反比例函数的复习
一、反比例函数的概念:
知识要点:
反比例函数知识点总结
知识点1 反比例函数的定义
一般地,形如(k为常数,)的函数称为反比例函数,它可以从以下几个方面来理解:
⑴x是自变量,y是x的反比例函数;
⑵自变量x的取值范围是的一切实数,函数值的取值范围是;
⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分;
⑷反比例函数有三种表达式:
①(),
②(),
③(定值)();
⑸函数()与()是等价的,所以当y是x的反比例函数时,x也是y的反比例函数。
(k为常数,)是反比例函数的一部分,当k=0时,,就不是反比例函数了,由于反比例函数()中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系数法求反比例函数的解析式
由于反比例函数()中,只有一个待定系数,因此,只要一组对应值,就可以求出k的值,从而确定反比例函数的表达式。
知识点3反比例函数的图像及画法
反比例函数的图像是双曲线,它有两个分支,这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限,它们与原点对称,由于反比例函数中自变量函数中自变量,函数值,所以它的图像与x轴、y轴都没有交点,即双曲线的两个分支无限接近坐标轴,但永远达不到坐标轴。
反比例的画法分三个步骤:⑴列表;⑵描点;⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点:
①列表时选取的数值宜对称选取;
②列表时选取的数值越多,画的图像越精确;
③连线时,必须根据自变量大小从左至右(或从右至左)用光滑的曲线连接,切忌画成折线;
④画图像时,它的两个分支应全部画出,但切忌将图像与坐标轴相交。
知识点4反比例函数的性质
☆关于反比例函数的性质,主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况,如下表:
反比例函数
()
的
符号
图像
性质
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第一、第三象限,在每个象限内,y随x的增大而减小。
①的取值范围是,y的取值范围是
②当时,函数图像的两个分支分别在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大。
注意:描述函数值的增减情况时,必须指出“在每个象限内……”否则,笼统地说,当时,y随x的增大而减小“,就会与事实不符的矛盾。
反比例函数图像的位置和函数的增减性,是有反比例函数系数k的符号决定的,反过来,由反比例函数图像(双曲线)的位置和函数的增减性,也可以推断出k的符号。如在第一、第三象限,则可知。
☆反比例函数()中比例系数k的绝对值的几何意义。
如图所示,过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线,E、F分别为垂足,
则
☆ 反比例函数()中,越大,双曲线越远离坐标原点;越小,双曲线越靠近坐标原点。
☆ 双曲线是中心对称图形,对称中心是坐标原点;双曲线又是轴对称图形,对称轴是直线y=x和直线y=-x。
例
讲解:有关反比例函数的解析式
例1、(1)下列函数,① ②. ③ ④.⑤⑥ ;其中是y关于x的反比例函数的有:_________________。
(2)函数是反比例函数,则的值是( )
A.-1 B.-2 C.2 D.2或-2
(3)如果是的反比例函数,是的反比例函数,那么是的( )
A.反比例函数 B.正比例函数 C.一次函数 D.反比例或正比例函数
练习:(1)如果是的正比例函数,是的反比例函数,那么是的( )
(2)如果是的正比例函数,是的正比例函数,那么是的( )
(4)反比例函数的图象经过(—2,5)和(, ),
求(1)的值;(2)判断点B(,)是否在这个函数图象上,并说明理由
(5)已知函数,其中与成正比例, 与成反比例,且当=1时,=1;=3时,=5.求:(1)求关于的函数解析式; (2)当=2时,的值.
二、反比例函数的图象和性质:
知识要点:
1、形状:图象是双曲线。
2、位置:(1)当k>0时,双曲线分别位于第________象限内;(2)当k<0时, 双曲线分别位于第________象限内。
3、增减性:(1)当k>0时,_________________,y随x的增大而________;
(2)当k<0时,_________________,y随x的增大而______。
4、变化趋势:双曲线无限接近于x、y轴,但永远不会与坐标轴相交
5、对称性:(1)对于双曲线本身来说,它的两个分支关于直角坐标系原点____________;(2)对于k取
互为相反数的两个反比例函数(如:y = 和y = )来说,它们是关于x轴,y轴___________。
例题讲解:
(一)反比例函数的图象和性质:
例2、(1)写出一个反比例函数,使它的图象经过第二、四象限 .
(2)若反比例函数的图象在第二、四象限,则的值是( )
A、 -1或1; B、小于的任意实数; C、-1; D、不能确定
O
O
O
O
B
A
D
(3)已知,函数和函数在同一坐标系内的图象大致是( )
C
(4)正比例函数和反比例函数的图象有 个交点.
(5)正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A(1,),
则= .
