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思政说课教案绪论

2021-07-18 25页 doc 1MB 9阅读

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思政说课教案绪论教案2016~2017学年度第一学期课程名称思想道德修养与法律基础教学单位计算机系教研室数学任课教师陈艺华职称助教授课班级2017级各专业锦州师范高等专科学校2016~2017学年度第一学期授课课程:思想道德修养与法律基础授课教师:陈艺华章节绪论-珍惜大学生活开拓新的境界授课班级2017级数学教育1、2班授课时间2017年11月11日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChang...
思政说课教案绪论
2016~2017学年度第一学期课程名称思想道德修养与法律基础教学单位计算机系教研室数学任课教师陈艺华职称助教授课班级2017级各专业锦州师范高等专科学校2016~2017学年度第一学期授课课程:思想道德修养与法律基础授课教师:陈艺华章节绪论-珍惜大学生活开拓新的境界授课班级2017级数学教育1、2班授课时间2017年11月11日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc2学时教学目的1.了解大学生活的特点,了解大学学习的特点和方法;2.了解人际交往的特点,掌握人际交往的原则和艺术。教学重点和难点重点:帮助学生认识大学生活特点,学习方法,构建和谐的人际交往关系难点:如何引导新生尽快适应新环境,确立新目标。教学(具)准备多媒体教学方法视频播放、启发式和研讨教学法教学主要内容一、介绍本门课程的教学内容、学时、考核方式、学习方法二、观看并讨论视频三、大学生活的新变化及适应策略教学过程设计备注一、导入新课视频播放贵州大学校长郑强教授在央视一套《开讲啦》做的一期节目,节目中郑强教授讲述了自己理解中的大学内涵。讨论三个问题:1、大学生活与中学生活相比,有什么变化2、大学生活有哪些新奇和惊喜,又有什么困惑和不适3、大学生活的新变化对大学生提出了哪些新要求二、讲授新课(一)案例分析过渡:通过以上的讲述我们知道了大学生活的特点及与中学生活的不同,面对学习要求、生活环境和社会活动方面的变化,我们是否要进行适应呢能否很好的适应呢适应不好的话,会产生哪些问题呢:案例1:反面案例2:正面案例总结:大学生活常见的不适应现象主要有:学习方法、人际交往、恋爱、心理健康等方面的问题。这些都是属于大学新生的普遍现象。我们要以积极的态度,勇敢地面对这些问题,主动而努力地去调整和适应大学的生活。(二)适应策略(1)提高独立生活能力(2)树立新的学习理念(3)培养优良学风(4)确立成才目标,塑造崭新形象(5)构建和谐的人际关系1)人际交往原则2)人际交往的艺术三、课堂小结1、给同学们推荐大学生必看励志书籍。作业:结合自己的专业和大学学习的特点,制订一份大学学习计划书利用10分钟引入新课,播放视频利用25分钟组织学生讨论发言(启发式教学)5分钟总结讨论10分钟归纳分析大学生活常见的问题35分钟理论讲述新生适应大学生活的基本策略5分钟布置作业和解疑板书设计绪论珍惜大学生活开拓新的境界一、认识大学二、大学生活常见的不适应现象三、适应策略树立新的学习理念构建和谐的人际关系#教学反思#章节复数(二)授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.会求复数的乘幂与方根,掌握共轭复数的公式2.掌握归纳的数学方法,能应用复数理论解决某些数学问题教学重点和难点重点:复数的方根.难点:复数的开方运算.教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法、练习法教学主要内容一、复数的乘幂和方根二、共轭复数三、应用教学过程设计备注一、复习旧知复习复数的三种形式,利用指数式来解决乘幂和方根二、讲授新课复数的乘幂与方根1.乘幂.设,则当时,棣莫弗公式例求用表示的式子提示:利用棣莫弗公式及两复数相等的条件来解决此问题2.方根.解方程,求,设,带入得从而有,则结论:(1)开n次方就有n个根;(2)这n个根为内接于以原点为心,为半径的圆周的正n边形的n个顶点(图1-2).图1-2例解方程步骤:(1)解出并将-8化为三角式或指数式(其中)(2)(3)分别解出三个根共轭复数1.模与辐角的关系:2.常用公式(1)(2)设表示对于复数,…的任一有理运算,则例设是两个复数,试证,并用此不等式证明.证又由于,则两边开平方得.应用例连接的线段的参数方程为连接的直线的参数方程为引申:三点共线的充要条件为(为非0非1实数)三、课堂练习解方程四、课堂小结复数的乘幂和方根的求法,共轭复数的相关公式,三点共线的充要条件五、布置作业P42—3、4;P43—9提问复数的三种形式启发学生寻找复数与其乘幂模和辐角的关系,得出结论学生容易得出错误结论,提示学生思考辐角意义提示解题步骤,由老师学生共同完成熟练灵活地运用这些公式,对化简计算、解答问题都会带来方便提示学生利用共轭复数的相关公式类比求动点轨迹方程,有学生说出第二题的答案师生共同探讨参数为何值(教材上面有错误)学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书1四、复数的乘幂与方根2.方根练习1、乘幂推导过程例题例题板书2五、共轭复数例题六、应用公式例题教学反思章节复平面上的点集复变函数(一)授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.熟悉平面点集基本概念,熟练区分简单闭曲线、光滑曲线和区域2.对复变函数概念有初步了解教学重点和难点重点:区域的概念.难点:复变函数概念的理解.