭圆C上。（I）求椭圆C的方程；(II)设是椭圆C上的动点，由原点O向圆引两条切线，分别交椭圆于点P,Q，若直线OP,OQ的斜率存在，并记为，试问的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由。21.(本小题满分12分）已知函数.(I)若曲线在点(1，)处的切线与轴交于点(2,0)，求的值；(II)求证：a>时，.(二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，点P(0,-1)，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(I)求曲线C的直角坐标方程；(II)若直线与曲线C相交于不同的两点A,B，M是线段AB的中点，当时，求的值.23.(本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲己知函数.(I)若a=1，解不等式;(II)对任意满足的正实数，若总存在实数使得成立，求实数的取值范围.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.设复数满足，则（）A．B．C．D．23.若，满足则的最大值为（）A．1B．4C．6D．84.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长量尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的，分别为5,2，则输出的为（）A．2B．3C.4D．55.某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4B．8C.D．6.函数的部分图象如图所示，则其解析式可以是（）A．B．C.D．7.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“或作品获得一等奖”；乙说：“作品获得一等奖”；丙说：“，两项作品未获得一等奖”；丁说：“作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A．B．C.D．8.函数图像的一条对称轴为（）A．B．C.D．9.奇函数满足，当时，，则A．-2B．C.D．210.已知，，若，，使得则实数的取值范围是（）A．B．C.D．11.过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，且直线的倾斜角，点在轴上方，则的取值范围是（）A．B．C.D．12.四面体中，，，点是的中点，点在平面的射影恰好为的中点，则该四面体外接球的表面积为（）A．B．C.D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么．14.某公司安排6为员工在元旦假期（1月1日至1月3日）值班，每天安排2人，每人值班一天，则6位员工中甲不在1月1日值班的概率为．15.在中，角的对边分别是，若，则角角的大小为．16.已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率．三、解答题：第17-21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若，求的最小值.18.如图，在三棱锥中，，，为的中点，且为正三角形.（I）求证：平面；（II）若，求二面角的余弦值.19.某二手交易市场对某型号的二手汽车的使用年数（）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据： 使用年数 2 4 6 8 10 销售价格 16 13 9.5 7 4.5（I）试求关于的回归直线方程.（参考公式：，）（II）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元，根据（I）中所求的回归方程，预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？（利润=销售价格-收购价格）20.已知椭圆（）的焦距为2，离心率为，右顶点为.（I）求该椭圆的方程；（II）过点作直线交椭圆于两个不同点，求证：直线，的斜率之和为定值.21.设函数.（I）讨论函数的单调性；（II）当时，，求实数的取值范围.选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立直角坐标系，曲线的方程为.（I）求曲线的直角坐标方程；（II）写出直线与曲线焦点的一个极坐标.23.选修4-5：不等式选讲设函数，其中.（I）当时，求不等式的解集；（II）若不等式的解集为，求的值.试卷答案一、选择题1-5:DCCCD6-10:ABCAA11、12：DA二、填空题13.14.15.60°16.三、解答题17.（I）依题意，有，由是公比为2的等比数列，∴，，，代入上式，得，∴；（II）∴由，又，∴的最小值为100.18.（I）为正三角形，∴，是的中点，∴，∴，∴在中，∴，即，又∴平面，∴，又，∴平面；（II）∵平面，∴就是二面角的平面角设，则，在中，，在中，，在中，∴，即二面角的平面角的余弦值为.19.（I）由表中数据得，，由最小二乘法求得，，∴关于的回归直线方程为；（II）根据题意利润∴当时，利润取得最大值.20.（I）由题意可知，，离心率，求得，则，∴椭圆方程为；（II）当直线的斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入，得，设，，则，，，，又，∴.21.（I）求导得，其中恒成立，令，对称轴，与轴交点横坐标为，，即在和上小于0.在上，∴函数在和上单调递减，在上单调递增；（II）令，令，得，求导得，，令，求导得，当时，，单调递减，故，即，要使在时恒成立，需要，即，此时，故，综上所述，的取值范围是.22.（I）由曲线的方程，可得，即；（II）代入得，，即，从而，交点坐标为，所以交点的一个极坐标为.23.（I）时，，.即；（II）或，又，解集为，此时，.数学高考模拟试卷（理科）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.设集合，，则（）A．B．C．D．2.在复平面内，复数对应的点的坐标为，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知中，，，则的值是（）A．B．C．D．4.设，为的展开式的第一项（为自然对数的底数），，若任取，则满足的概率是（）A．B．C．D．5.函数的图象大致是（）A．B．C．D．6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．7.已知，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．8.执行如下程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．9.如图，设椭圆：的右顶点为，右焦点为，为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，若直线平分线段于，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．10.设函数为定义域为的奇函数，且，当时，，则函数在区间上的所有零点的和为（）A．B．C．D．11.已知函数，其中为函数的导数，求SKIPIF1<0（）A．B．C．D．12.已知直线：，若存在实数使得一条曲线与直线有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于，则称此曲线为直线的“绝对曲线”.下面给出的四条曲线方程：①；②；③；④.其中直线的“绝对曲线”的条数为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知实数，满足，且，则实数的取值范围．14.双曲线的左右焦点分别为、，是双曲线右支上一点，为的内心，交轴于点，若，且，则双曲线的离心率的值为．15.若平面向量，满足，则在方向上投影的最大值是．16.观察下列各式：；；；；……若按上述规律展开后，发现等式右边含有“”这个数，则的值为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17.已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围.18.为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：（1）已知该校有名学生，试估计全校学生中，每天学习不足小时的人数.（2）若从学习时间不少于小时的学生中选取人，设选到的男生人数为，求随机变量的分布列.（3）试比较男生学习时间的方差与女生学习时间方差的大小.（只需写出结论）19.如图所示，四棱锥的底面为矩形，已知，，过底面对角线作与平行的平面交于.（1）试判定点的位置，并加以证明；（2）求二面角的余弦值.20.在平面直角坐标平面中，的两个顶点为，，平面内两点、同时满足：①；②；③.（1）求顶点的轨迹的方程；（2）过点作两条互相垂直的直线，，直线，与的轨迹相交弦分别为，，设弦，的中点分别为，.①求四边形的面积的最小值；②试问：直线是否恒过一个定点？若过定点，请求出该定点，若不过定点，请说明理由.21.已知函数.（1）当，求函数的图象在处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）已知，，均为正实数，且，求证SKIPIF1<0.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.[选修4-4：坐标系与参