例3、(1)下列函数中,当时,随的增大而增大的是( )
A. B. C. D..
(2)已知反比例函数的图象上有两点A(,),B(,),且,
则的值是( )
A.正数 B.负数 C.非正数 D.不能确定
(3)若点(,)、(,)和(,)分别在反比例函数 的图象上,且
,则下列判断中正确的是( )
A. B. C. D.
(4)在反比例函数的图象上有两点和,
若时,,则的取值范围是 .
(5)正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y= (k2≠0)的一个交点为(m,n),则另一个交点为_________.
(6)老师给出一个函数,甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质:
甲:函数的图象经过第二象限; 乙:函数的图象经过第四象限; 丙:在每个象限内,y随x的增大而增大.
请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数: .
(二)反比例函数与三角形面积结合题型。
例4、(1)矩形的面积为6cm2,那么它的长(cm)与宽(cm)之间的函数关系用图象表示
D
为( )
M(x,y)
(2)反比例函数y=(k>0)在第一象限内的图象如图,点M(x,y)是图象上一点,MP垂直x轴于点P,
MQ垂直y轴于点Q;① 如果矩形OPMQ的面积为2,则k=_________;
② 如果△MOP的面积=____________.
总结:(1) 点 M(x,y) 是双曲线上任意一点,
则矩形OPMQ的面积是M P *M Q = ︳x︱︳y︱= ︳xy︱
(2) M P= ︳x︱, O P=︳y︱ ;S△MPO=MP* OP=︳x︱︳y︱ =︳xy︱
(3).老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数的图象以及正比例函数的图象,请同学观察有什么特点。甲同学说:双曲线与直线有两个交点;乙同学说:双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是5.请你根据甲、乙两位同学的说法,写出这个反比例函数的解析式 .
B
(4)、如图,正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点,
过点A作AB⊥轴于点B,连结BC.则ΔABC的面积等于( )
A.1 B.2 C.4 D.随的取值改变而改变.
(第(5)题)
(5)、如图,RtΔABO的顶点A是双曲线与直线
在第二象限的交点,AB垂直轴于B,且S△ABO=,
则反比例函数的解析式 .
(6).如图,在平面直角坐标系中,直线与双曲线在第一象限交于点A,
与轴交于点C,AB⊥轴,垂足为B,且=1.求:
(1)求两个函数解析式; (2)求△ABC的面积.
三、解答题
1、如图,一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点
(1)根据图象,分别写出A、B的坐标;
(2)求出两函数解析式;
(3)根据图象回答:当为何值时,
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
2、如图,Rt△ABO的顶点A是双曲线与直线在第二象限的交点,
AB⊥轴于B且S△ABO=
(1)求这两个函数的解析式;
C
(2)A,C的坐标分别为(-,3)和(3,1)求△AOC的面积。
3、如图,已知反比例函数y = 的图象经过点A(1,- 3),一次函数y = kx + b的图象经过点A与点C(0,- 4),且与反比例函数的图象相交于另一点B.试确定这两个函数的表达式;
4、如图,一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A、B两点,
(1)利用图中条件,求反比例函数和一次函数的解析式
(2)根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围
三、反比例函数的应用:
1、用反比例函数来解决实际问题的步骤:
用实验数据验证
例题讲解:
例5、一辆汽车往返于甲、乙两地之间,如果汽车以50千米/时的平均速度从甲地出发,则6小时可到达乙地.
(1)写出时间t (时)关于速度v(千米/时)的函数关系式,说明比例系数的实际意义.
(2)因故这辆汽车需在5小时内从甲地到乙地,则此时汽车的平均速度至少应是多少?
例6、你吃过拉面吗?实际上在做拉面的过程中就渗透着
知识:拉面师傅在一定体积的面团的条件下制做拉面,通过一次又一次地拉长面条,测出每一次拉长面条后面条的总长度与面条的粗细(橫截面积)
(1)请根据右表中的数据求出面条的总长度y(m)与面条的粗细(橫截面积) s(mm2)函数关系式;
拉面的橫截面积S(mm2)
面条的总长度y(m)
200
0.8
160
1
120
1.3
80
2
40
4.1
(2)求当面条粗1.6mm2时,
面条的总长度是多少?
23.如图,在一块三角形区域ABC中,∠C=90°,边AC=8,BC=6,现要在△ABC内建造一个矩形水池DEFG,如图的#
#是使DE在AB上。
⑴求△ABC中AB边上的高h;
⑵设DG=x,当x取何值时,水池DEFG的面积最大?
⑶实际施工时,发现在AB上距B点1.85的M处有一棵大树,问:这棵大树是否位于最大矩形水池的边上?如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使三角形区域中欲建的最大矩形水池能避开大树。