教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、平面点集的几个基本概念二、复变函数的概念教学过程设计备注一、导入新课1.提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有(无)界集概念.2.回忆上节提到的线段、直线等,它们都是复平面的点集,后续课中讲到解析函数,其定义域、值域均为复平面上某点集.二、讲授新课(一)平面点集基本概念1.点集的基本概念(1)的邻域,的去心邻域(2)聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界(3)闭集、开集;有界集、无界集(4)区域、闭域充分理解上述定义,得出以下结论:1)内点必为聚点;2)聚点可能属于E,可能不属于E;3)孤立点必为边界点;4)有边界的不一定是有界集,无边界的必为无界集.例(1)带形区域(图1-3);(2)同心圆环区域(图1-4)图1-3图1-42.若当曲线图1-5非简单曲线图1-6简单曲线图1-7非简单闭曲线图1-8简单闭曲线图1-9光滑曲线图1-10光滑闭曲线(二)复变函数1.定义(图1-11)单值,多值图1-112.代数式,指数式例设有函数试问它把平面上的下列曲线分别变成平面上的何种曲线(1)以原点为心,2为半径,在第一象限例的圆弧;(2)倾角的直线;(3)双曲线.解设,则(1)对应平面的图形为以原点为心,4为半径,在轴上方的半圆周(2)射线(3),故,所以在平面上的像为直线.三、课堂练习设函数(1)(2),分别写成什么形式四、课堂小结若当曲线与区域的概念;复变函数的概念五、布置作业P43—10、11邻域为复数列与极限论的基础此部分内容师生共同讨论完成对于若当曲线,给出图形举例,省去繁琐而抽象的定义赘述对比数学分析中函数的概念,找到异同点解释复变函数的图象需要四维空间,不能形象描述提示学生前两题考虑模与辐角,三题考虑代数关系,师生共同讨论完成学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、平面点集基本概念结论画图解释2、若当曲线与区域画图解释若当曲线例题板书2画图解释区域2、复变函数例题定义两种形式教学反思章节复变函数(二)复球面与无穷远点授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.理解复变函数的性质,会应用极限、连续解决相关问题2.充分理解无穷远点与复球面的概念3.培养学生类比、归纳的能力教学重点和难点重点:复变函数的极限与连续难点:利用极限、连续的语言解决问题教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容1.复变函数的极限与连续2.利用极限、连续的语言证明相关结论3.复球面与无穷远点教学过程设计备注一、复习旧知、导入新课提问:数学分析中函数极限和连续的概念二、讲授新课(一)复变函数的极限与连续1.极限注:指沿四面八方通向的任何路径趋近于.定理的充要条件为,.证由于有,则即,由,有和于是即2.连续例证明在原点无极限,从而在原点不连续.解.设,则=.极限不存在,故在原点不连续例设,则在的某去心邻域内有界.析:要找到某一,使.由知有.在此式中想解出,需要利用绝对值不等式,解出例设,则在的某邻域内恒不为零.析:即证,由有有想证利用绝对值不等式得只需取即可.此题过程由学生完成.(二)复球面与无穷远点1.无穷远点的引入:首节课引例3知球面上点在平面上无对应点,引入无穷远点与之对应,得到扩充复平面,与之对应的球面为复球面.扩充复平面的一个几何模型就是复球面.2.3.相关结论:复平面以点为唯一边界点,扩充复平面以点为内点,且它是唯一无边界区域.三、课堂练习设函数试证:在原点不连续.四、课堂小结复变函数极限和连续的语言,复球面与扩充复平面的概念五、布置作业P44-14、15对比数学分析中的相关定义书上的证明过程比较简洁,不易理解,将详细证明过程板书演示连续满足三点,和实函数相同提问:如果设,可否证明得出相应结论两道例题由教师分析解题思路,证明过程由师生共同完成提问:是否可取其他值只要取都可证明学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、复变函数的极限与连续定理与证明(2)连续定义(1)极限定义例板书2例题例2.复球面与无穷远点(1)复球面、扩充复平面定义(2)邻域、去心邻域(3)结论教学反思章节解析函数的概念与柯西-黎曼方程授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握复变函数的导数与微分的概念2.了解解析函数的概念,掌握判断解析函数的方法3.培养学生类比、归纳的能力教学重点和难点重点:解析函数的判断方法难点:解析函数必要、充要条件定理的证明教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、复变函数的导数与微分二、解析函数及其简单性质三、.方程教学过程设计备注一、导入新课复变函数研究的主要对象为解析函数,它是一类具有某种特性的可为函数,本节我们来研究这类函数和它的性质.二、讲授新课(一)解析函数1.导数2.微分结论:(1)在一点可导可微(2)可微连续例证明在平面处处不可微证,当分别取实数和纯虚数时,极限不同,则极限不存在,从而在平面处处不可微.例求的导数(二)解析函数及其简单性质1.解析函数:在区域内可微,则称为内的解析函数“解析”概念解释:(1)在解析:在的某一邻域内解析;(2)在区域解析:在区域可微;(3)在闭域解析:在包含闭域的区域解析.经过上述解释,可得以下结论:(1)在解析在可微;(2)在区域解析在区域可微2.奇点:不解析点(无定义、不连续、不可导)(三)柯西-黎曼方程1..方程的引出假设是复变函数的一个定义在区域内的函数.当二元实函数给定时,此函数也就完全确定.一般说来,如果函数相互独立,即使函数对所有的偏导数都存在,函数通常仍是不可微的.例如,处处连续,并且对的一切偏导数都存在且连续,但却是一个处处不可微的函数.提出想法:如果函数是可微的,它的实部与虚部应不是独立的,而必须适合一定的条件,下面我们来探讨这种条件。探讨:若在一点可微,则有设,则变为先设,则式变为即再设,则式变为即比较与得出.)上述方程称为柯西—黎曼方程,简称为.方程.2.函数若在一点可微必要条件:在满足.方程.充要条件:①在可微;②在满足.方程.充分条件:①在连续;②在满足.方程.3.函数若在区域解析充要条件:①在区域可微;②在区域满足.方程.充分条件:①在区域连续;②在区域满足.方程.4.求导公式例讨论函数的解析性解,故.又这四个偏导数在平面上处处连续,则只在可微,但在整个平面上处处不解析.例讨论函数的可微性和解析性.解故,要满足.方程,必须,故仅在直线上满足.方程,且偏导数连续,从而仅在直线上可微,但在平面上处处不解析.并且三、课堂练习试证函数在平面上解析,且.四、课堂小结函数在某点可微的必要、充要、充分条件;函数在某区域的充要、充分条件五、布置作业P90—3、4、5、8提问数学分析中导数与微分的概念,类比得出复变函数相关概念例的求导法则和数学分析中一样,由学生完成熟练掌握解析的概念学生分组讨论,完成证明过程,体现师范学生的示范性教师点睛掌握函数解析性的一般方法,由学生总结步骤学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、复变函数的导数与微分2、解析函数及其简单性质(1)导数(1)解析函数(2)微分例例(2)奇点板书23、柯西-黎曼方程(2)函数在某点可微的各条件例(1).方程的引出(3)函数在某区域可微的各条件例教学反思章节初等解析函数授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握指数函数和三角函数的性质,并掌握其与实变函数的异同2.会利用解析函数的性质解决一般复数性问题教学重点和难点重点:指数函数、三角函数的性质.难点:复函与实函相应知识的不同.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、指数函数二、三角函数三、双曲函数教学过程设计备注一、导入新课上节课我们将数学分析中的知识平行推广到复变函数中,本节课我们来研究初等函数在复变函数中的推广,会得到一些性质,其中有与数学分析不同的新性质,利用这些性质我们可以解决一些复数性问题。二、讲授新课(一)指数函数1.定义2.性质(1);(2);(3)以为基本周期,以为周期;(4)无意义;(5)不满足Rolle定理,满足罗比达法则.(二)三角函数1.定义教学设计:由欧拉公式启发学生思考怎样求出和,将以复数代替,便得到正余弦的定义.2.性质(1);(2)是奇函数,是偶函数,并满足三角恒等式;(3)都以为基本周期;(4)的零点为,的零点为;(5)在复数域无界.(三)双曲函数定义双曲正余弦记忆方法:正余弦定义中去掉所有的即可.例求的值解==例,若解由已知有,即,于是所以则.三、课堂练习利用定义证明四、课堂小结指数函数与三角函数的性质,与数分的不同之处五、布置作业P91—10P92-13、14(1)(2)学生回答;(3)给出基本周期和周期的概念,证明由学生完成,强调与数分中不同;(4)举例说明;(5)回忆数分相关知识,Rolle定理和罗比达法则,由学生验证(2)验证和差化积公式之一;(3)由学生讨论并验证;(4)求解有难度,教师板演一个,另一个由学生完成;(5)反例无界,强调与数分中不同双曲函数为选修内容按照正余弦定义解决此类型问题学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、指数函数性质相关证明(1)定义(2)性质2.三角函数(1)定义(2)性格板书2性质相关证明3.双曲函数例例教学反思章节初等多值函数授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.明确对数函数和一般指数函数的概念2.会求一个复数的对数和复指数教学重点和难点重点:复对数的求法.难点:将一般指数函数归为求解复对数.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、对数函数二、一般指数函数教学过程设计备注一、导入新课前几节课我们研究了初等解析函数,它们分别是指数函数、三角函数、双曲函数,这三类函数均为单值函数。本节课介绍两种多值函数——对数函数和一般指数函数.提问:指数函数和三角函数的定义.二、讲授新课(一)对数函数1.定义指数函数的反函数即为对数函数,称为复数的对数,记为2.求解公式推导.设则变为,即,于是有得出对数公式主值问:“负数无对数”在复数域是否成立例例(二)一般指数函数1.定义称为一般指数函数.2.求解方法例(1)(2)三、课堂练习1.求2.解方程(1)(2)(3)(4)3.试求之值.四、课堂小结1.对数函数的求解方法2.一般指数函数的求解方法.五、布置作业P93—20、24找学生回答定义,巩固上节课的内容提示注意区别在设时,让学生思考设代数式还是指数式,学生讨论完成负数也有对数,强调与实变函数的不同之处例由学生完成,并复习主辐角的求法对比高中数学中的对数恒等式,提示注意区别由学生板演,教师点评学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、对数函数练习(1)定义(2)求解公式推导例题板书22.一般指数函数例题练习(1)定义(2)求解方法教学反思章节复积分的概念及其简单性质授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.充分理解复积分的概念2.会求简单的复积分3.培养学生利用已知探索解题方法的自主学习精神教学重点和难点重点:复积分的计算.难点:参数思想.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、复积分的定义二、复积分的计算三、复积分的性质四、积分估值教学过程设计备注一、导入新课复积分是研究解析函数的一个重要工具,积分的概念和数学分析中积分的概念相似。提问:在数学分析中积分是如何定义的分几个步骤求解二、讲授新课(一)复积分的定义1.准备知识(1)周线:逐段光滑的简单闭曲线.(2)方向:“反时针”为正,“顺时针”为负.2.定义设有向曲线以为起点,为终点,沿有定义.顺着从的方向在上取分点:把曲线分成若干个小弧段.在从的每一段弧上任取一点,作和数.当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数的极限存在且等于,则称沿可积,而称为沿的积分,并记为.为积分路径.3.注意(1)若存在,一般不能写成,因为积分和路径有关.(2)可积的必要条件是有界.(二)复积分的计算步骤1.写出积分路径的参数方程.2.代入3.计算此实积分.例计算积分.(1)连接由0到的直线段(2)连接0到1以及1到的直线段所组成的折线.解设点1为,点为(1),(2)(三)复积分的基本性质1.2.3.,由衔接而成4.5.(四)积分估值定理连续,存在使,为之长,则.三、课堂练习证明四、课堂小结复积分的定义,计算方法,基本性质,积分估值五、布置作业P141—1,P142—2(1)(2)定积分的求法:分割,近似求和,取极限周线的概念为第二节做准备由学生回忆数学分析中相应概念,对应着模拟出复积分的概念,教师给予及时让学生考虑如果积分路径是顺时针,结果会怎样例题说明,即使起点终点一样,只要积分路径不同,结果就可能不同将数学分析中的性质平移过来,让学生找出它们的异同学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、复积分定义(3)注意例题(1)准备知识(2)定义2.复积分的计算步骤板书23.复积分的性质例题4.积分估值教学反思章节柯西积分定理授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握柯西积分定理及其3个推广2.培养学生发现和延拓知识的能力教学重点和难点重点:柯西积分定理.难点:定理的证明.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、柯西积分定理二、不定积分三、柯西积分定理的推广教学过程设计备注一、导入新课上节课我们讲到若积分路径不同,积分值也可能不同,本节课我们来研究积分值与积分路径无关的情况.二、讲授新课(一)柯西积分定理1.准备知识(1)单连通区域:在内任意画简单闭曲线,其内部都含于;(2)周线:逐段光滑的简单闭曲线.2.定理(柯西积分定理)设在平面的单连通区域内解析,为内任一周线,则.3.定理(柯西积分定理推广1)设在平面的单连通区域内解析,为内任一闭曲线,则.证如图3-1,可看出曲线总可以看作由有限条周线衔接而成,于是有由定理知柯西积分定理的结论依然成立.图3-1推论在平面的单连通区域内解析,则在内积分与路径无关,即之值不依赖于内连接的曲线.图3-2证是连接任意两曲线(如图3-2),则衔接成内一闭曲线.于是有,移项即得证(二)不定积分1.变上限积分(定点,动点)2.的关系.定理在单连通区域内解析,则在内解析,且.分析证明,即证,即证下式成立.证以为心作一个含于内的小圆,在小圆内取动点,于是又因为减得.根据在内的连续性,对于任给的,只要开始取的那个小圆足够小,则小圆内一切点均符合条件,于是有.即,即.3.不定积分(1)定义如果函数连续,则称符合条件的函数为的一个不定积分或原函数.(2)牛顿-莱布尼茨公式(三)柯西积分定理的推广1.柯西积分定理推广2定理(柯西积分定理等价定理)设是一条周线,为之内部,函数在闭域上解析,则.证(i)由定理推证定理.由定理的假设,函数必在平面上一含的单连通区域内解析,于是由定理就有(ii)由定理推证定理.由定理假设:“函数在单连通区域内解析,为内任一周线”,设为之内部,则必在闭域上解析.于是由定理有.定理(柯西积分定理推广2)设使一条周线,为之内部,则在内解析,在上连续,则.2.柯西积分定理推广3(1)定义考虑条周线,其中中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在的内部.在的内部同时又在外部的点集构成一个有界的连通区域,以为它的边界.在这种情况下,称区域的边界是一条复周线.(图3-3为的情形)图3-3(2)定理(柯西积分定理推广3)设是由复周线所围成的有界连通区域,函数在内解析,在上连续,则有,或写成或写成(式意义为沿外边界积分等于沿内边界积分之和)证取条互不相交且全含在内的光滑弧段作为割线.用它们顺次地与连接.设想将沿割线割破,于是就被分成两个单连通区域(图为的情形),其边界各是一条周线,分别记为.由定理,有.二式相加得.从而有和成立.例设为周线内部一点,则.证以为圆心画圆周,使全含于的内部,则由式有三、课堂练习不用计算,验证下列积分之值为0,其中均为单位圆周(1)(2)(3)(4)四、课堂小结柯西积分定理和它的三个推广五、布置作业P42—5通过上节课的例题让学生猜想积分值和积分路径无关所需条件,教师总结之后得出柯西积分定理教材中未给出证明,教师提示思路,由学生完成类比数学分析相应知识得出证明过程需要用到数学分析的大量知识,由于学生基础不同,采取分层次教学,有兴趣和能力的学生,建议他们尽量掌握证明思路与方法牛顿-莱布尼茨公式是定积分与不定积分的桥梁两个定理互相推证的过程由学生完成,教师给予引导和及时评价定理将定理的条件放宽,条件“在连续”也可以换为“在连续”总结柯西积分定理和它的等价定理,以及三个推广学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、柯西积分定理(3)推广1(1)预备知识(2)柯西积分定理2、不定积分(1)积分上限函数(2)定理及证明板书2定理证明例题(3)牛顿-莱布尼茨公式板书33、柯西积分定理的推广(2)推广2(1)推广1教学反思章节柯西积分公式及其推论授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握柯西积分公式及解析函数的无穷可微性2.利用上述公式的变形式求解周线积分教学重点和难点重点:求解周线积分.难点:柯西积分公式的证明.教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、柯西积分公式及其推论二、解析函数的平均值定理三、解析函数的无穷可微性教学过程设计备注一、导入新课1.柯西积分定理及其推论都分别是什么2.柯西积分定理推广到复周线的形式是什么由以上两个问题导出本节课内容,利用柯西积分定理的复周线形式导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分形式.二、讲授新课(一)柯西积分公式1.柯西积分公式定理设区域的边界为周线,在内解析,在连续,则有证外均解析,以.对于复周线,有于是有只需证即可.而图3-4则有由的连续性.于是不大于.定理得证.2.柯西积分公式的变形式推论注:柯西积分公式中是被积函数在内部的唯一奇点.若在内有两个或两个以上奇点,则不可用此公式.思考题:定理的条件下,若,则的值如何例求解周线积分解为被积函数在内的唯一奇点,则(二)解析函数平均值定理定理若在内解析,在闭圆上连续,则意义:在圆心的值等于它在圆周上的值的算术平均数.例设在上解析,若时.试证:在内至少有一零点.证设在内无零点,而由题设在上也无零点.于是设在闭圆上解析.由解析函数平均值定理.又有题设,.从而有矛盾.故在圆内至少有一个零点.(三)解析函数的无穷可微性1.柯西积分公式的高阶求导公式(1)猜测公式,,,猜测定理在定理条件下,在内有各阶导数,且有例计算,其中是绕一周的周线.解(2)定理的证明①证明情形.即证成立即证,图即证成立.其中.设沿周线,,设为与上点间的最短距离.于是当时.设,则要使之小于.解得,取,于是有②设时结论成立.即,当时,有定理得证.简单证法(按照导数定义证明):4.解析函数的无穷可微性定理设在平面上的区域内解析,则在内具有各阶导数,并且它们在内解析。三、课堂练习(1)(2)四、课堂小结柯西积分公式和高阶导公式五、布置作业P142—9、10此公式在计算周线积分及证明高阶求导公式中有充分应用,让学生给予充分重视.这一步非常重要,将复杂路径简化利用推论可以求周线积分,此处注意强调是C内唯一奇点满足柯西积分定理的条件,积分值是0定理证明关键在设参数方程,并利用柯西积分公式证明,由学生分组讨论完成提示:含“至多”、“至少”字眼时多用反证法.让学生根据形式上求导的结果来猜测高阶导公式重点把握思路,提示用数学归纳法来证明关键找先设定一个=实变函数无此性质学生总结知识点,教师补充板书设计板书11、柯西积分定理证明推论例题板书22解析函数平均值定理3.柯西公式高阶求导公式证明例题例题板书3定理证明4.解析函数的无穷可微性教学反思章节解析函数与调和函数的关系授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握解析函数与调和函数的关系2.会求已知函数作为实(虚)部的解析函数教学重点和难点重点:共轭调和函数的概念.难点:已知调和函数,求以其为实部的解析函数.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、调和函数二、调和函数与解析函数的关系教学过程设计备注一、导入新课上一节我们证明了在内解析的函数具有任何阶导数,因此其实、虚部和都有连续二阶偏导数、本节研究如何选择和才能使在内解析.二、讲授新课(一)调和函数1.探索解析函数的,满足的条件在内解析,则,有由于偏导连续,则,于是有同理即和在内满足拉普拉斯(Laplace)方程.这里是一种运算记号,称为拉普拉斯算子.2.相关定义定义1若在内有二阶连续偏导数,且满足,则称为区域内的调和函数.定义2若在内满足.方程,则称为的共轭调和函数.3.思考题①为的共轭调和函数,,是否可以互换②若为的共轭调和函数,则的共轭调和函数是什么注:任一个二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.(二)解析函数等价定理提问:以前我们学过解析函数的两个等价定理,它们的内容分别是什么定理在内解析的充要条件是的共轭调和函数.练验证是平面上的调和函数例求以为实部的解析函数,使之满足.解.由,两边关于积分得,.由得,于是因此.于是.又得,则三、课堂练习验证在右边平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数.四、课堂小结解析函数的等价条件,已知调和函数求解析函数的步骤.五、布置作业P143—16(1)(2)同理所得结论由学生完成.由调和函数的定义知解析函数的实部和虚部均为调和函数①不可以②上述问题由学生讨论完成第二章内容此为第三个等价定理思考:如果先由.方程另一个先求出,结果是否一样学生分组讨论并结果.学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、调和函数2.解析函数等价定理板书2例题练习题教学反思章节实级数的相关知识授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握实级数的相关概念2.会用比较法、比值法、根值法、莱布尼兹判别法判断级数的敛散性.教学重点和难点重点:判断实级数的敛散性.难点:比较法的推论.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、实级数的基本概念二、实级数敛散性的判别法教学过程设计备注一、导入新课在讲第四章复级数之前,学生应先掌握基本的实级数知识,由于《数学分析》中实级数部分没有讲,所以在讲本章知识之前先学习一下相关知识.二、讲授新课(一)实级数的基本概念1.数项级数2.项部分和(前项和)3.收敛,称为级数的和.发散发散或不存在.4.几个常用结论(1)几何级数当时,级数收敛,当时,级数发散.(2)广义调和级数当时,级数发散,当时,级数收敛.常用发散,收敛.(3)级数收敛(二)判断级数敛散性的方法1.判断正项级数敛散性的方法正项级数,其中为正数(1)比较法①若收敛,则收敛;②若发散,则发散.推论①,则二者有相同的敛散性;②若,且收敛,,则收敛;③若且发散,则发散.(2)比值法(达朗贝尔判别法),①当时,级数收敛;②当时,级数发散.(3)根值法(柯西判别法)①当时,级数收敛;②当时,级数发散.2.判断交错级数的敛散性交错级数莱布尼茨法则若,则交错级数收敛.3.一致收敛函数项级数在收敛于和函数,例判断下列级数的敛散性(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解(1)(2)收敛.(3)(4)(5)由根值法知收敛.(6)由根值法知收敛.(7)由比值法知收敛.(8)比值法发散.(9),由莱布尼茨法则知收敛.三、课堂练习判断级数的敛散性(1)(2)四、课堂小结数项级数敛散性的判别方法对比数学分析相应知识师生共同讨论几何级数的敛散性熟记以上结论,以后会经常应用类比比较法得出推论,师生共同完成当时级数的敛散性无法确定一致收敛部分为大学本科重点,专科选修学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、实级数的基本概念2.实级数敛散性的判别方法板书2练习题教学反思章节复级数的基本性质授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.熟练掌握复数项级数敛散性的判别方法2.明确复函数项级数一致收敛的重要性教学重点和难点重点:复数项级数敛散性的三个判别法.难点:复函数项级数的一致收敛性.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、复数项级数的相关知识和判别法二、一致收敛的复函数项级数三、解析函数项级数教学过程设计备注一、导入新课提问:实正项级数的敛散性判别法.如果将实数域扩大为复数域,得到复数项级数和复函数项级数.二、讲授新课(一)复数项级数1.基本概念(1)(2)若,称级数收敛于,称为级数的和,即.2.判定定理定理级数收敛于定理(柯西准则)级数收敛有注:①级数收敛;②收敛级数的各项必有界;③若级数去掉有限项,不影响其敛散性.定理收敛级数收敛例判断级数的敛散性.解:(二)一致收敛的复函数项级数1.基本概念(1)复函数项级数(2)若复函数项级数的各项在点集E上有定义,且在E上存在一个函数,对于E上的每一点,级数均收敛于,则称为级数的和函数.2.一致收敛(1)对于级数,如果在点集E上有一个函数,使对任给,存在正整数,当时,对一切的均有,则称级数在E上一致收敛于.(2)定理(柯西一致收敛准则)级数在点集E上一致收敛于某函数充要条件是.3.优级数准则若存在正数列,使对一切有且正项级数收敛,则复函数项级数在集E上绝对收敛且一致收敛.例级数1在闭圆上一致收敛.4.一致收敛的应用.定理设级数的各项在点集E上连续,并且一致收敛于,则和函数也在E上连续.定理设级数的各项在曲线上连续,并且在上一致收敛于,则沿可以逐项积分.(三)解析函数项级数(选学)定理设(1)函数在区域D内解析;(2)在D内内闭一致收敛于;则(1)函数在区域D内解析;(2)=;(3)内闭一致收敛于.三、课堂练习证明级数收敛,但非绝对收敛.思路:,利用莱布尼茨法则证明两个交错级数收敛,由判断级数非绝对收敛.四、课堂小结复数项级数敛散性,一致收敛性五、布置作业P178—1(2)(3)回忆数学分析中级数敛散性的判别法,平行推广到复变函数中定理由学生猜测结果并证明,教师给予及时评价由柯西准则得出3点注释,注①的逆否命题可以判断级数发散介绍绝对收敛和条件收敛的概念例较简单,由学生完成解释复函数项级数和复数项级数的联系强调收敛和一致收敛的区别,让学生把握区别和联系.解题关键是摆脱z,找正数列定理和也和数学分析中相应的定理平行.收敛的证明相对简单,学生分组讨论完成,绝对收敛由老师给出证明过程学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、复数项级数的基本概念例判定定理板书22.一致收敛的复函数项级数3.解析函数项级数教学反思章节幂级数授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握幂级数敛散性的判定方法2.会求幂级数的收敛半径教学重点和难点重点:幂级数收敛半径的求法.难点:阿贝尔定理的证明.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、幂级数的敛散性二、收敛半径的求法教学过程设计备注一、导入新课幂级数是最特殊的数项级数,相对比与数学分析中的幂级数,相应的知识可以平移过来.二、讲授新课(一)幂级数的敛散性定义具有形式的复函数项级数称为幂级数,其中都是复常数.如果作变换,则以上幂级数还可以写成如下形式(把)定理(阿贝尔定理)如果幂级数在某点收敛,则它必在圆内绝对收敛且内闭一致收敛.证(证绝对收敛)设时所述圆K内的任意定点.因为收敛,它的各项必然有界,即有正数M,使这样一来,即有,注意到,故级数为收敛的等比级数.因而在圆K内绝对收敛.(证内闭一致收敛)对K内任一闭圆上的一切点来说,有,故在上有收敛的优级数.因而它在上绝对且一致收敛,此级数必在圆K内绝对且内闭一致收敛.推论若幂级数在某点发散,则它在以为心并通过的圆周外部发散.对于幂级数,在这一点总是收敛的,时可能有下述三种情况:第一种任意的,级数均发散.例如,级数第二种任意的,级数均收敛.例如,级数第三种存在一点,使收敛,另外又存在一点,使发散.在这种情况下,存在一个有限正数R,使得在圆周内部绝对收敛,在圆周外部发散.R称为此幂级数的收敛半径;圆和圆周分别称为它的收敛圆和收敛圆周.(二)收敛半径R的求法定理如果幂级数的系数满足(达朗贝尔)或(柯西)或(柯西-阿达马)则幂级数的收敛半径例试求下列各幂级数的收敛半径R.(1)(2)(3)(4)解(1),(2)(3)(4)因当是平方数时,,其他情形.因此,相应有,于是数列的聚点是0和1,从而三、课堂练习求下列幂级数的收敛半径四、课堂小结幂级数的相关概念以及幂级数收敛半径的求法五、布置作业P178—1(1)(2),P178—2回忆数学分析中阿贝尔定理内容,类比结果由学生给出,教师给予及时评价放大法寻找优级数方法相同,找优级数,摆脱放大用反证法证明,由学生完成.收敛半径收敛半径级数在收敛圆内绝对收敛,在圆周上不一定收敛.收敛圆周上的点不一定收敛,它只是敛散的一个界限补充“上极限”定义:给定无穷数列,由它的一切收敛子序列的极限值所成的集合中元素的最大值.应用定理解决例,例题较简单,前三题由学生完成,第四题教师启发思路,师生共同完成学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、幂级数的敛散性板书22收敛半径的求法例教学反思章节解析函数的泰勒展式授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握解析函数等价条件2.会将简单初等函数在某点展成泰勒级数教学重点和难点重点:将解析函数在某一点展成泰勒级数.难点:泰勒定理的证明.教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、泰勒定理二、一些初等函数的泰勒展式教学过程设计备注一、回顾旧知、导入新课上一节我们了解到,任一个具有非零收敛半径的幂级数在其收敛圆内收敛于一个解析函数,本节我们来研究它的逆命题也是成立的,于是得到了解析函数的又一等价定理.二、讲授新课(一)泰勒定理定理设在D内解析,,只有圆含于,则在内能展成幂级数,.其中证设为内任意取定的点,存在圆周,使点含在的内部.由柯西积分公式得.其中其中一致收敛,,二者乘积一致收敛.于是唯一性可设另一展式,证明系数相等即可.图定理(解析函数等价定理4)在D内解析在D内任一点的邻域内可展成的幂级数,即泰勒级数.(二)一些函数的泰勒展式例试将函数按的幂展开,并指明收敛区间.解三、课堂练习将函数按的幂展开,并指明收敛区间.四、课堂小结五个初等函数的泰勒展式五、布置作业P179—7(1)(2)(3)此级数称为泰勒级数,系数的两个形式分别是积分式和微分式证明关键:利用柯西积分公式泰勒定理证明较难理解,采取分层次教学,有余力学生尽量掌握一致收敛部分较难理解唯一性证明由学生完成提问解析函数四个等价定理,重点强调熟记这些公式,在解题中有重要应用强调按照的幂展开,需将函数化成有关的式子学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、泰勒定理证明板书2解析函数四个等价定理例题2.一些函数的泰勒展式五个泰勒展式教学反思章节解析函数零点的孤立性及唯一性定理授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.会求函数零点及零点的阶2.明确零点的孤立性和唯一性教学重点和难点重点:解析函数零点的阶.难点:零点的孤立性和唯一性.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、解析函数的零点二、零点的孤立性及唯一性教学过程设计备注一、导入新课在很多实际问题中,往往需要研究使一个函数等于零的点,即求根。本节我们从函数根的分布情况来研究的问题.二、讲授新课(一)解析函数的零点1.定义若,称为的零点.2.定义若,称为阶零点.3.求零点的方法(1)定义法(按定义求各阶导数,带零点,判断哪阶不为零)(2)定理法定理不恒为零的解析函数以为阶零点的充要条件为,其中在内解析,且.证必要性只要设即可.充分性已知,其中在内解析,且,则,于是,即,即为得阶零点.例求为的零点的阶数.解[法一]且解析,且,为三阶零点.[法二],由定义知为的三阶零点.注实变函数的零点不一定孤立,例在可微,,为零点,但不是一个孤立的零点.(二)零点的孤立性及唯一性1.孤立性定理不恒为零的解析函数的零点必是孤立的.推论零点不孤立,函数恒为零.2.唯一性定理定理设(1)和在内解析;(2)内有一个收敛于的点列.在其上和等值,则和在内恒等.推论点列子区域(小弧段)三、课堂练习求的全部零点,并指出它们的阶.四、课堂小结解析函数零点及阶的概念,求阶数的方法,零点的孤立和唯一性五、布置作业P179—8零点定义对应于数学分析中相应定义定义法由学生总结求解步骤教材上未给出充分性证明,教师提示方法,由学生完成证明分别用定理法和定义法求解在可微可由定义求证定理用到第一章例结论在点列上函数等值,则两函数在区域上等值(利用局部判断整体)学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、解析函数的零点例题(1)零点(2)阶(3)阶的求法练习板书22.零点的孤立性及唯一性(2)唯一性(1)孤立性定理及推论教学反思章节解析函数的洛朗展式授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握解析函数在圆环内及孤立奇点内的洛朗展式2.会求解析函数在其解析区域内及孤立奇点内的洛朗展式3.培养学生归纳、总结的能力教学重点和难点重点:解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式.难点:洛朗定理的证明.教学(具)准备三角板、圆规教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、双边幂级数二、解析函数的洛朗展式三、洛朗级数和泰勒级数的关系四、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式教学过程设计备注一、导入新课上一章我们用泰勒级数来表示圆形区域内的解析函数,但某些函数在圆心无意义,无法表成泰勒级数.本章研究圆环内解析函数的级数表示,并以此为工具研究解析函数在孤立奇点邻域内的性质.二、讲授新课(一)双边幂级数级数为幂级数,在内表一解析函数级数作变换后变为它内表一解析函数,当且仅当时,二者有公共收敛区域.则二者求和为此为双边幂级数.(二)解析函数的洛朗展式定理(洛朗定理)在圆环内的解析函数必可展成双边幂级数,其中.为圆周,且展式唯一.证为内任一取定点,总存在圆周和,使得含于内(如图5-1),因为函数在内解析.于是有上述两积分分别记作①和②图5-1对于①,对于②,被积函数则②变为.二者相加即得结果.(三)洛朗级数和泰勒级数的关系圆是圆环的特殊情形,则泰勒级数是洛朗级数的特殊情形.例求在其解析区域内的洛朗展式.解(1)在圆内,.(2)在圆环内,.(3)在圆环内,.(四)解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式1.基本定义定义点的去心邻域定义在内解析,点是的奇点,则为的一个孤立奇点.2.解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式若为的一个孤立奇点,则必存在正数R,使在的去心邻域内可展成洛朗级数.例在平面内只有两个奇点试求分别在(1)(2)(3)(4)内的洛朗展式.解(1)在内(2)在内(3)在内,.(4)在内,.三、课堂练习将分别在和内展成洛朗展式.四、课堂小结双边幂级数;洛朗展式;解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式五、布置作业P217—1(1)(2),P219—5对比两个级数,经过变换后,找到两个级数的公共收敛区域,导出双边幂级数的概念由学生找出洛朗定理和泰勒定理的异同之处由学生猜测洛朗级数和泰勒级数的关系,教师给予及时评价(1)题比较简单,由学生完成,(2)(3)两题较难,采取引导启发式教学法从形象上认识孤立奇点的概念(1)(2)两题比较简单,由学生完成,(3)(4)两题较难,采取引导启发式教学法学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、双边幂级数2.洛朗展式定理证明板书2例题3.泰勒级数、洛朗级数的关系板书34、解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式例题(1)基本概念(2)解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式板书4练习题教学反思章节解析函数的孤立奇点授课班级2015级数学教育班授课时间20年月日授课类型理论学时数MACROBUTTONAcceptAllChangesInDocMACROBUTTONAcceptAllChangesInDoc学时教学目的1.掌握孤立奇点的三种类型,会判别孤立奇点的类型2.培养学生归纳总结的能力教学重点和难点重点:孤立奇点类型的判别.难点:极点阶的求法.教学(具)准备三角板教学方法讲授法、讨论法教学主要内容一、孤立奇点的三种类型二、可去奇点三、极点四、本质奇点五、判断奇点类型的方法教学过程设计备注一、导入新课孤立奇点是解析函数的奇点中最简单最重要的一种类型,以解析函数的洛朗展式为工具,我们能在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质,本节我们来研究孤立奇点的分类及性质.二、讲授新课(一)孤立奇点的三种类型1.定义前后两部分级数分别叫做函数的正则部分和主要部分.2.孤立奇点分类定义设为的孤立奇点(1)在的主要部分为零,称为的孤立奇点;(2)在的主要部分为有限项,设为,则称为的m阶极点;(3)在的主要部分为无限多项,称为的本质奇点.(二)可去奇点定理如果为的可去奇点,则下列三条是等价的。因此,它们中的任何一条都是可去奇点的特征.(1)在点的主要部分是零;(2);(3)在点的某去心邻域内有界.证明思路:只要证明(1)(2),(2)(3),(3)(1)即可.(三)极点定理如果为的极点定理如果为的m阶极点,则下列三条都是m阶极点的充要条件.(1)在点的主要部分是m项;(2)在点的某去心邻域内能表成,其中在点邻域内解析,且;(3)以点为m阶零点.证这里只证明(2)(3):若(2)为真,则在点的某去心邻域内有其中在点的某邻域内解析,且,因此为的可去奇点,作为解析点来看,只要令.(四)本质奇点定理如果为的本质奇点,则下列三条都是m阶极点的充要条件.(1)在点的主要部分为无穷多项;(2)不存在.(五)判断奇点类型的方法1.求出函数的奇点,判断孤立性(1)非孤立奇点(下结论);(2)孤立奇点(进入2).2..3.根据定理判定极点的阶.例.例为的本质奇点.三、课堂练习1.求出的有限奇点,并确定它们的类别.2.求出的有限奇点,并确定它们的类别.四、课堂小结孤立奇点类型的判别,极点阶数的确定五、布置作业P218—4,P219—8(有限奇点部分)正则部分也叫做解析全存强调主要部分是负数次幂部分提示学生证明思路,分组讨论完成证明,教师给予及时评价定理可判断是否是极点,定理可判断极点的阶其他两步证明由学生讨论完成观察定理至,找到突破点,讨论并总结判断奇点类型的方法例题的求解过程师生共同完成练习题较例题难,学生掌握起来略有困难,教师给予学生充分时间思考和求解,并给予提示学生总结本堂课知识,不足的教师补充板书设计板书11、孤立奇点的三种类型3.极点2.可去奇点板书24.本质奇点例题5.判断奇点类型的方法教学反思章节解析函数在无穷远点的性质授课班级
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